5.3.1 第1课时 等比数列的定义 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．关于数列1，1，1，…，1，…的说法，正确的是(　　)

A．是等差数列，但不是等比数列

B．是等比数列，但不是等差数列

C．既是等差数列，又是等比数列

D．既不是等差数列，也不是等比数列

解析：选C．数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列．故选C．

2．在数列{an}中，an＋1＝－2an且a1＝1，则an＝　(　　)

A．2n－2    B．(－2)n－2

C．2n－1    D．(－2)n－1

解析：选D．由题意得，数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，所以an＝(－2)n－1.故选D．

3．已知等比数列不是单调数列，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列的公比q＝(　　)

A．－1    B．1

C．    D．－

解析：选A．因为a5是a4和3a3的等差中项，所以2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，解得q＝或q＝－1，又等比数列不是单调数列，故q＝－1.故选A．

4．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝.若am＝2－11，则m＝(　　)

A．17    B．16

C．14    D．13

解析：选D．设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝2，a4＝，

所以2q3＝，解得q＝，

又am＝2－11，所以2×＝2－11，可得m＝13.故选D．

5．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1＝q，则数列{an}中与a5a7一定相等的项是(　　)

A．a12    B．a9

C．a7    D．a35

解析：选A．因为等比数列{an}的首项为q，公比为q，则an＝qn，所以a5a7＝q12＝a12，故A一定成立，其余选项不一定成立．故选A．

6．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)

A．    B．{anan＋1}   

C．{lg (a)}    D．{an＋an＋1}

解析：选AB．由题意知{an}为等比数列，设其公比为q(q≠0).对于A，＝＝·，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，＝＝q2，所以数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，故B正确；对于C，当an＝1时，lg (a)＝0，数列{lg (a)}不是等比数列，故C错误；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误．故选AB．

7．已知数列1，a，9，－27，…为等比数列，则a＝________．

解析：由题意，知公比q＝－＝－3，

所以 ＝－3，即 a＝－3.

答案：－3

8．若等比数列{an}满足a1＝，a＝a6，则a5＝____________．

解析：设公比为q，由a1＝，a＝a6，

得＝q5，解得q＝3，所以a5＝a1q4＝27.

答案：27

9．已知各项均为正数的递减等比数列满足a3，3a4，5a5成等差数列，则＝________．

解析：设等比数列的公比为q，则0<q<1，

因为a3，3a4，5a5成等差数列，所以2×3a4＝a3＋5a5，

所以6a1q3＝a1q2＋5a1q4，所以5q2－6q＋1＝0，

解得q＝或q＝1(舍去)，

所以＝＝＝＝＝25.

答案：25

10．在等比数列中．

(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；

(2)已知a2＝4，a5＝－，求an；

(3)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n.

解：(1)a6＝a1q5＝3×5＝－96.

(2)因为＝＝－＝q3⇒q＝－.

所以an＝a2qn－2＝4×n－2＝n－4.

(3)因为＝＝＝q，a3＋a6＝36⇒a3＋a3＝36⇒a3＝32，所以an＝a3qn