5.1.2 数列中的递推 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

1．数列1，，，，，…的递推关系可以是(　　)

A．an＝

B．an＝

C．an＋1＝an

D．an＋1＝2an

解析：选C．数列第一项是1，A，B是通项公式的形式，故A，B错误；观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，所以递推关系为an＋1＝an，故C正确，D错误．故选C．

2．已知数列满足an＋1＝1－，a1＝－1，则(　　)

A．a1<a4    B．a1＝a4

C．a2<a3    D．a2＝a3

解析：选B．当n＝1时，a2＝1－＝2，当n＝2时，a3＝1－＝，当n＝3时，a4＝1－＝－1.故选B．

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a5＝(　　)

A．－11    B．9

C．11    D．25

解析：选B．因为Sn＝n2，所以a5＝S5－S4＝25－16＝9.故选B．

4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝，则a10＝(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选B．因为an＋1＝，则＝＝＋n，所以－＝1，－＝2，…，－＝9，以上各式相加可得，－＝1＋2＋3＋…＋9＝45，所以a10＝.故选B．

5．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＋1＝an＋an＋2，则a985＝(　　)

A．1    B．－1

C．2    D．－2

解析：选A．由题知an＋2＝an＋1－an，所以an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an，所以数列{an}具有周期性，且周期T＝6，因为985＝6×164＋1，则a985＝a1＝1.故选A．

6．(多选)已知Sn为数列的前n项和，且对任意的n∈N＋，an＋an＋1＝2n＋1，下列说法正确的是(　　)

A．S2＝3    B．a1＝1

C．S8＝36    D．an＝n

解析：选AC．数列中，对任意的n∈N＋，an＋an＋1＝2n＋1，S2＝a1＋a2＝2×1＋1＝3，S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝3＋7＋11＋15＝36，A，C正确；由a1＋a2＝3，知a1的值无法确定，则{an}的通项公式也无法确定，B，D错误．故选AC．

7．已知数列{an}满足an＋2＝，且a1＝，则a9＝________．

解析：由an＋2＝，得an＋4＝＝＝＝an，则a9＝a5＝a1

＝.

答案：

8．已知在数列{an}中，n(an＋1－an)＝an(n∈N＋)，且a3＝π，则an＝________．

解析：由题意可知，＝，得＝，

即得＝(n≥2)，

显然有＝2，＝，得a2＝，a1＝，

由累乘法可得××××…×＝××××…×，所以＝n，可得an＝(n≥2)，而a1＝符合上式，所以an＝(n∈N＋).

答案：(n∈N＋)

9．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，…这些数量的石子，排成一个个如图所示的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是__________．

解析：依题意，设三角形数按从小到大排列构成数列{an}，则a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a11－a10＝11，上式相加得a11－a1＝2＋3＋…＋11，则第11个三角形数是a11＝66.

答案：66

10．已知在数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an＋ln ，求数列{an}的通项公式．