5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“等差数列的前n项和”核心知识点，系统梳理公式推导（倒序相加法）、两种求和公式（首项末项与项数、首项公差与项数）、五个量“知三求二”运算、前n项和函数特征及绝对值数列求和应用，承接等差数列定义与通项公式，为后续数列求和学习搭建支架。 该资料以唐代宝塔诗《花》引入，引导学生用数学眼光观察文学中的数量关系，通过倒序相加法及图形辅助推导公式，培养几何直观与抽象能力。例题涵盖基础运算与综合应用，助学生用数学思维解决问题，课中提升教学效率，课后方便学生回顾练习，弥补知识盲点。

5．2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 |1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等差数列的前n项和公式，熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．　3.了解等差数列前n项和的函数特征． 请同学们欣赏唐代诗人张南史的宝塔诗《花》，并回答下面的问题： 花， 深浅， 凝为雪， 莺和蝶到， 已迷金谷路， 芳草欲陵芳树， 愿得春风相伴去， 花． 芬葩． 错为霞． 苑占宫遮． 频驻玉人车． 东家半落西家． 一攀一折向天涯． 思考1　从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示：诗中文字有对称性；这首诗内容的字数为S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝56，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 思考2　网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字(每点代表一个字)? 提示：(如图)在原图的基础上，与一个n行倒宝塔拼成一个平行四边形， 该平行四边形共有n(1＋n)个字，所以原图共有个字． 即S＝1＋2＋3＋…＋n， S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1， 两式相加，整理得S＝，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”． 一　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝____________ Sn＝____________ [答案自填] 　na1＋d 【即时练】 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　) A．230 B．420 C．450 D．540 解析：选B．S20＝20×2＋×2＝420.故选B． 2．已知等差数列{an}中，a2＝4，a8＝10，则数列{an}的前9项和S9＝(　　) A．64 B． C．63 D．28 解析：选C．在等差数列{an}中，a2＝4，a8＝10， 所以数列{an}的前9项和S9＝＝＝9×7＝63.故选C． 3．计算：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝____________． 解析：由题意，易得数列{3n－2}为等差数列，所以1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝＝. 答案： 4．已知数列{an}中，an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立，且a3＝2，则该数列的前5项和S5＝____________． 解析：由an＋1＝an对∀n∈N＋恒成立知数列{an}为常数列，故an＝2，所以S5＝5a3＝10. 答案：10 Sn＝与Sn＝na1＋d均为等差数列前n项和公式，注意灵活选择、应用．当已知a1，an时，多用Sn＝；当已知a1，d时，多用Sn＝na1＋d.　 二　等差数列前n项和的基本运算 　(对接教材例1、例2)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn. (1)若a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am； (2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d； (3)若a1＝－7，S3＝－15，求an. 【解】　(1)因为Sm＝ma1＋d＝m－×＝－15， 所以整理得m2－7m－60＝0， 解得m＝12或m＝－5(负值舍去)， 所以am＝a12＝a1＋11d＝＋11×＝－4. (2)因为Sn＝(a1＋an)＝×(1－512)＝－1 022，所以n＝4，又因为an＝a4＝a1＋3d＝1＋3d＝－512，所以d＝－171. (3)依题意S3＝3a1＋3d＝－21＋3d＝－15，即d＝2，故an＝－7＋2(n－1)＝2n－9. 求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．　 [跟踪训练1] (1)(多选)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　) A．－1 B．3 C．5 D．7 解析：选AB．由题意知a1＋(n－1)×2＝11，① Sn＝na1＋×2＝35，② 由①②解得或故选AB． (2)等差数列的前n项和记为Sn，且S5＝10，S10＝50，则S15＝__________． 解析：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得 解得 则S15＝15×＋×＝120. 答案：120 三　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 　已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n2＋3n，试判断数列{an}是不是等差数列． 【解】　Sn＝2n2＋3n， 则当n＝1时，a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－2(n－1)2－3(n－1)＝4n＋1. 又a1＝5适合an＝4n＋1， 所以数列{an}的通项公式是an＝4n＋1(n∈N＋). 当n≥2时，an－an－1＝4n＋1－[4(n－1)＋1]＝4， 故数列{an}是首项为5，公差为4的等差数列． 【变式探究】 (条件变式)本例的条件“Sn＝2n2＋3n”变为“Sn＝2n2＋3n－1”，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列． 解：当n＝1时，a1＝S1＝4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2＋3n－1－2(n－1)2－3(n－1)＋1＝4n＋1. 又a1＝4不满足an＝4n＋1， 所以数列{an}的通项公式是 an＝ 因为a2－a1＝9－4＝5，a3－a2＝13－9＝4， 所以数列{an}中从第2项起，每一项与前一项的差不是同一个常数， 所以数列{an}不是等差数列． (1)若等差数列{an}的前n项和Sn＝na1＋d可化为Sn＝ n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn，当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数；反之，若数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(其中A，B都是常数)，则数列{an}一定为等差数列． (2)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错，务必验证n＝1是否满足an(n≥2)的情形．　 [跟踪训练2] 记数列的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝3n2＋n. (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列{an}是等差数列． 解：(1)当n＝1时，2S1＝3＋1＝4，故a1＝S1＝2， 因为对任意正整数n, 2Sn＝3n2＋n，① 所以当n≥2时，2Sn－1＝32＋n－1，② 两式相减得2an＝3n2－32＋1＝6n－2， 故an＝3n－1， 又当n＝1时，a1＝2满足上式， 故数列{an}的通项公式为an＝3n－1. (2)证明：当n≥2时，an－an－1＝3n－1－[3(n－1)－1]＝3， 故数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列． 四　求数列{an}的前n项和 　已知{an}为等差数列，a4＝94，a7＝82. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和． 【解】　(1)因为a4＝94，a7＝82，所以 解得an＝－4n＋110. (2)设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn. 因为Sn＝na1＋d＝106n－2n(n－1)＝－2n2＋108n. 令an＝－4n＋110≥0，得n≤27.5， 所以当1≤n≤27时，an＞0，当n≥28时，an＜0， 故当1≤n≤27时，Tn＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－2n2＋108n； 当n≥28时，Tn＝a1＋a2＋…＋a27－a28－…－an ＝S27－(Sn－S27)＝－Sn＋2S27 ＝－(－2n2＋108n)＋2×1 458＝2n2－108n＋2 916. 故Tn＝ 已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤 (1)确定通项公式an； (2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负； (3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，以直接利用数列{an}的前n项和公式； (4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式．　 [跟踪训练3] 在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求T10. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则有 解得d＝－2，所以an＝8－2(n－1)＝－2n＋10. (2)因为当n≤5时，an≥0；当n≥6时，an＜0， 所以T10＝|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a10)＝8＋6＋4＋2＋0＋(2＋4＋6＋8＋10)＝50. 1．(教材P27练习AT4改编)等差数列－，0，，…前10项的和为(　　) A．25 B．30 C．35 D．40 解析：选C．由题意，a1＝－，d＝，所以a10＝a1＋(10－1)d＝8，S10＝×10＝35.故选C． 2．(多选)已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a7＝5，S7＝21，则(　　) A．a1＝1 B．d＝－ C．a2＋a12＝10 D．S10＝50 解析：选AC．由a7＝5，S7＝21可得解得d＝，a1＝1，故A正确，B错误；a2＋a12＝2a1＋12d＝10，故C正确；S10＝10a1＋45d＝40，D错误．故选AC． 3．(教材P27练习AT5改编)在等差数列中，已知a1＝3，d＝－1，Sn＝－4，则n＝________． 解析：根据题意，Sn＝na1＋＝3n＋×＝－n2＋n＝－4， 整理得n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍去). 答案：8 4．设等差数列的前n项和为Sn.已知a1＝－7，S3＝－15.求： (1)Sn； (2)数列{|an|}的前16项和T16. 解：(1) 设等差数列的公差为d.由题意，得S3＝3a1＋3d＝－15.由a1＝－7，得d＝2. 所以的通项公式为an＝2n－9， 所以Sn＝＝n2－8n. (2)当1≤n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0， T16＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋a5＋a6＋…＋a16＝－S4＋(S16－S4)＝S16－2S4＝(162－8×16)－2×(42－8×4)＝160. 1．已学习：等差数列前n项和公式的推导过程、前n项和有关的基本运算以及前n项和公式的应用． 2．须贯通：(1)利用公式求和要会灵活选择求和公式；(2)等差数列，求的前n项和体现了分类讨论思想． 3．应注意：(1)由Sn求通项公式时，忽略对n＝1的验证；(2)等差数列的前n项和Sn与二次函数的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $