5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和的性质，系统梳理性质探索（如Sm，S2m-Sm等成等差数列）、最值问题（二次函数法、项的正负分界）及实际应用，构建从性质发现到问题解决的学习支架。 通过“思考”引导自主探究，培养数学眼光中的抽象与创新意识，例题多解法（如性质法、函数法）发展数学思维的推理能力，实际应用（如宿舍楼费用）提升数学语言的模型意识，课中助力教学，课后辅助巩固查漏。

第2课时　等差数列前n项和的性质 |1.构造等差数列求和模型，解决实际问题．　2.能解决等差数列中前n项和的最值问题．　3.探索等差数列前n项和公式的有关性质，会应用性质解题． 思考1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列． 思考2　等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示：由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N＋，当d>0时，该二次函数的图象开口向上；当d<0时，该二次函数的图象开口向下． 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n). 4．项的个数的“奇偶”性质： (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝. (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an). 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. 　(1)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． (2)在等差数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，若－＝2，则S10＝(　　) A．10 B．100 C．110 D．120 (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________． 【解析】　(1) 方法一：因为S19＝＝19a10，T19＝＝19b10，所以＝＝＝.故选A． 方法二：因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，故设Sn＝kn(n＋3)，Tn＝kn(3n＋15)，k≠0，则a10＝S10－S9＝k×10×13－k×9×12＝22k，b10＝T10－T9＝k×10×45－k×9×42＝72k，所以＝＝.故选A． (2) 因为数列{an}是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为d′，则－＝2＝2d′， 则d′＝1，又因为＝a1＝1， 所以＝1＋(n－1)×1＝n， 所以Sn＝n2，所以S10＝100.故选B． (3)方法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S10＝100，S100＝10， 所以 解得 所以S110＝110a1＋d ＝110×＋×＝－110. 方法二：因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，所以该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， 所以前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110. 方法三：由是等差数列，构造新的等差数列{bn}， 令b1＝＝10，b10＝＝， 则公差d＝(b10－b1)＝×＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＋＝－1， 所以S110＝－110. 【答案】　(1)A　(2)B　(3)－110 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些． (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到事半功倍的效果． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．　 [跟踪训练1] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2，S8＝16，则S12＝(　　) A．30 B．26 C．56 D．42 解析：选D．由等差数列的性质可知S4，S8－S4，S12－S8，…构成等差数列，即2，14，…，所以S12－S8＝26，所以S12＝S8＋26＝42.故选D． (2)已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且满足＝，则＝__________． 解析：运用等差数列的性质S2n－1＝(2n－1)an，可得S9＝9a5，即a5＝·S9，由等差数列性质可知＝·＝×＝. 答案： (3)一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是__________． 解析：方法一：设等差数列的公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15，得5a1＋20d＝，5(a1＋d)＋20d＝15，解得a1＝，d＝，所以an＝＋(n－1)＝，则a6＝＝3，故这个数列的第6项是3. 方法二：设等差数列的公差为d，由题意该等差数列的项数为偶数，所以由等差数列的性质可得，S偶－S奇＝5d，所以15－＝＝5d，解得d＝.又S奇＝5a1＋20d＝，所以a1＝，所以an＝＋(n－1)＝，a6＝＝3.故这个数列的第6项为3. 答案：3 1．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最________值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最________值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定． 2．Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最________值；当d<0时，Sn有最____________值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [答案自填] 大　小　小　大 　(对接教材例3)在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 【解】　方法一：设等差数列{an}的公差为d， 因为S8＝S18，a1＝25， 所以8×25＋d＝18×25＋d， 解得d＝－2. 所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169. 所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法二：同方法一，求出公差d＝－2. 所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. 因为a1＝25>0， 由 得 又因为n∈N＋， 所以当n＝13时，Sn有最大值为S13＝25×13＋×(－2)＝169. 方法三：因为S8＝S18，所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0. 所以当n＝13时，Sn有最大值． 由a13＋a14＝0，得a1＋12d＋a1＋13d＝0， 解得d＝－2， 所以S13＝13×25＋×(－2)＝169， 所以Sn的最大值为169. 方法四：设Sn＝An2＋Bn.因为S8＝S18，a1＝25， 所以二次函数图象的对称轴为n＝＝13，且开口方向向下， 所以当n＝13时，Sn取得最大值． 由题意得 解得 所以Sn＝－n2＋26n， 所以S13＝169， 即Sn的最大值为169. 求等差数列前n项和Sn最值的方法 (1)寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找． (2)运用二次函数求最值，注意n∈N＋.　 [跟踪训练2] (1)(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论错误的是(　　) A．数列{an}是递增数列 B．a13＞0 C．当Sn取得最大值时，n＝13 D．|a13|＞|a12| 解析：选ABC．等差数列{an}的前n项和为Sn， S23＝＝23a12＞0，所以a12＞0， S24＝＝12(a12＋a13)＜0， 所以a12＋a13＜0， 所以a13＜0且|a13|＞|a12|， 所以等差数列{an}是递减数列，且当n＝12时，Sn取得最大值． 故D正确，A，B，C错误．故选ABC． (2)已知等差数列{an}中，a1＝－10，当且仅当n＝5时，前n项和Sn取得最小值，则公差d的取值范围是________． 解析：由题意可得即 解得2＜d＜， 即公差d的取值范围是. 答案： 三　等差数列前n项和的实际应用 　某单位为了解决职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为2 250元/平方米，土地的征用面积为第一层的1.5倍．经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/平方米，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼层数，使总费用最少，并求出最少总费用．(总费用为建筑费用和征地费用之和) 【解】　设楼高为n层，总费用为y万元， 则征地面积为平方米， 征地费用为2 250×万元， 各楼层建筑费用和为[400n＋×30]×万元， 总费用为y＝×＋2 250×＝15×≥15×(2　＋77)＝2 505(万元)， 当且仅当3n＝，即n＝15时，上式取等号， 所以当这幢宿舍楼楼层数为15时，总费用最少，为2 505万元． 应用等差数列解决实际问题的一般思路 　 [跟踪训练3] 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为(　　) A．44π B．64π C．70π D．80π 解析：选D．由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，则第n段圆弧的半径为n，弧长记为an，则an＝·n，所以S15＝×(1＋2＋3＋…＋15)＝80π.故选D． 1．(教材P59T3改编)在等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S9＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：选B．在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以S3＋S9－S6＝2(S6－S3)，即3＋S9－9＝2×(9－3)，所以S9＝18.故选B． 2．(多选)(教材P28习题5－2BT3改编)已知等差数列的前n项和是Sn，且a9<0，a1＋a18>0，则(　　) A．a1>0 B．a10>0 C．S9>0 D．Sn的最小值为S9 解析：选BD．由a9<0，a1＋a18>0，所以a1＋a18＝a9＋a10>0，即a10>－a9>0，所以当1≤n≤9，n∈N＋时，an<0；当n≥10，n∈N＋时，an>0；所以a1<0，故A错误；a10>0，故B正确；S9<0，故C错误；Sn的最小值为S9，故D正确．故选BD． 3．已知两个等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的正整数n，都有＝，则＝________． 解析：因为＝，所以＝＝＝＝＝. 答案： 4．已知项数为奇数的等差数列，若奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项及项数． 解：设等差数列共有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，中间项为第n＋1项，记作an＋1，设奇数项和为Sm，偶数项和为Sn， 由等差数列前n项和的性质，可知＝， 又Sm＝44，Sn＝33，所以＝＝，解得n＝3. 又因为Sm＝(n＋1)an＋1＝44，所以an＋1＝11， 所以这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项). 1．已学习：等差数列前n项和性质问题、最值问题以及与前n项和有关的实际应用问题． 2．须贯通：(1)巧妙利用性质可简化运算，体现整体代换的思想； (2)通项法求前n项和的最值，需寻求项的正负临界值；二次函数法求最值，往往借助数列是特殊的函数，利用函数图象直观寻求最值点． 3．应注意：由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值．　 学科网（北京）股份有限公司 $