5.5 数学归纳法 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　)

A．1    B．1＋a

C．1＋a＋a2    D．1＋a＋a2＋a3

解析：选C．由题意知，当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．故选C．

2．用数学归纳法证明“2n≥n2(n∈N＋，n≥4)”时，第二步应假设(　　)

A．当n＝k(k∈N＋，k≥2)时，2k≥k2成立

B．当n＝k(k∈N＋，k≥3)时，2k≥k2成立

C．当n＝k(k∈N＋，k≥4)时，2k≥k2成立

D．当n＝k(k∈N＋，k≥5)时，2k≥k2成立

解析：选C．根据题意，证明的结论为“2n≥n2(n∈N＋，n≥4)”，所以第二步的假设应为，假设当n＝k(k∈N＋，k≥4)时命题成立，即2k≥k2成立．故选C．

3．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为(　　)

A．f＋1    B．f＋k

C．f＋k＋1    D．k·f

解析：选B．若要使交点最多，则增加的一条直线和原来的k条直线都相交于不同于原交点的点，则有k个交点，故交点个数最多为f＋k.故选B．

4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除时，从k到k＋1添加的项数共有(　　)

A．2项    B．3项  

C．4项    D．5项

解析：选D．当n＝k时，则1＋2＋22＋…＋25k－1，当n＝k＋1时，则(1＋2

＋22＋…＋25k－1)＋(25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4)，所以从k到k＋1添加的项数共有5项．故选D．

5．某个与自然数有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立，那么，若已知当n＝5时该命题不成立，则可推得(　　)

A．当n＝4时，该命题不成立

B．当n＝4时，该命题成立

C．当n＝6时，该命题不成立

D．当n＝6时，该命题成立

解析：选A．可得题干等价于其逆否命题：当n＝k＋1(k∈N＋)时该命题不成立，则可推得当n＝k时该命题也不成立．所以若当n＝5时该命题不成立，则当n＝4时，该命题也不成立．故选A．

6．(多选)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>(n∈N＋)的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．使不等式成立的第一个正整数n0＝1

B．使不等式成立的第一个正整数n0＝2

C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是

解析：选BC．当n＝1时，可得<；当n＝2时，可得＋＝>；即使不等式成立的第一个正整数n0＝2，故A错误，B正确；

当n＝k(k∈N＋)时，可得＋＋＋…＋；

当n＝k＋1时，可得＋＋…＋＋＋；

两式相减得＋－＝，

所以由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误．故选BC．

7．用数学归纳法证明等式“1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)(n∈N＋)”时，第一步验证需证明的命题为_________________.

解析：根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证明的命题为：

当n＝1时，等式1＋2＋3＝(1＋1)×(2×1＋1)成立．

答案：当n＝1时，等式1＋2＋3＝(1＋1)×(2×1＋1)成立

8．已知存在常数λ，使等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n(n＋1)(n＋2)(3n＋λ)对n∈N＋都成立，则λ＝________．

解析：由题意当n＝1时，等式成立，即4＝×1×2×3×(3＋λ)，解得λ＝5.

答案：5

9．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为__________________________________．

解析：当n＝k＋1时，表达式左侧为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)，表达式右侧为(k＋1)(k＋2)2，则当n＝k＋1时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2.

答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2

10．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2(n∈N＋).

证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；

(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，

即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2，则当n＝k＋1时，

右边＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2＝(1＋2＋…＋k)2＋2(1＋2＋…＋k)(k＋1)＋(k＋1)2