5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和的性质、最值问题及实际应用，通过“思考1”“思考2”引导学生发现Sn与S₂ₙ关系、前n项和函数特点，衔接等差数列定义与通项公式，搭建递进式学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，如通过S₁₀=100，S₁₀₀=10求S₁₁₀培养数学思维，结合宿舍楼费用等实际问题发展数学眼光与模型意识。小结提炼性质应用与函数思想，助力学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

5．2.2　等差数列的前n项和 第2课时　等差数列前n项和的性质 1.构造等差数列求和模型，解决实际问题．　2.能解决等差数列中前n项和的最值问题．　3.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 思考1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 新知学习 探究 返回导航 思考2　等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________． －110 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝(　　) A．30 B．26 C．56 D．42 解析：由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列，即2，14，…，所以S12－S8＝26，所以S12＝S8＋26＝42.故选D． √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 3 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 大 小 新知学习 探究 返回导航 小 大 新知学习 探究 返回导航 　(对接教材例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论错误的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．a13＞0 C．当Sn取得最大值时，n＝13 D．|a13|＞|a12| √ √ √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 (2)已知等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________． 新知学习 探究 返回导航 三　等差数列前n项和的实际应用 　某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和) 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 应用等差数列解决实际问题的一般思路 新知学习 探究 返回导航 √ [跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) A．44π B．64π C．70π D．80π 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 34 √ 1．(教材P59T3改编)在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B． 课堂巩固 自测 返回导航 2．(多选)(教材P28习题5－2BT3改编)已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a9<0，a1＋a18>0，则(　　) A．a1>0 B．a10>0 C．S9>0 D．Sn的最小值为S9 解析：由a9<0，a1＋a18>0，所以a1＋a18＝a9＋a10>0，即a10>－a9>0，所以当1≤n≤9，n∈N＋时，an<0；当n≥10，n∈N＋时，an>0；所以a1<0，故A错误； a10>0，故B正确； S9<0，故C错误； Sn的最小值为S9，故D正确．故选BD． √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 4．已知项数为奇数的等差数列{an}，若奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项及项数． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及与前n项和有关的实际应用问题． 2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想； (2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点． 3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．　 课堂巩固 自测 返回导航 方法四：设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25， 所以二次函数图象的对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值． 由题意得解得 所以Sn＝－n2＋26n，所以S13＝169，即Sn的最大值为169. $