5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知等比数列的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　)

A．72    B．81

C．90    D．99

解析：选B．由等比数列的性质，可得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，

则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，即2＝9×，

解得S9－S6＝81，即a7＋a8＋a9＝81.

故选B．

2．设某厂去年的产值为1，从今年起，若该厂计划每年的产值比上年增长8%，则该厂从今年起到第十年的总产值为(　　)

A．1.089    B．1.0810

C．    D．

解析：选C．因为去年的产值为1，该厂计划每年的产值比上年增长8%，所以从今年起到第十年，该厂这十年的产值构成一个首项为1.08，公比为1.08的等比数列，所以该厂这十年的总产值为.故选C．

3．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)

A．60    B．10

C．15    D．20

解析：选A．设各项均为正数的等比数列{an}的公比为q(q＞0)，

因为a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，

所以＝q3＝＝2，

a7＋a8＋a9＝q3＝8×2＝16，a10＋a11＋a12＝q6＝8×4

＝32，

所以S12＝4＋8＋16＋32＝60.故选A．

4．已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝(　　)

A．1    B．4

C．12    D．36

解析：选C．由题意可得所有项之和S奇＋S偶是所有偶数项之和S偶的4倍，所以S奇＋S偶＝4S偶，故S偶＝S奇．设等比数列{an}的公比为q，设该等比数列共有2k(k∈N＋)项，则S偶＝a2＋a4＋…＋a2k＝q(a1＋a3＋…＋a2k－1)＝qS奇＝S奇，所以q＝，因为a＝a1a2a3＝64，可得a2＝4，因此，a1＝＝12.故选C．

5．记Sn为数列{an}的前n项和，则“{an}为等比数列”是“(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A．若{an}是等比数列，

则a2＋a3＋…＋an＋1＝q(a1＋a2＋a3＋…＋an)，

a3＋a4＋…＋an＋2＝q(a2＋a3＋…＋an＋1)，

所以(a2＋a3＋…＋an＋1)2＝(a3＋a4＋…＋an＋2)(a1＋a2＋…＋an)，即(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)，充分性成立．

若(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)，令an＝0，即可满足条件，但{an}不是等比数列，必要性不成立．

所以“{an}为等比数列”是“(Sn＋1－S1)2＝Sn(Sn＋2－S2)”的充分不必要条件．故选A．

6．(多选)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝3，∀m，n∈N＋，Sm＋n＝SmSn，则(　　)

A．{an}是等比数列

B．a4＝54

C．a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝38

D．Sn＝3n

解析：选BD．因为a1＝3，∀m，n∈N＋，Sm＋n＝SmSn，

所以Sn＋1＝SnS1＝Sna1＝3Sn，又S1＝3，

所以{Sn}是首项为3，公比为3的等比数列，

所以Sn＝3n，故D正确；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，

当n＝1时，a1＝3，不满足上式，

所以an＝故A错误；

因为a4＝2×33＝54，故B正确；

因为a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S4＝39－34>38，故C错误．故选BD．

7．在各项均为正数的等比数列中，若S10＝10，S20＝30，则S30＝________．

解析：设等比数列的公比为q，由题可知q≠±1，

方法一：由已知条件可列出方程组

两式作商得1＋q10＝3，所以q10＝2，

所以S30＝＝(1＋q10＋q20)＝10×＝70.

方法二：由性质Sm＋n＝Sn＋qnSm得S20＝S10＋q10S10，

即30＝10＋10q10，