6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦简单复合函数的概念及求导法则，通过网购拆包装的生活情境导入，结合对数函数等已有知识设计思考问题，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其特色在于以生活情境培养数学眼光，分步求导训练数学思维，规范例题解析提升数学语言表达。采用“概念辨析-法则推导-例题应用-巩固自测”流程，助力学生掌握复合函数求导技能，教师可高效开展教学。

6．1.4　求导法则及其应用 第2课时　简单复合函数的求导法则 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．　2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 　　同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数． 新知学习 探究 返回导航 思考1　函数y＝ln (2x－1)是对数函数吗？ 提示：不是． 思考2　函数y＝ln (2x－1)与y＝ln x及y＝2x－1是何关系？ 提示：y＝ln (2x－1)中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x 中x的位置，若f(x)＝ln x，则f(2x－1)＝ln (2x－1). 新知学习 探究 返回导航 一　复合函数的概念 　　一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定 x 的任意一个值，就能确定 u 的值，如果此时还能确定 y 的值，则 y 可以看成 ________，此时称 f(g(x))有意义，且称 y＝h(x)＝________为函数 f(u)与 g(x)的复合函数，其中 u 称为____________． x 的函数 f(g(x)) 中间变量 新知学习 探究 返回导航 √ √ √ 解析：A不是复合函数； B，C，D都是复合函数． 新知学习 探究 返回导航 2．指出下列函数的复合关系． (1)y＝(a＋bx)5； 解：对于y＝(a＋bx)5，可分解为y＝u5， u＝a＋bx. 新知学习 探究 返回导航 指出下列函数的复合关系． (3)y＝3log2(x2－2x＋3)； 解：对于y＝3log2(x2－2x＋3)， 可分解为y＝3log2u，u＝x2－2x＋3. 新知学习 探究 返回导航 划分复合函数中的外层函数与内层函数注意事项 (1)内外两层或多层函数都应是基本初等函数． (2)复合函数是通过中间变量把内外两层函数“复合”而成的，而非加、减、乘、除的关系． (3)内层函数的值域全部或部分应包含在外层函数的定义域内． 新知学习 探究 返回导航 二　复合函数的求导法则 　　一般地，如果函数 y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)g′(x)＝_______________，也可表示为y′x＝______________． 点拨　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构； (2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层函数不变的原则； (3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． f′(g(x))g′(x) y′uu′x 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 求下列函数的导数． (2)y＝esin x； 【解】　设u＝sin x，则y＝eu， 所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(sin x)′＝eu·cos x＝esin xcos x. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 求下列函数的导数． (4)y＝5log2(2x＋1). 新知学习 探究 返回导航 求复合函数的导数的步骤 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 求下列函数的导数． (1)y＝cos (1＋x2)； 解：设u＝1＋x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(cos u)′·(1＋x2)′＝－sin u·2x＝－2x sin (1＋x2). (2)y＝ln (2x2＋x)； 新知学习 探究 返回导航 求下列函数的导数． (3)y＝e－2x＋1. 解：设u＝－2x＋1，则y＝eu，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(－2x＋1)′＝－2eu＝－2e－2x＋1. 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．解决与切线有关的问题的前提是正确求出复合函数的导数，其次关注已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点坐标设出来，并求出切点的坐标，从而求出切线方程． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)若曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知函数f(x)＝－x2＋3xf′(1)＋6ln (2x＋1)，则f(1)＝________． 6ln 3－4 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 27 √ 1．(教材P89练习BT4改编)设f(x)＝e2x－x，则f(x)在x＝0处的导数f′(0)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．e 解析：由已知可得，f′(x)＝e2x·(2x)′－x′＝2e2x－1，所以f′(0)＝1.故选C． 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 1 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P90习题6－1BT4改编)已知函数f(x)＝(3x＋1)2ln (3x). (1)求f(x)的导数； 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：复合函数的概念、复合函数的求导法则． 2．须贯通：对复合函数求导，熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，可直接运用公式，由外及内逐层求导． 3．应注意：(1)求复合函数的导数时应把握结构特征正确分解函数；(2)求导时要分清是对哪个变量求导． 课堂巩固 自测 返回导航 解：对于y＝ln ，可分解为y＝ln u，u＝υ， υ＝ex＋2. 【解】　设u＝1－2x2，则y＝＝u， 所以y′x＝y′u·u′x＝(u)′·(1－2x2)′＝u·(－4x)＝(1－2x2) ·(－4x)＝. 【变式探究】 (综合变式)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为2”，求实数m的值． $