5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列前n项和公式这一核心知识点，从等差数列求和方法类比引入，通过S64=1+2+…+2^63的具体问题引导错位相减法推导，分q=1和q≠1两种情况呈现公式，结合五个量关系及函数特征构建完整知识支架。 该资料以问题链驱动探究，通过类比迁移培养数学思维中的推理能力，即时练与例题结合强化数学眼光中的抽象能力。课中助力教师分层教学，课后变式练习帮助学生查漏补缺，深化模型观念，提升知识应用与迁移能力。

5．3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 | 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等比数列的前n项和公式．　3.熟练掌握等比数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．　4.理解等比数列前n项和的函数特征． 同学们，对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，我们如何求其前n项和Sn呢？ 思考　若S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263，如何求S64? 提示：因为S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263，① 所以2S64＝21＋22＋23＋…＋263＋264，② 由②－①化简得，S64＝264－1. 一　等比数列前n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 公式一：Sn＝ 公式二：Sn＝ [答案自填] 　 【即时练】 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝(　　) A．93 B．－93 C．45 D．－45 解析：选A．S5＝＝＝93. 2．(多选)已知{an}是首项为，公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．q＝1或2 C．a3＝ D．a2＋a3＝2 解析：选ACD．因为9S3＝S6，所以q≠1，所以9×＝，所以9＝1＋q3，解得q＝2，故A正确，B错误；a2＝a1q＝，a3＝a1q2＝，a2＋a3＝2，故C，D正确．故选ACD． 3．已知数列{an}是各项为正的等比数列，a1＝1，a5＝1，则其前10项和S10＝________． 解析：因为数列{an}是各项为正的等比数列，则其公比q>0， 又a1＝1，a5＝1，则q4＝＝1，即q＝1， 所以数列{an}为常数列，即an＝a1＝1，所以S10＝10a1＝10. 答案：10 4.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________． 解析：由题意知在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8， 设公比为q，则a4＝a1q3＝－8，即q＝－2，故an＝(－2)n－1，则|an|＝2n－1，则{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1. 答案：2n－1 求等比数列的前n项和时，需对公比q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和．　 二　等比数列前n项和公式的有关计算 　在等比数列{an}中． (1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 【解】　(1)由Sn＝，得11＝，解得q＝－2，又由an＝a1qn－1，得16＝·(－2)n－1，解得n＝5. 所以n＝5，q＝－2. (2)显然q≠1，则S4＝＝1，S8＝＝17， 两式相除得＝1＋q4＝17， 解得q＝±2，当q＝2时可解得a1＝， 则an＝·2n－1； 当q＝－2时可解得a1＝－， 则an＝－·(－2)n－1.　 所以an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1. 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体．　 [跟踪训练1] (1)已知等比数列{an}满足a3＝12，a8＝，若{an}的前n项和Sn＝93，则n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选A．设等比数列{an}的公比为q， 因为a3＝12，a8＝， 所以q5＝＝＝， 解得q＝， 所以a1＝＝＝48. 因为Sn＝93，所以 ＝96＝93， 所以()n＝＝，解得n＝5.故选A． (2)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6＝4S3，a2＋a5＝8，则a8＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q， 若q＝1，则由S6＝4S3得6a1＝12a1， 所以a1＝0，不合题意； 故q≠1，则由S6＝4S3得 ＝4·， 则1＋q3＝4，所以q3＝3， 因为a2＋a5＝a2(1＋q3)＝4a2＝8， 所以a2＝2， 所以a8＝a2q6＝2×9＝18. 答案：18 三　等比数列前n项和的函数性质 1．当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是关于n的指数型函数． 2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 　(对接教材例3)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否为等比数列． 【解】　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不符合上式． 所以an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 【变式探究】 (综合变式)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，求a与{an}的通项公式． 解：方法一：当n＝1时，a1＝S1＝3＋a；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋a)－(3n－1＋a)＝2×3n－1. 此时＝＝3， 即当n≥2时，{an}是公比为3的等比数列． 由题意知，a1应满足an＝2×3n－1， 即3＋a＝2×30，解得a＝－1. 综上，a＝－1，{an}的通项公式为an＝2×3n－1. 方法二：当q≠1时，等比数列{an}的前n项和满足Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，由Sn＝3n＋a可得a＝－1，q＝3.当n＝1时，a1＝S1＝3－1＝2，所以an＝2×3n－1. 综上，a＝－1，{an}的通项公式为an＝2×3n－1. (1)已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证n＝1时是否满足此式． (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．　 [跟踪训练2] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝m·2n－1＋，则m＝________． 解析：方法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝m·2n－1＋－m·2n－2－＝m·2n－2， 显然m＝0不合题意，可得＝＝2； 当n＝1时，a1＝S1＝m＋. 若{an}为等比数列，则a1＝m＋≠0， 且＝＝2，解得m＝－. 方法二：因为Sn＝m·2n－1＋＝·2n＋，结合等比数列{an}的前n项和的结构特征可得＝－，解得m＝－. 答案：－ 1．(教材P41T1改编)已知数列{an}是公比为正数的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝2，a4＝8，则S3＝(　　) A．63 B．31 C．15 D．7 解析：选D．设等比数列{an}的公比为q，由题意q>0，a4＝a2q2，即8＝2q2，解得q＝2，于是a1＝＝1，故S3＝＝＝7.故选D． 2．(多选)(教材P42练习AT3改编)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3a1，则数列{an}的公比可能是(　　) A．1 B．－2 C．3 D． 解析：选AB．设数列{an}的公比为q，若q＝1，则S3＝3a1，满足题意；若q≠1，由S3＝3a1，得＝3a1，解得q＝－2，综上，q＝1或q＝－2.故选AB． 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ3n－1，则a4＝________． 解析：当n＝1时，则S1＝a1＝3λ－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝λ(3n－3n－1)＝2λ·3n－1.又因为{an}是等比数列，所以公比q＝3，a1＝2λ，所以2λ＝3λ－1，解得λ＝1，所以an＝2×3n－1，所以a4＝54. 答案：54 4．已知等比数列{an}的公比q＝2，记其前n项和为Sn，且a2，a3＋3，a4成等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求{Sn}的前n项和Tn. 解：(1)因为a2，a3＋3，a4成等差数列， 所以2(a3＋3)＝a2＋a4， 得2a3＋6＝＋a3q， 即2a3＋6＝＋2a3，解得a3＝12， 所以an＝a3qn－3＝12×2n－3＝3×2n－1. (2)由(1)知a1＝3×21－1＝3， 所以Sn＝＝3×2n－3， 则Tn＝－3n＝3×2n＋1－6－3n. 1．已学习：等比数列前n项和公式的推导及运算，等比数列前n项和公式的结构特点． 2．须贯通：(1)公式的推导利用了错位相减法； (2)计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程(组)求解，这里运用了方程的思想． 3．应注意：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．　 学科网（北京）股份有限公司 $