5.3.1 第1课时 等比数列的定义 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．关于数列1，1，1，…，1，…的说法，正确的是(　　) A．是等差数列，但不是等比数列 B．是等比数列，但不是等差数列 C．既是等差数列，又是等比数列 D．既不是等差数列，也不是等比数列 解析：选C．数列1，1，1，…，1，…是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列．故选C． 2．在数列{an}中，an＋1＝－2an且a1＝1，则an＝　(　　) A．2n－2 B．(－2)n－2 C．2n－1 D．(－2)n－1 解析：选D．由题意得，数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，所以an＝(－2)n－1.故选D． 3．已知等比数列不是单调数列，且a5是a4和3a3的等差中项，则数列的公比q＝(　　) A．－1 B．1 C． D．－ 解析：选A．因为a5是a4和3a3的等差中项，所以2a5＝a4＋3a3，得2a1q4＝a1q3＋3a1q2，解得q＝或q＝－1，又等比数列不是单调数列，故q＝－1.故选A． 4．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝.若am＝2－11，则m＝(　　) A．17 B．16 C．14 D．13 解析：选D．设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝2，a4＝， 所以2q3＝，解得q＝， 又am＝2－11，所以2×＝2－11，可得m＝13.故选D． 5．已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，若a1＝q，则数列{an}中与a5a7一定相等的项是(　　) A．a12 B．a9 C．a7 D．a35 解析：选A．因为等比数列{an}的首项为q，公比为q，则an＝qn，所以a5a7＝q12＝a12，故A一定成立，其余选项不一定成立．故选A． 6．(多选)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A． B．{anan＋1} C．{lg (a)} D．{an＋an＋1} 解析：选AB．由题意知{an}为等比数列，设其公比为q(q≠0).对于A，＝＝·，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确；对于B，＝＝q2，所以数列{anan＋1}是以a1a2为首项，q2为公比的等比数列，故B正确；对于C，当an＝1时，lg (a)＝0，数列{lg (a)}不是等比数列，故C错误；对于D，当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误．故选AB． 7．已知数列1，a，9，－27，…为等比数列，则a＝________． 解析：由题意，知公比q＝－＝－3， 所以 ＝－3，即 a＝－3. 答案：－3 8．若等比数列{an}满足a1＝，a＝a6，则a5＝____________． 解析：设公比为q，由a1＝，a＝a6， 得＝q5，解得q＝3，所以a5＝a1q4＝27. 答案：27 9．已知各项均为正数的递减等比数列满足a3，3a4，5a5成等差数列，则＝________． 解析：设等比数列的公比为q，则0<q<1， 因为a3，3a4，5a5成等差数列，所以2×3a4＝a3＋5a5， 所以6a1q3＝a1q2＋5a1q4，所以5q2－6q＋1＝0， 解得q＝或q＝1(舍去)， 所以＝＝＝＝＝25. 答案：25 10．在等比数列中． (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； (2)已知a2＝4，a5＝－，求an； (3)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. 解：(1)a6＝a1q5＝3×5＝－96. (2)因为＝＝－＝q3⇒q＝－. 所以an＝a2qn－2＝4×n－2＝n－4. (3)因为＝＝＝q，a3＋a6＝36⇒a3＋a3＝36⇒a3＝32，所以an＝a3qn－3＝n－8. 由an＝n－8＝，得n－8＝1，则n＝9. 11．已知数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，则ab1＋ab2＋ab3＋ab4＝(　　) A．255 B．85 C．16 D．15 解析：选B．由题意得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，b1＝1，b2＝3，b3＝5，b4＝7， an＝1×2n－1＝2n－1，a1＝1，a3＝4，a5＝16，a7＝64， 所以ab1＋ab2＋ab3＋ab4＝a1＋a3＋a5＋a7＝1＋4＋16＋64＝85.故选B． 12．(多选)若为等比数列，则下列结论正确的是　(　　) A．数列一定是等比数列 B．数列(其中k∈R且k≠0)一定是等比数列 C．数列一定是等比数列 D．数列是递增数列的充分条件是首项a1>0且公比q>1 解析：选ABD．因为为等比数列，设公比为q，即＝q， 则＝q2，故数列一定是等比数列，A正确； 因为k∈R且k≠0，所以＝q， 故数列(其中k∈R且k≠0)一定是等比数列，B正确； 若q＝1，此时为常数列，则an＋1－an＝0，故不一定是等比数列，C错误； 数列是递增数列，包含两种情况，一是首项a1>0且公比q>1，二是a1<0且公比0<q<1， 故数列是递增数列的充分条件是首项a1>0且公比q>1，D正确． 故选ABD． 13．已知公比为q的递增等比数列满足＋＋＝，a4＝4，则a8＝________． 解析：因为＋＋＝，所以＋＋＝，所以＋＝， 所以q2＋＝，所以q2＝2或q2＝， 又因为a4>0且是递增等比数列，所以q>1，所以q＝， 所以a8＝a4q4＝4×22＝16. 答案：16 14．已知等比数列的各项均为正数，且a1＋2a2＝1，a＝2a2a5. (1)求数列的通项公式； (2)设bn＝logan，求证：1＋bn<. 解：(1)设的公比为q， 由a＝2a2a5知2＝2， 所以q＝， 由a1＋2a2＝1得a1＋2a1q＝1，所以a1＝， 所以an＝. (2)证明：由题知bn＝logan＝－， 所以1＋bn－＝1－－＝<0，所以1＋bn<. 15．(多选)在数列{an}中，如果对任意n∈N＋都有＝k(k为常数)，则称{an}为等差比数列，k称为公差比，下列说法正确的是(　　) A．等比数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列 D．若等差数列是等差比数列，则其公差比可能为2 解析：选BC．对于数列{an}，考虑an＝1， 则an＋1＝1，an＋2＝1，无意义，所以A错误； 若等差比数列的公差比为0，＝0，则an＋2－an＋1＝0，则在中分母为0，无意义，故公差比一定不为0，所以B正确； 若an＝－3n＋2，＝＝＝3，数列{an}是等差比数列，所以C正确； 若等差数列是等差比数列，对于an＝a1＋(n－1)d，则an＋2－an＋1＝d，an＋1－an＝d，d≠0，＝＝1，所以D错误．故选BC． 16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＞0，S＝a－λSn＋1，其中λ为常数． (1)证明：Sn＋1＝2Sn＋λ； (2)若数列{an}为等比数列，求λ的值． 解：(1)证明：因为an＋1＝Sn＋1－Sn，S＝a－λSn＋1， 所以S＝(Sn＋1－Sn)2－λSn＋1. 所以Sn＋1(Sn＋1－2Sn－λ)＝0. 因为an＞0，所以Sn＋1＞0，所以Sn＋1－2Sn－λ＝0. 所以Sn＋1＝2Sn＋λ. (2)由(1)知，Sn＋1＝2Sn＋λ，当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋λ， 两式相减，得an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)， 所以数列{an}从第二项起成等比数列，且公比q＝2. 又S2＝2S1＋λ，即a2＋a1＝2a1＋λ， 所以a2＝a1＋λ＝1＋λ.若数列{an}为等比数列， 则a2＝a1q＝1×2＝2，则1＋λ＝2，解得λ＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $