5.2.1 第2课时 等差数列的性质 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．若x，3x－2，3x＋2是等差数列，则 x的值为　(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．因为x，3x－2，3x＋2是等差数列，所以根据等差中项的定义得2×＝x＋，解得x＝3.故选C． 2．已知在等差数列中，a2＝2，a4＝12，则a6的值为(　　) A．18 B．20 C．22 D．24 解析：选C．在等差数列中，a2＝2，a4＝12， 而a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝2×12－2＝22.故选C． 3．在等差数列{an}中，若a4，a8是方程x2－2x－3＝0的两个实数根，则a6＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．－1 解析：选A．由于a4，a8是方程x2－2x－3＝0的两根，所以a4＋a8＝2，即2a6＝2，所以a6＝1.故选A． 4．在数列{an}中，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，a2＋a4＝4，a5＝8，则其首项a1＝(　　) A．3 B．4 C．－3 D．－4 解析：选D．由数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2，n∈N＋)，则an＋1－an＝an－an－1，所以{an}为等差数列，设公差为d，又a2＋a4＝a1＋a5＝4，且a5＝8，所以a1＝－4.故选D． 5．已知等差数列{an}是递增数列且满足a1＋a8＝6，则a6的取值范围是(　　) A．(－∞，3) B．(3，6) C．(3，＋∞) D．(6，＋∞) 解析：选C．因为{an}为等差数列，设公差为d， 因为数列{an}是递增数列，所以d＞0， 所以a1＋a8＝a3＋a6＝2a6－3d＝6， 则2a6－6＝3d＞0，解得a6＞3.故选C． 6．(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　) A．－2，4，10，16 B．16，10，4，－2 C．2，5，8，11 D．11，8，5，2 解析：选AB．设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则 解得或 所以这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2. 故选AB． 7．已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是______． 解析：由题意得 所以3(m＋n)＝20＋16＝36，所以m＋n＝12，所以＝6. 答案：6 8．已知等差数列{an}中，a1＋a6＋a11＝6，且a4＝1，则数列{an}的公差为________． 解析：因为数列{an}为等差数列，则a1＋a6＋a11＝3a6＝6，所以a6＝2，又a4＝1，设{an}的公差为d，所以公差d＝(a6－a4)＝. 答案： 9．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为________升． 解析：设九只茶壶按容积从小到大依次记为a1，a2，…，a9， 由题意可得a1＋a2＋a3＝0.5，a7＋a8＋a9＝2.5， 所以3a2＝0.5，3a8＝2.5⇒a2＋a8＝1， 所以a5＝＝0.5. 答案：0.5 10．在等差数列中， (1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝90，求a9－a12； (2)已知a1＋2a8＋a15＝64，求2a9－a10. 解：(1)在等差数列中， a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝90， 所以a6＝18， 所以a9－a12＝ ＝＝a6＝9. (2)因为a1＋2a8＋a15＝4a8＝64， 所以a8＝16. 所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝16. 11．已知公差不为0的等差数列{an}满足am＋ap＝2a5，则＋的最小值为(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选C．根据等差数列性质可得m＋p＝10， 则(m＋2)＋p＝12， 所以＋＝(m＋2＋p) ＝≥(5＋2)＝， 当且仅当＝，即p＝4，m＝6时，取等号．故选C． 12．(多选)已知等差数列{an}为递减数列，且a3＝1，a2a4＝，则下列结论中正确的有(　　) A．数列{an}的公差为－ B．an＝－n＋ C．数列{a1an}是公差为－1的等差数列 D．a1a7＋a4＝－1 解析：选ABC．由题意知，a2＋a4＝2a3＝2. 又a2a4＝， 故a2，a4可看成方程x2－2x＋＝0的两个实数根， 因为数列{an}为递减数列，所以a4＝，a2＝. 所以公差d＝＝－，故A正确； 又a1＝a2－d＝2，所以an＝2＋(n－1)×＝－n＋，故B正确； 由上可知a1an＝2an，则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2×＝－1， 当n＝1时，a＝4，所以数列{a1an}是首项为4，公差为－1的等差数列，故C正确； 由C选项知，a1an＝5－n，故a1a7＝5－7＝－2， 因为a4＝，所以a1a7＋a4＝－2＋＝－，故D错误．故选ABC． 13．诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从2024年开始到3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为____________． 解析：由题意可知，彗星出现的年份构成一个公差为d＝83，首项为a1＝1 740的等差数列， 所以an＝a1＋(n－1)d＝1 740＋83(n－1)＝83n＋1 657， 令2 024≤an≤3 000， 即2 024≤83n＋1 657≤3 000， 解得≤n≤，又n∈N＋， 所以n＝5，6，…，16， 所以从2024年开始到3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为16－5＋1＝12. 答案：12 14．已知等差数列{an}中，a5＋a13＝34，a1＋a2＋a3＝9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N＋)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为a5＋a13＝2a9＝34，则a9＝17， 因为a1＋a2＋a3＝9，则a2＝3， 设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝2， 故an＝a2＋(n－2)d＝2n－1(n∈N＋). (2)bn＝＝， 由已知可得2b2＝b1＋bm， 即＝＋， 所以＝， 整理可得m＝3＋， 因为m≥3且m，t∈N＋，故t－1为4的正约数， 所以或或 因此，存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N＋)成等差数列，或或 15．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若m＋n＝2p，则“am＋an＝a2p”是“a1＝d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 解析：选D．因为数列是公差为d的等差数列，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap＝a2p⇔2[a1＋(p－1)d]＝a1＋d⇔a1＝d，所以“am＋an＝a2p”是“a1＝d”的充要条件．故选D． 16．给定一个数列，在这个数列中，任取m项，并且不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个m阶子数列．已知数列的通项公式为an＝(n∈N＋，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列的一个3阶子数列． (1)求a的值； (2)设等差数列b1，b2，…，bm是的一个m阶子数列，且b1＝ (k为常数，k∈N＋，k≥2)，求证：m≤k＋1. 解：(1)因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2＋a6＝2a3. 又因为a2＝，a3＝，a6＝， 所以＝＋，解得a＝0. (2)证明：设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d， 因为b1＝，所以b2≤， 从而d＝b2－b1≤－＝－. 所以bm＝b1＋d≤－， 又因为bm>0， 所以－>0， 即m－1<k＋1，所以m<k＋2. 又因为m，k∈N＋，所以m≤k＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $