6.1.4 第1课时 导数四则运算法则及应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦导数四则运算法则及应用，通过“思考1-3”从基本初等函数导数入手，引导学生用定义推导和差法则，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以问题链驱动学生用数学眼光观察导数运算规律，通过证明过程和多方法解题（如例1两种解法）培养数学思维，规范的符号表达和解题步骤强化数学语言。实例丰富且分层，助力学生深化理解，教师可直接用于课堂，提升教学效率。

6．1.4　求导法则及其应用 第1课时　导数四则运算法则及应用 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则．　2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 　　同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导公式，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减、乘、除等多种形式的组合，组合后的函数，又如何求导，将是我们本节课要学习的内容． 新知学习 探究 返回导航 思考1　已知f(x)＝x2，g(x)＝x，由基本初等函数的求导公式写出两函数的导数． 提示：f′(x)＝2x，g′(x)＝1. 思考2　已知f(x)＝x2，g(x)＝x，利用定义求函数y＝f(x)＋g(x)的导数． 思考3　由思考1与思考2，可猜想到什么结论？ 提示：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x). 新知学习 探究 返回导航 一　函数和与差的求导法则 　　一般地，如果f(x)，g(x)都可导，则[f(x)±g(x)]′＝________________． 点拨　推广[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x). f′(x)±g′(x) 新知学习 探究 返回导航 (2)f(x)＝ex＋ln x＋sin x； 新知学习 探究 返回导航 (4)y＝cos x＋x； 解：y′＝(cos x)′＋(x)′＝－sin x＋1. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，对于每一项分别利用导数的求导公式求导即可． 新知学习 探究 返回导航 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) Cf′(x) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　　求下列函数的导数． (1)y＝x3ex；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； 【解】　因为y＝x3ex，则y′＝(x3ex)′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2ex(x＋3). 新知学习 探究 返回导航 求下列函数的导数． (2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； 【解】　方法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′ ＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 方法二：因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－1′＝18x2＋4x－3. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 　　一般情况下，使用积、商的求导法则运算量较大，可考虑先利用代数恒等变形，化简为代数式的加、减形式，再求导． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1]求下列函数的导数． (1)y＝x ln x； 解：y′＝(x ln x)′＝x′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1. 新知学习 探究 返回导航 求下列函数的导数． (3)y＝(x－1)(x－2)(x－3)； 解：因为y＝(x－1)(x－2) (x－3)＝x3－6x2＋11x－6，所以y′＝3x2－12x＋11. 新知学习 探究 返回导航 三　导数的运算法则与求导公式的应用 角度1　导数的运算法则与求导公式的综合运算 　　　(对接教材例1)求下列函数的导数． (1)y＝x2＋x ln x； (2)f(x)＝ex ln x＋sin x； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 求下列函数的导数． (4)y＝ex tan x. 新知学习 探究 返回导航 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． (2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)曲线f(x)＝3ln x －x2f′(1)在点(3，m)处的切线方程为_________________. 5x＋y－3ln 3－6＝0 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 含f′(c)函数的求导问题的解题策略 　　含f′(c)函数在求导时，一定要抓住f′(c)为常数这一特点，也就是说，不管应用和、差、积、商哪一个法则，求导时，一律把f′(c)当常数处理． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)写出曲线y＝(2x＋1)ex过坐标原点的一条切线的方程 ________________________________________． 新知学习 探究 返回导航 (1)熟练掌握导数的运算法则和基本初等函数的求导公式． (2)涉及切点、切点处的导数、切线方程等问题时，会根据题意进行转化，并分清“在点”和“过点”的问题． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线为l，则l的斜率为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C．1 D．－1 解析：对f(x)＝2x cos x求导得，f′(x)＝(ln 2)×2x·cos x－2x·sin x，由题意得曲线f(x)＝2x cos x在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f′(0)＝(ln 2)×20·cos 0－20·sin 0＝ln 2.故选A． √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 36 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 3．已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________． 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 求下列函数的导数． (3)y＝x sin x＋ex ln x－2； 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：导数的四则运算法则及其应用． 2．须贯通：对于函数求导运算，一般遵循先化简、再求导的基本原则． 3．应注意：在两个函数的商的导数法则中，分母函数不能为0，否则无意义． 课堂巩固 自测 返回导航 － 【解】　f′(x)＝(ex ln x＋sin x)′＝ex ln x＋＋cos x. y＝4x或y＝x(任写一个即可) 【解析】　y′＝(2x＋3)ex，设切点为(t，(2t＋1)et)， 故切线方程为y－(2t＋1)et＝(2t＋3)et(x－t)， 由于切线过原点，故0－(2t＋1)et＝(2t＋3)·et·(0－t)，整理得2t2＋t－1＝(t＋1)(2t－1)＝0，解得t＝－1或t＝.当t＝－1时，切线方程为y＋e－1＝e－1(x＋1)，即y＝x.当t＝时，切线方程为y－2e＝4e，即y＝4x. － $