5.3.1 第2课时 等比数列的性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等比数列性质第2课时，核心内容包括等比中项概念、等比数列常用性质及等差等比综合问题，课堂导入通过类比等差数列，从等差中项、项的和性质入手，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以类比思想引导探究，结合即时练与跟踪训练强化性质应用，如等比中项辨析、对称设项解题，培养学生数学思维与数学语言表达能力，帮助学生提升逻辑推理与运算能力，为教师提供系统教学资源，助力高效教学。

5．3.1　等比数列 第2课时　等比数列的性质 1.理解等比中项的概念．　2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质． 3．能运用等比数列的性质简化计算并能解决与等比数列有关的问题． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”．在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质． 思考1　根据等差中项的定义，任意两个实数a，b中插入一个数A，均可以构成等差数列，那么，任意两个实数a，b中插入一个数G，能否构成等比数列？ 提示：不一定，若a，G，b成等比数列，则有G2＝ab，若实数a，b有一个为0或者异号，a，G，b不能构成等比数列． 新知学习 探究 返回导航 思考2　我们知道，如果数列{an}为等差数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.类比等差数列，若数列{an}为等比数列，则有什么类似的结论？ 提示：如果数列{an}为等比数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 ±1 新知学习 探究 返回导航 ③ 新知学习 探究 返回导航 3．若公差不为0的等差数列{an}满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝________． 1 新知学习 探究 返回导航 4．已知数列{an}满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列．证明：{an}为等比数列． 新知学习 探究 返回导航 对等比中项的理解 (1)若G2＝xy，则x，G，y不一定成等比数列；只有同号的两个不为0的实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． (3)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列．　 新知学习 探究 返回导航 asat＝apaq a2·an－1 ak·an－k＋1 新知学习 探究 返回导航 点拨　等比数列的性质可以推广为： 当m＋n＋s＝x＋y＋z(m，n，s，x，y，z∈N＋)时，amanas＝axayaz. 新知学习 探究 返回导航 　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，(a2＋2a4＋a6)a4＝25，则a3＋a5＝(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 √ 新知学习 探究 返回导航 －6 新知学习 探究 返回导航 应用等比数列性质的解题策略 (1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题． (2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的序号之间的关系，充分利用等比数列项的运算性质进行求解．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________． 解析：设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2. －2 新知学习 探究 返回导航 (2)在正项等比数列{an}中，若a4a8＝2，则log2a2＋2log2a6＋log2a10＝________． 2 新知学习 探究 返回导航 三　等差数列与等比数列的综合问题 角度1　对称设项求数列的项 　(对接教材例7)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] 有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 45 新知学习 探究 返回导航 角度2　等差、等比数列的综合应用 　已知公比大于1的等比数列{an}满足：a1＋a4＝18，a2a3＝32. (1)求{an}的通项公式； 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 已知公比大于1的等比数列{an}满足：a1＋a4＝18，a2a3＝32. 新知学习 探究 返回导航 解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面 (1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用． (2)对于解答题注意基本量及方程思想． (3)注重问题的转化，利用非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题． (4)当题中出现多个数列时，既要纵向考查单一数列的项与项之间的关系，又要横向考查各数列之间的内在联系．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练3] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2，…)，且a2＝3，S5＝25. (1)求{an}的通项公式； 新知学习 探究 返回导航 已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1，2，…)，且a2＝3，S5＝25. (2)等比数列{bn}的首项为1，公比q＝3，使得{bn}的每一项都是{an}中的项．若bk＝am(k，m∈N＋)，求m.(用含k的式子表示) 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 29 √ 1．(教材P37T5改编)在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝36，则a2a14＝(　　) A．6 B．9 C．±6 D．±9 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 4．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (1)求{an}的公比； 解：设{an}的公比为q，因为a1为a2，a3的等差中项， 所以2a1＝a2＋a3，a1≠0，所以q2＋q－2＝0， 因为q≠1，所以q＝－2. 课堂巩固 自测 返回导航 设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项． (2)若a1＞0，a4a6＝4，求a3. 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：等比中项的概念、等比数列的性质及应用、等差数列与等比数列的综合问题． 2．须贯通：(1)灵活利用等比数列的性质，可以减少运算量，该思路运用了整体代换的思想；(2)解决等差、等比数列综合问题，一定要弄清等差数列中的某些项与等比数列中的某些项之间的关系，然后利用两种数列的性质求解． 3．应注意：等比数列{an}中，下标和相等的项的积相等，要求等式两边项的个数必须相同．　 课堂巩固 自测 返回导航 $