5.4 数列的应用 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．夏季高山上的气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ℃，已知山顶气温为14.1 ℃，山脚气温为26 ℃，那么此山相对于山脚的高度是(　　)

A．1 500 m    B．1 600 m

C．1 700 m    D．1 800 m

解析：选C．由题意知气温值的变化构成了以26 ℃为首项，－0.7 ℃ 为公差的等差数列，记此数列为{an}，a1＝26，d＝－0.7，所以14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，解得n＝18，所以此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1 700(m).

2．一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后．蜂巢中蜜蜂的数量为(　　)

A．55 986     B．46 656

C．216    D．36

解析：选B．设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为an，根据题意得数列{an}为等比数列，a1＝6，q＝6，所以{an}的通项公式an＝6×6n－1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的数量为a6＝66＝46 656，故选B．

3．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还(　　)

A．万元   

B．万元

C．万元   

D．万元

解析：选B．设每年应还x万元，则有x＋x＋x(1＋P)2＋…＋x9

＝M10，得 ＝M10，解得x＝.故选B．

4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　)

A．块    B．块

C．块    D．块

解析：选A．将100块面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包．设较大的两份为20＋d，20＋2d，较小的两份为20－d，20－2d.由已知条件可得(20＋20＋d＋20＋2d)＝20－d＋20－2d，解得d＝，所以最小的一份为20－2d＝20－2×＝(块).

5．已知某公司今年获利5 000万元，如果以后每年的利润都比上一年增加10%，那么总利润达3亿元大约还需要(　　)

(参考数据：lg 1.01≈0.004，lg 1.06≈0.025，lg 1.1≈0.041，lg 1.6≈0.204)

A．4年    B．7年

C．12年    D．50年

解析：选A．根据题意知每年的利润(单位：万元)构成一个等比数列{an}，其中首项a1＝5 000，公比q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30 000.于是得到＝30 000，整理得1.1n＝1.6，两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6，解得n＝≈5，故大约还需要4年．

6．(多选)计算机病毒危害很大，当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染的文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数．某计算机

病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，若该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，若未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　)

A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为2的等比数列

解析：选ABC．设第(n＋1)分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，

则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，

由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，

两式相减，得an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，

所以每分钟内新感染的病毒文件数构成以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，所以在第3分钟内，该计算机病毒新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；

经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；

10分钟后，该计算机感染病毒文件的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105，

所以该计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；

该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数构成公比为3的等比数列，故选项D不正确．

7．某电影院中，从第2排开始，每一排的座位数比前一排多两个座位，第1排有18个座位，最后一排有36个座位，则该电影院共有座位________个．

解析：从第1排开始每排座位数构成等差数列{an}，其中a1＝18，an＝36.公差为d＝2，则36＝18＋2(n－1)，解得n＝10.所以该电影院共有座位