5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，则S5＝　(　　) A．162　　　　　　　 B．486 C．242 D．96 解析：选C．依题意，S5＝＝35－1＝242.故选C． 2．已知Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若a3＝4，S3＝7，则{an}的公比q＝(　　) A．3 B．2 C． D． 解析：选B．由题意知正项等比数列{an}的公比q>0，若q＝1，则S3＝3a1＝3a3＝12≠7，故q≠1，所以解得(q的负值已舍去).故选B． 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S2 024>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D．由于数列{an}是等比数列，当q≠0且q≠1时，S2 024＝，当a1>0，且公比q＝－2时，得1－q>0，1－q2 024<0，则S2 024<0，充分性不成立；当a1<0，且公比q＝－2时，得1－q>0，1－q2 024<0，满足S2 024>0，但不满足a1>0，必要性不成立．故选D． 4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且公比为3，则Sn与an的关系正确的是(　　) A．Sn＝an－1 B．Sn＝an－1 C．Sn＝3an－1 D．Sn＝an－ 解析：选D．因为等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝3，所以an＝a1·qn－1＝3n－1， 所以Sn＝＝＝(3n－1)＝·3n－1－＝an－.故选D． 5．已知等比数列{an}的首项为1，公比为3，则a＋a＋…＋a＝(　　) A．(3n－2)2 B．(3n－1) C．9n－1 D．(9n－1) 解析：选D．由题意得＝32＝9，故数列{a}是首项为12＝1，公比为9的等比数列， 则a＋a＋…＋a＝＝(9n－1).故选D． 6．(多选)已知{an}为等比数列，q为公比，Sn是其前n项和．若a3a7＝16a5，a4与2a5的等差中项为20，则(　　) A．a1＝1 B．q＝－2 C．an＝2n－1 D．Sn＝2n－1 解析：选ACD．由a3a7＝16a5，得a＝16a5，即a5＝16，又a4与2a5的等差中项为20，则2a5＋a4＝40，a4＝8，所以公比为q＝＝2，故a1q3＝a4，得a1＝1，故an＝2n－1，Sn＝＝2n－1，故A，C，D正确，B错误．故选ACD． 7．对于数列{an}，若点(n，an)(n∈N＋)都在函数f(x)＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝________． 解析：由题设可得an＝2n，故＝2(n≥2)，故数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故S4＝＝30. 答案：30 8．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足S3＝3，S6＝27，则a3＝________． 解析：由题知a1≠0，公比q≠1，S3＝＝3， S6＝＝27， 两式相除，得＝1＋q3＝9，解得q＝2， 所以＝3，解得a1＝，所以a3＝×23－1＝. 答案： 9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＝an＋1＋t，则实数t＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q. 若q＝1，则an＝a1＝1，Sn＝n＝an＋1＋t＝1＋t，不符合题意；若q≠0且q≠1，则Sn＝＝qn－，又因为Sn＝an＋1＋t＝a1qn＋t＝qn＋t，故解得t＝－1. 答案：－1 10．已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为Sn. (1)如果S6＝，q＝，求a1； (2)如果a2＝2，a6＝8a3，Sn＝127，求n； (3)如果S5＝15，S10＝60，求S15. 解：(1)因为等比数列中，S6＝，q＝， 所以S6＝＝，解得a1＝24. (2)依题意a3q3＝8a3，解得q＝2，由a2＝a1q＝2，解得a1＝1，所以Sn＝＝2n－1＝127， 解得n＝7. (3)因为S5＝15，S10＝60，所以公比q≠1， 所以S5＝＝15，S10＝＝60， 所以＝＝4， 即1＋q5＝4，所以q5＝3， 所以＝－， 则S15＝＝＝－×＝195. 11．设Sn是数列{an}的前n项和，an>0，a1＝8，log2an＋1－log2an＝－1，Sk＝，则k＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选A．因为Sn是数列{an}的前n项和， an>0，log2an＋1－log2an＝log2＝－1， 所以＝，所以数列{an}为等比数列，且首项为8，公比为，则Sk＝＝16(1－)＝，解得k＝5.故选A． 12．(多选)已知等比数列{an}的公比为整数，Sn是数列{an}的前n项和，若a1＋a4＝9，a2＋a3＝6，则(　　) A．a1＝2 B．Sn＝2n－1 C．数列{ean}是公比为e2的等比数列 D．数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列 解析：选BD．依题意，设公比为q，又a1≠0， 由a1＋a4＝9，a2＋a3＝6， 可得显然q≠－1， 进而可得＝＝， 则2q2－5q＋2＝0，即(q－2)(2q－1)＝0， 由于公比为整数，所以q＝2，则a1＝1，故A错误； Sn＝＝2n－1，故B正确； 因为a1＝1，q＝2，所以an＝2n－1，而ean＝e2n－1，ean＋1＝e2n，则＝＝e2n－2n－1＝e2n－1不为常数，故C错误；lg an＝lg 2n－1＝(n－1)lg 2，lg an＋1＝n lg 2，故lg an＋1－lg an＝n lg 2－(n－1)lg 2＝lg 2为常数，所以{lg an}是公差为lg 2的等差数列，故D正确．故选BD． 13．已知正项等比数列的前n项和为Sn，16S6＝21S2＝504，a1a2·…·an的最大值为________． 解析：由题意得＝ ＝＝1＋q2＋q4＝， 则q4＋q2－＝＝0， 得q2＝，因为an>0，所以q＝. 易得S2＝a1＝a1＝24， 则a1＝16，所以an＝16×n－1＝n－5. 当n≤5时，an≥1，当n≥6时，an<1， 所以＝a1a2·…·a5＝210＝1 024. 答案：1 024 14.已知Sn是等比数列的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2＋a3＋a4＝－18.求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前n项和Sn. 解：(1)设数列的首项为a1，公比为q， 由条件可知，2S2＝S3＋S4，即2＝a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a3＋a4， 所以2a3＋a4＝0，得＝q＝－2，又因为a2＋a3＋a4＝a1＝－18，得a1＝3， 所以an＝a1qn－1＝3·n－1. (2)由(1)可知，a1＝3，q＝－2， 所以Sn＝＝ ＝1－n. 15．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3＝7，S6＝63，若关于n的不等式S2n－tan＋33≥0对任意的n∈N＋恒成立，则实数t的最大值为(　　) A．12 B．16 C．24 D．36 解析：选C．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)， 则S3＝＝7，S6＝＝63， 联立解得q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，S2n＝22n－1. 所以关于n的不等式S2n－tan＋33≥0， 即22n－t×2n－1＋32≥0， 即t≤2n＋1＋对任意的n∈N＋恒成立. 方法一：设f(n)＝2n＋1＋，n∈N＋， 则f(n＋1)－f(n)＝2n＋2＋－(2n＋1＋)＝2n＋1－， 当n＝2时，f(n＋1)－f(n)＝0， 当n＝1时，f(n＋1)－f(n)<0， 当n≥3时，f(n＋1)－f(n)>0， 又f(2)＝f(3)＝24，所以当n＝2或n＝3时，f(n)min＝24，所以t≤24，即实数t的最大值为24.故选C． 方法二：由2n＋1＋≥2＝16，当且仅当2n＋1＝，即n＝时，等号成立， 又n∈N＋，所以当n＝2或n＝3时，2n＋1＋取得最小值24，故t≤24，即实数t的最大值为24.故选C． 16．已知正项等比数列满足a1＋a2＝6，a1a3＝a4. (1)求的通项公式； (2)记的前n项中最大值为Mn，最小值为mn(规定：M1＝m1＝a1)，令bn＝，求数列的前n项和Sn. 解：(1)依题意，设的公比为q， 则 解得或(舍去)， 所以的通项公式为an＝2n. (2)因为是递增数列， 所以Mn＝2n，mn＝2， 则bn＝＝＝2n－1＋1. 所以Sn＝＋n＝2n＋n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $