6.1.2 第2课时 导数的几何意义(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“导数的几何意义”核心知识点，衔接导数的瞬时变化率概念，通过割线到切线的转化过程，帮助学生理解导数即曲线在某点处切线斜率的几何意义，进而延伸至曲线切线方程（分“在某点处”和“过某点”两种类型）的求法及利用导数求近似值，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以“弯道超越”现实情境引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过思考问题链引导学生推理割线与切线的关系，发展数学思维，例题与即时练结合规范解题步骤，强化数学语言表达。课中助力教师突破切线方程求解难点，课后跟踪训练与练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第2课时　导数的几何意义 1.理解导数的几何意义，会求导数．　2.会求曲线的切线方程．　3.会求近似值． 在赛跑、赛车和滑冰运动中，我们常听到“弯道超越”这样的词语，教练通过回放录像分析运动员弯道时的运动方向，这需要求运动曲线在任意一点的切线，那么怎样求曲线的切线？这节课我们就来研究求曲线在某点处的切线问题． 思考　我们知道导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况．如图，平均变化率＝与直线P0P的斜率有何关系？ 提示：相等． 一　导数的几何意义 1．曲线的切线 一般地，如图所示，设S是平面上的一条曲线，P0是曲线S上的一个定点，P是曲线S上P0附近的点，则称直线PP0为曲线S的割线，如果P无限接近于P0时，割线PP0无限接近于通过P0的一条直线l，则称________为曲线S在点P0处的切线． 2．导数的几何意义 f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的____________，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是____________________． [答案自填] 直线l　切线的斜率　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．(　　) (2)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．(　　) (3)过曲线上的一点作曲线的切线，该点一定是切点．(　　) (4)f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线可能存在．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是(　　) A．f′(1)<f′(2)<f(2)－f(1)<0 B．f′(2)<f(2)－f(1)<f′(1)<0 C．f′(1)<f(2)－f(1)<f′(2)<0 D．f(2)－f(1)<f′(1)<f′(2)<0 解析：选C．设A(1，f(1))，B(2，f(2))，由图可得f′(1)<kAB<f′(2)， 而kAB＝＝f(2)－f(1)，故f′(1)<f(2)－f(1)<f′(2)<0.故选C． 3．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，方程为y＝－x＋4，则f′(2)＝________． 解析：因为在点P(2，y)处的切线y＝－x＋4的斜率为－1，所以f′(2)＝－1. 答案：－1 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 二　曲线的切线方程 角度1　曲线在某点处的切线 　(对接教材例4、例5)求曲线f(x)＝x2－x＋3在点(1，3)处的切线方程． 【解】　因为f′(1)＝ ＝ ＝1， 所以这条曲线在点(1，3)处的切线斜率k＝1，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0. 在某点处的切线方程的求法 一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知曲线C在点P处的切线的斜率k＝ ＝ ，进而由点与斜率得点斜式方程，化简得切线方程． 角度2　曲线过某点的切线 　已知曲线y＝x3＋，求曲线过点P(2，4)的切线方程． 【解】　设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为 k＝ ＝x， 所以切线方程为y－＝x(x－x0)， 即y＝x·x－x＋. 因为点P(2，4)在切线上， 所以4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0. 所以x＋x－4x＋4＝0， 所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， 所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0. 过某点的切线方程的求法 (1)已知曲线过点(x1，y1)，设切点(x0，f(x0))； (2)建立方程f′(x0)＝； (3)解方程得k＝f′(x0)，由x0，f(x0)及k，写出切线方程． [跟踪训练1] (1)已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为　(　　) A．　　 B． C． D． 解析：选C．因为点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，所以在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝ ＝－1，又因为倾斜角的取值范围是[0，π)，所以在点P处的切线的倾斜角为.故选C． (2)过点(－1，0)且与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程是________________． 解析：设切点为(x0，x＋x0＋1)，则切线的斜率为 k＝ ＝2x0＋1. 又k＝＝， 所以2x0＋1＝，解得x0＝0或x0＝－2. 当x0＝0时，切线斜率k＝1，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0； 当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过点(－1，0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0. 故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0. 答案：x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0 三　求近似值 　已知f(x)＝x2＋1，若f(1)＝2，f′(1)＝2，Δx＝0.04，则f(1.04)的近似值为________． 【解析】　设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0， 则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)(x－x0)， 所以f(1.04)≈f(1)＋0.04f′(1)＝2＋0.04×2＝2.08. 【答案】　2.08 求函数近似值或方程近似解可以从函数导数的实际意义角度考虑，即f′(x)的实际意义：当自变量在x＝x0处的改变量Δx很小时，因变量对应的改变量的近似值为f′(x0)Δx. [跟踪训练2] 已知f(x)＝，则f′(3)＝________，利用Δx＝0.02，可得f(3.02)的近似值为________． 解析：f′(3)＝ ＝ ＝9， f(3.02)＝f(3＋0.02)≈f(3)＋0.02f′(3)＝9＋0.02×9＝9.18. 答案：9　9.18 1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝(　　) A．4 B．－4 C．－2 D．2 解析：选D．由导数的几何意义知f′(1)＝2.故选D． 2．(多选)已知函数f(x)满足f(1)＝3，f′(1)＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是(　　) A．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0 B．f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0 C．f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方 D．f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方 解析：选BC．因为f′(1)＝－3<0，则f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；因为f(1)＝3>0，所以f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方．故选BC． 3．(教材P75T5改编)已知f(x)＝2x2－3，若f(2)＝5，f′(2)＝4，Δx＝0.02，则f(2.02)的近似值为________． 解析：设x＝x0＋Δx，Δx＝x－x0，则有f(x)≈f(x0)＋f′(x0)·(x－x0)，所以f(2.02)≈f(2)＋0.02f′(2)＝5＋0.02×4＝5.08. 答案：5.08 4．(教材P75T4改编)已知曲线y＝－x2，求该曲线在点P(2，－2)处的切线方程． 解：令f(x)＝－x2，则f′(x)＝ ＝ ＝ (－x－Δx)＝－x，所以f′(2)＝－2，即该曲线在点P(2，－2)处的切线斜率为－2，所以所求的切线方程为y－(－2)＝－2(x－2)，即2x＋y－2＝0. 1．已学习：导数的几何意义、曲线的切线方程的求法以及利用导数求近似值． 2．须贯通：(1)导数的几何意义就是切线的斜率，其斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况； (2)求曲线的切线方程时，利用导数的几何意义，先求出切线的斜率，再利用点斜式写出切线方程． 3．应注意：“在”某点处与“过”某点的切线的区别；切线过某点，该点不一定是切点；切点既在切线上，又在原函数图象上． 学科网（北京）股份有限公司 $