第5章 数列 章末综合检测(一)(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

章末综合检测(一) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等比数列中，已知a2＝1，a5＝27，则a4＝(　　) A．1 B．3 C．9 D．27 解析：选C．设等比数列的公比为q，则＝q3＝27，则q＝3，所以a4＝a2q2＝9.故选C． 2．已知是等差数列，a6＝8，a8＝6，则a14＝(　　) A．－14 B．－6 C．0 D．14 解析：选C．设等差数列的公差为d，则2d＝a8－a6＝－2，解得d＝－1，所以a14＝a8＋6d＝6－6＝0.故选C． 3．已知a1＝2，an＝n，则数列的通项公式是an＝(　　) A．n B．n＋1 C．2n D． 解析：选C．由an＝n，得an＝nan＋1，即＝，则＝，＝，＝，…，＝，由累乘法可得＝n，因为a1＝2，所以an＝2n.故选C． 4．在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积a1，a2，…，a9(单位：L)依次成等差数列，若a1＋a2＋a3＝3，a8＝0.4，则a1＋a2＋…＋a9＝(　　) A．5.4 B．6.3 C．7.2 D．13.5 解析：选B．因为a1，a2，…，a9依次成等差数列，a1＋a2＋a3＝3，所以3a2＝3，即a2＝1，又a8＝0.4， 则a1＋a2＋…＋a9＝＝＝＝6.3.故选B． 5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝4，S5＝0，若＝，则m＝(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选B．设等差数列{an}的公差为d，由条件可知解得 所以an＝－4＋2(n－1)＝2n－6，Sn＝＝n2－5n，由＝，得12(2m－6)＝5(m2－5m)， 整理得5m2－49m＋72＝0， 解得m＝8或m＝(舍去).故选B． 6．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－4，bn＝an＋log2an，则数列{bn}的前10项和为(　　) A．4 162 B．4 157 C．2 146 D．2 142 解析：选B．因为Sn＝2an－4， 所以当n＝1时，S1＝a1＝2a1－4，则a1＝4， 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－4， 所以an＝Sn－Sn－1， 即an＝2an－4－(2an－1－4)，则an＝2an－1， 所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以an＝4×2n－1＝2n＋1，bn＝an＋log2an＝2n＋1＋n＋1， 所以数列{bn}的前10项和为： 22＋2＋23＋3＋24＋4＋…＋211＋11＝(22＋23＋…＋211)＋(2＋3＋…＋11)＝＋＝4 157.故选B． 7．已知数列{an}为递减数列，其前n项和Sn＝－n2＋2n＋m，则实数m的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2) 解析：选A．由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋2n＋m－[－(n－1)2＋2(n－1)＋m]＝－2n＋3，故可知当n≥2时，数列{an}递减， 即若{an}为递减数列，只需满足a2<a1＝S1， 即－1<1＋m，得m>－2.故选A． 8．在计算机语言中，有一种函数y＝INT(x)叫做取整函数(也叫高斯函数)，其中INT(x)表示不超过x的最大整数，如INT(0.9)＝0，INT(3.14)＝3.已知an＝INT，b1＝a1，bn＝an－10an－1(n为正整数且n≥2)，则b2 024＝(　　) A．8 B．7 C．5 D．2 解析：选A．因为an＝INT，b1＝a1，bn＝an－10an－1(n为正整数，且n≥2)，所以b1＝a1＝INT＝2，a2＝INT＝28， 所以b2＝a2－10a1＝28－20＝8， 同理可得，b3＝5，b4＝7，b5＝1，b6＝4，b7＝2，b8＝8，…， 所以{bn}是周期为6的周期数列，由2 024＝6×337＋2，得b2 024＝b2＝8.故选A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列 ，a1＝1，q＝2 ，则(　　) A．数列 是等比数列 B．数列 是递增数列 C．数列{log2an} 是等差数列 D．数列{log2an} 是递增数列 解析：选ACD．由a1＝1，q＝2得an＝2n－1，＝，所以数列 是等比数列且为递减数列，故A正确，B不正确；log2an＝n－1 ，数列{log2an} 是递增的等差数列，故C，D正确．故选ACD． 10．已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝9n－n2，则下列说法正确的是(　　) A．是递减数列 B．a10＝－14 C．当n>5时，an<0 D．当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值 解析：选ACD．由数列的前n项和为Sn＝9n－n2得， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋10， 又由a1＝S1＝8＝－2×1＋10，符合上式， 所以数列的通项公式为an＝－2n＋10. 对于A，由an＋1－an＝－2<0，即an＋1<an，可得数列是递减数列，所以A正确； 对于B，由a10＝－2×10＋10＝－10，所以B错误； 对于C，当n>5时，an＝－2n＋10<0，所以C正确； 对于D，因为Sn＝9n－n2图象的对称轴为直线n＝，开口向下，又因为n是正整数，所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值，所以D正确．故选ACD． 11．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC的三条边相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn＋1与圆Dn相切且与AB，AC相切，设圆Dn的半径为rn，圆Dn的外切正三角形的边长为an(n∈N＋)，则下列说法正确的是(　　) A．an＝2rn B．数列{rn}是首项为2，公比为的等比数列，且rn＝ C．当圆Dn的半径小于时，n的最小值为4 D．数列{rn}的前n项和小于3 解析：选ABD．如图，圆Dn的外切正三角形的面积为a＝rn·3an，整理可得an＝2rn，故A正确； 设圆Dn(n∈N＋)切AC于点Mn，易知Rt△ADnMn∽Rt△ADn＋1Mn＋1，则＝， 且∠DnAMn＝30°，|ADn|＝2rn，|ADn＋1| ＝|ADn|－|DnDn＋1|＝2rn－(rn＋rn＋1)＝rn－rn＋1， 由＝可得＝， 整理可得rn＋1＝rn， 由a1＝2r1＝4，得r1＝2.所以数列{rn}是首项为2，公比为的等比数列，故rn＝2×＝，故B正确； 由rn＝<，得3n－1>2×27，即3n>162， 因为34<162<35，故正整数n的最小值为5，故C错误； 数列{rn}的前n项和为＝3－<3，故D正确．故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为____________． 解析：设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d，由题意知，a1＝－3，a4＝6，即解得d＝3. 答案：3 13．在数列{an}中，an∈N＋，且∀n∈N＋，an＋1>an≥3.若a1＋a2＋a3＋…＋an＝50，则n的最大值为____________． 解析：因为an∈N＋，且∀n∈N＋，an＋1>an≥3， 所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an≥3＋4＋5＋…＋n＋2＝.因为S8≥52，S7≥42，若Sn＝50，所以n的最大值为7. 答案：7 14．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“扩展”．将数列1，3进行“扩展”，第一次得到数列1，3，3；第二次得到数列1，3，3，9，3；…；第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xm，3.记an＝log3(1·x1·x2·…·xm·3)，其中m＝2n－1，n∈N＋，则数列{an}的第6项a6＝____________． 解析：因为an＝log3(1·x1·x2·…·xm·3)， 所以an＋1＝log3[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xm·(xm·3)·3]＝log3＝3an－1 ，即an＋1＝3an－1. 故an＋1－＝3，又a1＝log3(1×3×3)＝2， 则数列是首项为2－＝，公比为3的等比数列，故an－＝×3n－1， 所以an＝(n∈N＋)，所以a6＝365. 答案：365 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋. (1)设bn＝an－n，求证：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的前n项和Sn. 解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1， 所以bn＋1＝an＋1－(n＋1)＝4an－3n＋1－n－1＝4(an－n)＝4bn，又因为b1＝a1－1＝4－1＝3， 所以数列{bn}是首项为3，公比为4的等比数列． (2)由(1)可知an－n＝3×4n－1，即an＝n＋3×4n－1, 所以Sn＝＋＝＋4n－1. 16．(本小题满分15分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(2m，2m＋1](m∈N＋)中的项的个数，求数列{ambm}的前m项和Tm. 解：(1)因为a1＝1，故＝1， 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以＝，即Sn＝an， 则Sn＋1＝an＋1，两式相减得an＋1＝an＋1－an，即an＋1＝an，所以an＋1＝an，则an＝an－1＝·an－2＝···…···a1＝na1＝n.因此{an}的通项公式为an＝n.(或＝＝…＝＝1，因此{an}的通项公式为an＝n.) (2)由题可知bm＝2m＋1－2m＝2m，则ambm＝m×2m， 所以Tm＝1×21＋2×22＋…＋(m－1)2m－1＋m×2m， 2Tm＝1×22＋2×23＋…＋(m－1)2m＋m×2m＋1， 两式相减得－Tm＝21＋22＋…＋2m－m×2m＋1＝－m×2m＋1＝2m＋1(1－m)－2， 所以Tm＝2m＋1(m－1)＋2. 17．(本小题满分15分)已知正项等比数列{an}，其前n项和为Sn，且满足S3＝7，a1，a3，a2＋5成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：对任意正整数n，a1·b1＋a2·b2＋…＋an·bn＝n2－4n均成立，求数列{bn}的最大项的值． 解：(1)因为a1，a3，a2＋5成等差数列，所以2a3＝a1＋a2＋5， 又{an}是正项等比数列，设公比为q， 则 解得q＝2或q＝－(舍去)，故a1＝1， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)当n＝1时，a1b1＝－3， 当n≥2时，an·bn＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5， 又2×1－5＝－3＝a1b1， 所以an·bn＝2n－5，从而bn＝＝， 又bn＋1－bn＝－＝， 故当n<且n∈N＋时，数列{bn}递增， 即b1<b2<b3； 当n≥且n∈N＋时，数列{bn}递减， 即b4>b5>b6>…， 又b3＝，b4＝， 所以数列{bn}的最大项的值为b4＝. 18．(本小题满分17分)某地牧场牧草深受病害困扰，某科研团队研制了治疗牧草病害的新药，为探究新药的效果，进行了如下的喷洒试验：隔离选取1 000平方米牧草，在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草，200平方米为受害牧草，每三天给受害牧草喷药一次．试验的结论为：每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草，每次喷药前的正常牧草有t%(0<t<20)的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草．假设试验过程牧草的总面积不变，记第n次喷药前正常牧草的面积为an平方米． (1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值； (2)证明：在t取(1)中最大整数值的情况下，如果试验一直持续，正常牧草的面积不可能超过920平方米． 解：(1)由题意，在第一次喷药前，正常牧草面积a1＝800平方米． 每一次喷药后，正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为， an＋1＝(1 000－an)×80%＋an×(1－t%)＝800＋an.① 所以a2＝800＋×800＝960－8t. 要使得a2≥900成立， 即要使得960－8t≥900成立， 解得t≤7.5. 所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7. (2)证明：由(1)得t＝7，代入①式可得，an＋1＝0.13an＋800.② 用待定系数法，设实数λ满足an＋1＋λ＝0.13(an＋λ).③ 将③－②可得－0.87λ＝800，λ＝－. 则数列{an＋λ}是公比为0.13的等比数列，通项公式为an＋λ＝(a1＋λ)×0.13n－1. 解得an＝(a1＋λ)×0.13n－1－λ， 又因为a1＋λ＝800－<800－＝0. 故an<－λ.又因为87×920＝80 040>80 000. 所以an<－λ＝<＝920， 即无论n取多少，正常牧草的面积an都不可能超过920平方米． 19．(本小题满分17分)已知数列是首项为3，公比为3的等比数列，且a1＝1. (1)求出{an}的通项公式； (2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式2Sn>λ－对任意的n∈N＋恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)因为数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以－＝3×3n－1 ＝3n， 所以当n≥2时， ＋＋…＋＝3n－1＋3n－2＋…＋31＝＝， 即－＝， 所以＝＋＝＋1＝， 所以an＝.又a1＝1也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝. (2)由(1)可得bn＝＝＝＝， 所以Sn＝＋＋＋…＋ ，① Sn＝＋＋＋…＋＋，② 由①－②，得Sn＝＋＋＋…＋－， 所以2Sn＝1＋＋＋…＋－ ＝－ ＝－＝－， 所以不等式2Sn>λ－可化为－>λ－， 即λ<－对任意的n∈N＋恒成立， 令cn＝－，则{cn}为递增数列，即转化为λ<(cn)min. 又(cn)min＝c1＝，所以λ<， 综上，实数λ的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $