5.3.1 第2课时 等比数列的性质 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．设m＝－8，n＝－2，则m与n的等比中项为(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．－5 解析：选C．由题意可知，m与n的等比中项为±＝±4.故选C． 2．已知是等比数列，若an>0，且a3a5＋2a4a6＋a5a7＝49，则a4＋a6＝(　　) A．7 B．14 C．21 D．49 解析：选A．因为数列是等比数列，a3a5＋2a4a6＋a5a7＝49，所以a＋2a4a6＋a＝49， 即2＝49，又an>0，所以a4＋a6＝7. 故选A． 3．已知－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则＝(　　) A．－ B． C． D．－或 解析：选C．因为－1，a1，a2，－4成等差数列， 所以公差d＝＝－1，所以a2－a1＝－1， 因为－1，b1，b2，b3，－4成等比数列， 所以b＝×＝4， 设该等比数列的公比为q，可得b2＝q2<0， 所以b2＝－2， 所以＝＝.故选C． 4．已知正项等比数列中，a3a2 022＝4，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＝(　　) A．1 012 B．2 024 C．21 012 D．22 024 解析：选B．由题意知正项等比数列中， a3a2 022＝4， 则a1a2 024＝a2a2 023＝…＝a1 012a1 013＝4， 故log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 024＝log2(a1a2·…·a2 024)＝log21 012＝log241 012＝log222 024＝2 024.故选B． 5．已知等差数列的前n项和为Sn，等比数列的公比与的公差均为2，且满足b1＝a1＋1，b3＝a4＋1，则使得b6>Sn成立的n的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：选B．由题意得a4＝a1＋6，b3＝4b1. 又b1＝a1＋1，b3＝a4＋1，所以a1＋7＝4， 解得a1＝1， 所以b1＝2，所以bn＝2n，an＝2n－1，所以Sn＝n2. 若b6>Sn，则64>n2.又n∈N＋，则n的最大值为7.故选B． 6．(多选)已知公比为q的正项等比数列的前n项积为Tn，a7＝1，则(　　) A．a1a14＝q B．当0<q<1时，T7>1 C．T13＝1 D．当q>1，且Tn取得最小值时，n只能等于6 解析：选ABC．由题意，n∈N＋，在正项等比数列中，a7＝1， A项，a1a14＝a1a13q＝aq＝q，A正确； B项，当0<q<1时，因为a7＝1，所以ai>1，可得T7>a7＝1，B正确； C项，T13＝a＝1，C正确． D项，当q>1时，因为a7＝1，所以ai<1(i＝1，2，…，6)，则Tn的最小值为T6或T7，D错误．故选ABC． 7．已知数列{an}满足a＝anan＋2，若a1＝，a4＝9，则a6＝________． 解析：因为a＝anan＋2，所以{an}为等比数列，设公比为q，又a1＝，a4＝9，所以a4＝a1q3，解得q＝3，所以a6＝a1q5＝81. 答案：81 8．在等比数列{an}中，a1与a9是方程x2－7x＋4＝0的两根，则＝________． 解析：因为a1与a9是方程x2－7x＋4＝0的两根， 所以a1a9＝4，a1＋a9＝7， 所以a3a7＝a1a9＝4，且a1，a9均为正数，所以a5＝a1q4＞0， 故a5＝＝2，则＝＝2. 答案：2 9．已知数列{an}为等比数列，若数列{an＋λ}(λ≠0)仍为等比数列，且a3＝3，则a2 025的值为________． 解析：因为{an}为等比数列，设公比为q，所以a＝an·an＋2，又因为数列{an＋λ}(λ≠0)为等比数列，所以(an＋1＋λ)2＝(an＋λ)·(an＋2＋λ)，即an＋an＋2＝2an＋1，即an＋anq2＝2anq，即q2－2q＋1＝0，解得q＝1，所以可得数列{an}的公比q＝1，又a3＝3，所以a2 025＝3. 答案：3 10．已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列．求数列{an}的公比． 解：因为等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512， 所以a3a5a7＝512，所以a＝512，所以a5＝8， 且数列{an}为递增等比数列，设公比为q，则q>1. 又数列{an}的第三项、第五项、第七项分别减去1，3，9后成等差数列，则a3－1＋a7－9＝2(a5－3)，所以a3＋a7＝20，即＋a5q2＝20，即＋8q2＝20，解得q2＝2或q2＝， 因为q>1，所以q2＝2，故数列{an}的公比q＝. 11．如图，将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列a1，a2，a5，…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为d的等差数列，若a3＝5，a29＝41，则d＝(　　) a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 … A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选B．因为第2行是公差为d的等差数列， 所以a2＝a3－d＝5－d， 由题意可知第n行有2n－1个数，前n行共有1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2个数， 因为29＝52＋4，所以a29为第6行的第4个数， 所以a29＝a26＋3d＝a2·24＋3d＝16(5－d)＋3d＝80－13d＝41，所以d＝3.故选B． 12．(多选)已知等差数列和等比数列的各项均为正数，n∈N＋，且a1＝b1，a3＝b3，则下列选项中一定成立的有(　　) A．a2≤b2 B．a2≥b2 C．a4≤b4 D．a4≥b4 解析：选BC．设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 因为等差数列和等比数列的各项均为正数，且a1＝b1， 所以a1＝b1>0，d≥0，q>0，又a3＝b3， 所以a3－b3＝a1＋2d－a1q2＝0， 所以d＝， 又d＝≥0，解得q≥1， 所以a2－b2＝a1＋d－a1q＝a1＋－a1q ＝a1＝a12≥0， 所以a2≥b2，A错误，B正确； 又a4－b4＝a1＋3d－a1q3＝a1＋3×－a1q3 ＝－a1 ＝－a12≤0， 所以a4≤b4，C正确，D错误． 13．已知数列是公差不为0的等差数列，数列为等比数列，数列的前三项分别为1，2，6，则数列的公比是________． 解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由k1＝1，k2＝2，k3＝6，可得2＝ak1ak3， 即为a＝a1a6， 即2＝a1，解得d＝3a1， 则q＝＝＝＝＝4. 答案：4 14．已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－1(n∈N＋)，bn＝log2(an－1). (1)求数列{an}的通项公式； (2)将数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求数列{cn}的前50项和S50. 解：(1)由题意得，bn＋1－bn＝log2(an＋1－1)－log2(an－1)＝log2＝log2＝log2＝1，b1＝log2(a1－1)＝log2(3－1)＝1，所以{bn}为首项为1，公差为1的等差数列，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n.即log2(an－1)＝n，解得an＝2n＋1.所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2)由(1)得bn＝n， 因为b50＝50，a5＝33，a6＝65，所以数列{cn}的前50项为数列{bn}的前55项中去掉数列{an}的前5项， 所以S50＝(b1＋b2＋…＋b55)－(a1＋a2＋…＋a5) ＝－(3＋5＋9＋17＋33)＝1 473. 15．(多选)已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列(bn>0)，则下列说法中一定成立的是　(　　) A．若b7≤a6，则b4＋b10≥a3＋a9 B．若b7≤a6，则b4＋b10≤a3＋a9 C．若b6≥a7，则b3＋b9≥a4＋a10 D．若b6≤a7，则b3＋b9≤a4＋a10 解析：选C．因为数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列(bn＞0)， 在A中，因为b7≤a6，b4＋b10≥2＝2b7， 当且仅当b4＝b10时等号成立，a3＋a9＝2a6， 所以b4＋b10≥a3＋a9不一定成立，故A错误； 在B中，因为b7≤a6，b4＋b10≥2＝2b7， 当且仅当b4＝b10时等号成立，a3＋a9＝2a6， 所以b4＋b10≤a3＋a9不一定成立，故B错误； 在C中，因为b6≥a7，所以b3＋b9≥2＝2b6， 当且仅当b3＝b9时等号成立，a4＋a10＝2a7， 所以b3＋b9≥a4＋a10，故C正确； 在D中，因为b6≤a7，所以b3＋b9≥2＝2b6， 当且仅当b3＝b9时等号成立，a4＋a10＝2a7， 所以b3＋b9≤a4＋a10不一定成立，故D错误．故选C． 16．设正项数列的前n项和为Sn，已知a1＝a，2Sn＝anan＋1. (1)若是等差数列，求的通项公式； (2)是否存在实数a，使得是等比数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解：(1)当n＝1时，2S1＝2a1＝a1a2，又a1>0， 则a2＝2. 当n≥2时，2an＝2Sn－2Sn－1＝anan＋1－an－1an， 即an＋1－an－1＝2. 因为是等差数列，设的公差为d， 所以an＋1－an－1＝2d＝2，解得d＝1， 则a1＝a＝2－1＝1， 故的通项公式为an＝n. (2)假设存在实数a，使得是等比数列． 由(1)可知，a3＝a1＋2＝2＋a，a4＝a2＋2＝4. 因为是等比数列，所以a2a3＝a1a4， 即2(2＋a)＝4a，解得a＝2， 此时＝＝1，＝＝2，不符合题意，则假设错误． 故不存在实数a，使得是等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $