6.1.4 第2课时 简单复合函数的求导法则-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用Word(人教B版)

该教案聚焦简单复合函数的求导法则，通过分析y=(3x-1)²、y=sin2x等实例引出复合函数概念，衔接基本初等函数导数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以数学运算和数学思维为核心，通过“想一想”辨析复合函数，例题分步拆解求导过程，培养学生逻辑推理能力，拓展探究导函数性质深化理解，助力学生提升运算技能，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

第二课时　简单复合函数的求导法则 新课程标准解读 核心素养 能求简单的复合函数的导数 数学运算 　　观察函数y＝（3x－1）2和y＝sin 2x，不难发现，y＝（3x－1）2由y＝u2及u＝3x－1复合而成，y＝sin 2x由y＝sin u及u＝2x复合而成.像这样由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数. 【问题】　怎样求复合函数的导数呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　复合函数 1.复合函数的定义 已知函数y＝f（u）与u＝g（x），给定x的任意一个值，就能确定u的值.如果此时还能确定y的值，则y可以看成x的函数，此时称f（g（x））有意义，且称y＝h（x）＝　f（g（x））　为函数f（u）与g（x）的复合函数，其中　u　称为中间变量. 2.复合函数的求导法则 如果函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数为y＝h（x）＝f（g（x）），则 （1）h'（x）＝[f（g（x））]'＝　f'（u）·g'（x）　＝　f'（g（x））·g'（x）　； （2）y'x＝　y'u·u'x　. 【想一想】 1.已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）.这三个函数都是复合函数吗？ 提示：函数y＝ln（2x＋5），y＝sin（x＋2）是复合函数，函数y＝2x＋5＋ln x不是复合函数. 2.试说明函数y＝ln（2x＋5）是如何复合的？ 提示：设u＝2x＋5，则y＝ln u，从而y＝ln（2x＋5）可以看作是由y＝ln u和u＝2x＋5，经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数. 3.求复合函数的导数与顺序有关吗？ 提示：一般是从最外层开始，由外及内，一层层地求导. 1.函数y＝cos 2x的导数为（　　） A.y'＝sin 2x　　　　　　 B.y'＝－sin 2x C.y'＝－2sin 2x D.y'＝2sin 2x 解析：C　y'＝（cos 2x）'＝－2sin 2x. 2.函数f（x）＝（2x＋1）5，则f'（0）的值为　10　. 解析：f'（x）＝5（2x＋1）4·（2x＋1）'＝10（2x＋1）4，∴f'（0）＝10. 3.若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝ex－2的切线，则k＝　1或　. 解析：设y＝kx＋b与y＝ex－2和y＝ln x的切点分别为（x1，），（x2，ln x2），由导数的几何意义可得k＝＝，曲线y＝ex－2在点（x1，）处的切线方程为y－＝（x－x1），即y＝x＋（1－x1），曲线y＝ln x在点（x2，ln x2）处的切线方程为y－ln x2＝（x－x2），即y＝x＋ln x2－1，则解得x2＝1，或x2＝e，所以k＝1或. 题型一 简单复合函数求导 【例1】　求下列函数的导数： （1）y＝ecos x＋1； （2）y＝log2（2x＋1）； （3）y＝2sin； （4）y＝ . 解：（1）设y＝eu，u＝cos x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝eu·（－sin x）＝－ecos x＋1sin x. （2）设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝＝. （3）设y＝2sin u，u＝3x－， 则y'　x＝y'　u·u'　x＝2cos u×3＝6cos. （4）设y＝，u＝1－2x，则y'　x＝y'　u·u'　x＝'·（1－2x）'＝－×（－2）＝（1－2x. 通性通法 1.求复合函数的导数的步骤 2.求复合函数的导数的注意点 （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝103x－2； （2）y＝ln（ex＋x2）； （3）y＝sin4x＋cos4x. 解：（1）令u＝3x－2，则y＝10u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝10uln 10·（3x－2）' ＝3×103x－2ln 10. （2）令u＝ex＋x2，则y＝ln u， 所以y'　x＝y'　u·u'　x＝·（ex＋x2）' ＝·（ex＋2x）＝. （3）因为y＝sin4x＋cos4x ＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x ＝1－sin22x＝1－（1－cos 4x） ＝＋cos 4x， 所以y'＝'＝－sin 4x. 题型二 复合函数与导数的运算法则的综合应用 【例2】　求下列函数的导数： （1）y＝； （2）y＝x； （3）y＝xcossin. 解：（1）∵（ln 3x）'＝×（3x）'＝， ∴y'＝ ＝＝. （2）y'＝（x）' ＝x'＋x（）' ＝＋ ＝. （3）∵y＝xcossin ＝x（－sin 2x）cos 2x＝－xsin 4x， ∴y'＝' ＝－sin 4x－cos 4x·4 ＝－sin 4x－2xcos 4x. 通性通法 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的. 2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导. 【跟踪训练】 　求下列函数的导数： （1）y＝sin2； （2）y＝sin3x＋sin x3. 解：（1）∵y＝， ∴y'＝（－）'＝sinx. （2）y'＝（sin3x＋sin x3）'＝（sin3x）'＋（sin x3）' ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. 题型三 复合函数的导数与导数几何意义的综合应用 【例3】　曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（　　） A. B.2 C.3 D.0 解析：A　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.∵y＝ln（2x－1），∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是. 【母题探究】 （变条件，变设问）若本例条件变为“曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值. 解：由题意可知，设切点为P（x0，y0）， ∵y＝ln（2x－1）， ∴y'＝，y＝＝2，解得x0＝1， ∴y0＝0，即切点P（1，0）， ∴＝2，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12. 通性通法 　　本类题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时要注意所给点是否为切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键. 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f'（x）是f（x）的导函数，且a＝f'，求过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程. 解：∵f'（x）＝3－2sin 2x＋2cos 2x，∴f'＝3－2sin ＋2cos ＝1，即a＝1，∵P（a，b）在曲线y＝x3上，∴b＝a3＝1，即P（1，1）， ①若P是切点，∵y'＝3x2，∴曲线y＝x3在P（1，1）处的切线斜率k＝3， ∴所求切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0； ②若P不是切点，可设切点坐标为（t，t3）， ∴切线斜率k＝3t2＝，解得t＝－， ∴k＝， ∴所求切线方程为y－1＝（x－1），即3x－4y＋1＝0. 综上所述：过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 　导函数的奇偶性及周期性探究 1.若f（x）＝xα，则f'（x）＝αxα－1，如f（x）＝x3，f'（x）＝3x2，g（x）＝x4，g'（x）＝4x3. 2.若f（x）＝sin x，则f'（x）＝cos x. 3.若f（x）＝cos x，则f'（x）＝－sin x. 【问题探究】 　由上述导数公式试归纳猜想以下命题成立： （1）奇函数的导数是偶函数； （2）偶函数的导数是奇函数； （3）周期函数的导数还是周期函数. 提示：（1）设f（x）是可导的奇函数，则有f（－x）＝－f（x），两边对x求导，得f'（－x）·（－x）'＝－f'（x），即－f'（－x）＝－f'（x），f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）为偶函数，故原命题成立. （2）设f（x）是可导的偶函数，则f（－x）＝f（x），两边对x求导，得f'（－x）×（－x）'＝f'（x），即－f'（－x）＝f'（x），从而f'（x）是奇函数，故原命题成立. （3）设f（x）为可导的周期函数，T为f（x）的一个周期，则对定义域内的每一个x，都有f（x＋T）＝f（x），两边同时对x求导得f'（x＋T）（x＋T）'＝f'（x），即f'（x＋T）＝f'（x），从而f'（x）也是以T为周期的周期函数，故原命题成立. 【迁移应用】 　推广1：可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 证明：必要性：由函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称，得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a），于是[f（x）＋f（2a－x）]'＝[2f（a）]'，又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'（2a－x）， 因此f'（x）－f'（2a－x）＝0，即f'（x）＝f'（2a－x）. 所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称，则f'（x）＝f'（2a－x）， 即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0，于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C为常数）. 令x＝a，则有2f（a）＝C.所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）. 因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a，f（a））中心对称. 推广2：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 证明：必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，则f（x）＝f（2a－x），于是f'（x）＝[f（2a－x）]'，故f'（x）＝－f'（2a－x）， 即f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称. 充分性：导函数y＝f'（x）的图象关于点（a，0）中心对称，则f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 即[f（x）－f（2a－x）]'＝0，因此f（x）－f（2a－x）＝C（C为常数）. 令x＝a，得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）. 故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 1.已知f（x）＝cos 2x＋e2x，则f'（x）＝（　　） A.－2sin 2x＋2e2x B.sin 2x＋e2x C.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x 解析：A　f'（x）＝－sin 2x·（2x）'＋e2x·（2x）'＝－2sin 2x＋2e2x，故选A. 2.函数y＝x2cos的导数为（　　） A.y'＝2xcos－x2sin B.y'＝2xcos－2x2sin C.y'＝x2cos－2xsin D.y'＝2xcos＋2x2sin 解析：B　y'＝（x2）'cos＋x2' ＝2xcos＋x2'＝2xcos－2x2sin. 3.设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：D　y'＝a－，则y'｜x＝0＝a－1.又切线方程为y＝2x，所以a－1＝2，解得a＝3. 4.已知f（x）＝ln（3x－1）， 则f'（1）＝　　. 解析：∵f'（x）＝·（3x－1）'＝，∴f'（1）＝. 5.设曲线y＝eax在点（0，1）处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝　2　. 解析：由题意知y'＝aeax，∴k＝a·ea×0＝a＝2. 1.下列求导运算正确的是（　　） A.（sin x）'＝－cos x B.（log2x）'＝ C.'＝ D.（e2x＋1）'＝2e2x＋1 解析：D　选项A，（sin x）'＝cos x，故A错误；选项B，（log2x）'＝，故B错误；选项C，'＝，故C错误；选项D，（e2x＋1）'＝e2x＋1·（2x＋1）'＝2e2x＋1正确.故选D. 2.设函数f（x）＝（1－2x3）10，则f'（1）＝（　　） A.0　　　　　　　　　　 B.60 C.－1 D.－60 解析：B　f'（x）＝10（1－2x3）9（－6x2），所以f'（1）＝10×（1－2）9×（－6）＝60. 3.曲线y＝f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D.1 解析：A　∵f'（x）＝－2e－2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2，∴曲线在点（0，2）处的切线方程为y＝－2x＋2.由得x＝y＝，∴A，则围成的三角形的面积为××1＝. 4.曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率等于（　　） A.2e B.e C.2 D.1 解析：C　由y＝xex－1，得y'＝ex－1＋xex－1，故y'｜x＝1＝2，故切线的斜率为2. 5.设f（x）＝ln（2x－1），若f（x）在x0处的导数f'（x0）＝1，则x0的值为（　　） A. B. C.1 D. 解析：B　由f（x）＝ln（2x－1），得f'（x）＝，由f'（x0）＝＝1，解得x0＝. 6.函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（　　） A.0 B. C. D. 解析：D　∵f'（x）＝，∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝＝1.设函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为θ，则tan θ＝1，∴θ＝. 7.若y＝f（x）＝（2x＋a）2，且f'（2）＝20，则a＝　1　.　 解析：令u＝2x＋a，则yx'＝yu'·ux'＝（u2）'（2x＋a）'＝4（2x＋a），则f'（2）＝4（2×2＋a）＝20，∴a＝1. 8.已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，则x＞0时，f（x）＝　－ex＋　，f（1）＋f'（1）＝　－2e　. 解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋，∴令x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋，x＞0.∴f'（x）＝－ex－，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋1，∴f（1）＋f'（1）＝－e－1－e＋1＝－2e. 9.已知函数f（x）＝x（1－ax）2（a＞0），且f'（2）＝5，则实数a的值为　1　. 解析：∵f'（x）＝（1－ax）2－2ax（1－ax），∴f'（2）＝（1－2a）2－4a（1－2a）＝12a2－8a＋1＝5（a＞0），解得a＝1. 10.曲线y＝e2xcos 3x在（0，1）处的切线与直线l平行，且与l的距离为 ，求直线l的方程. 解：由y'＝（e2xcos 3x）' ＝（e2x）'cos 3x＋e2x（cos 3x）' ＝2e2xcos 3x＋e2x（－3sin 3x） ＝e2x（2cos 3x－3sin 3x）， 得y'x＝0＝2. 则切线方程为 y－1＝2（x－0）， 即2x－y＋1＝0. 若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0， 两平行线间的距离d＝＝，解得c＝6或c＝－4. 故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. 11.（多选）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（　　） A.f（x）＝sin x－cos x B.f（x）＝ln x－2x C.f（x）＝－x3＋2x－1 D.f（x）＝xex 解析：AD　对于A，f'（x）＝cos x＋sin x，f″（x）＝－sin x＋cos x＝－sin，当x∈时，－＜x－＜0，f″（x）＞0，故f（x）＝sin x－cos x不是凸函数；对于B，f'（x）＝－2，f″（x）＝－＜0，故f（x）＝ln x－2x是凸函数；对于C，f'（x）＝－3x2＋2，对任意的x∈，f″（x）＝－6x＜0，故f（x）＝－x3＋2x－1是凸函数；对于D，f'（x）＝（x＋1）ex，对任意的x∈，f″（x）＝（x＋2）ex＞0，故f（x）＝xex不是凸函数.故选A、D. 12.已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是　2x－y＝0　. 解析：设x＞0，则－x＜0，f（－x）＝ex－1＋x.因为f（x）为偶函数，所以当x＞0时，f（x）＝ex－1＋x，f'（x）＝ex－1＋1，f'（1）＝2，即所求的切线方程为y－2＝2（x－1），即2x－y＝0. 13.设曲线y＝e－x（x≥0）在点M（t，e－t）处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S（t）. （1）求切线l的方程； （2）求S（t）的解析式. 解：（1）∵y＝e－x，∴yx'＝（e－x）'＝－e－x， 当x＝t时，yx'＝－e－t. 故切线方程为y－e－t＝－e－t（x－t）， 即x＋ety－（t＋1）＝0. （2）令y＝0，得x＝t＋1. 令x＝0，得y＝e－t（t＋1）. ∴S（t）＝（t＋1）·e－t（t＋1）＝（t＋1）2e－t（t≥0）. 14.设函数f（x）＝cos（x＋φ），其中常数φ满足－π＜φ＜0.若函数g（x）＝f（x）＋f'（x）（其中f'（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（　　） A.－π B.－π C.－π D.－π 解析：A　∵f（x）＝cos（x＋φ），∴f'（x）＝－sin（x＋φ），∴g（x）＝f（x）＋f'（x）＝cos（x＋φ）－sin（x＋φ）＝2cos（x＋φ＋）.∵函数g（x）为偶函数，∴φ＋＝kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.故选A. 15.随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系P（t）＝P0，其中P0为t＝0时该放射性同位素的含量.已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，求该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需的时间. 解：由P（t）＝P0得P'（t）＝－·P0·ln 2，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，即P'（15）＝－P0＝－，解得P0＝18，则P（t）＝18·，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P（t）＝4.5，所以18·＝4.5，即＝，所以－＝－2，解得t＝60. 故该放射性同位元素含量为4.5贝克时衰变所需的时间为60天. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $