5.1.1 第2课时 数列与函数的关系(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦“数列与函数的关系”核心知识点，通过“思考1”“思考2”等问题导入，连接函数值构成数列、数列单调性判断等内容，搭建从函数到数列的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于结合函数知识解决数列问题，通过即时练、跟踪训练等实例，培养学生数学思维（推理能力）和数学眼光（抽象能力），课堂小结系统梳理方法，助力学生理解知识联系，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

5．1.1　数列的概念 第2课时　数列与函数的关系 1.理解数列与函数的关系．　2.会判断数列的单调性．　3.会求数列的最大(小)项． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 对于数列an＝f(n)，数列中的每一项都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一项．   这说明数列是关于序号n的函数． 新知学习 探究 返回导航 思考1　已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？若能，请作出数列的图象． 提示：对应的函数值分别为0，3，8， 能构成一个数列．数列的图象如图所示． 思考2　函数单调性可以用单调性的定义来判断，那么数列的单调性如何来判断呢？ 提示：若数列{an}满足an＋1－an＞(＜)0，∀n∈N＋都成立，则该数列{an}是递增(减)数列． 新知学习 探究 返回导航 一　数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为__________的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取__________时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的________．数列也可以用平面直角坐标系中的________来直观地表示． 正整数集 正整数值 解析式 点 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列的定义域一定为正整数集．(　　) (2)数列的图象可以是连续的曲线．(　　) (3)数列的图象只能是离散的点．(　　) (4)数列在y轴左侧没有图象．(　　) × √ × √ 新知学习 探究 返回导航 2．对任意的an∈(0，1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N＋)，则函数y＝f(x) 的图象可能是(　　)   解析：根据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足．故选A． √ 新知学习 探究 返回导航 解析：由题知，a2＝f(2)＝10，a4＝f(4)＝8，a8＝f(8)＝10，所以a2＋a4＋a8＝28. 28 新知学习 探究 返回导航 用函数的有关知识解决数列问题，要注意它的定义域是N＋(或N＋的有限子集{1，2，3，…n})这一约束条件，即数列是一种特殊的函数，主要特殊在其定义域，从而使得图象和值域也具备特殊性．　 新知学习 探究 返回导航 二　数列的单调性 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列称为__________数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列称为__________数列；各项都相等的数列称为常数数列(简称为________). 点拨　函数y＝f(x)为增(减)函数，则其对应的数列为递增(减)数列；但是数列an＝f(n)为递增(减)数列，其对应的函数不一定是增(减)函数． 递增 递减 常数列 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 数列单调性的判断方法 若an＋1>an，则数列{an}是递增数列；若an＋1<an，则数列{an}是递减数列；若an＋1＝an，则数列{an}是常数列．其常用判断方法有： (1)作差法：若an＋1－an>0，则数列{an}是递增数列；若an＋1－an<0，则数列{an}是递减数列；若an＋1－an＝0，则数列{an}是常数列． 新知学习 探究 返回导航 (3)利用函数的单调性法：根据条件抽象出相应函数，通过函数的单调性来判断数列的单调性．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 数列{an}是递增数列⇔an＋1>an(n∈N＋)，数列{an}是递减数列⇔an＋1<an(n∈N＋)，进而转化为不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为求代数式的最值来解决；或由数列的函数特性，通过构建变量的不等关系，解不等式(组)来确定变量的取值范围．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练] (1)已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－6，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，2) 解析：因为{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又当n＝1时，－2×3n取得最大值，最大值为－6，故k＞－6.故选B． √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 27 √ 1．下列数列中，为递减数列的是(　　) A．1，2，22，23，…，263 B．1，0.5，0.52，0.53，… C．0，10，20，30，…，1 000 D．－1，1，－1，1，－1，… 解析：选项A，C为递增数列，选项D不是递减数列，选项B为递减数列．故选B． 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 3．(教材P8练习BT5改编)写出一个各项均小于3的无穷递增数列的通项公式：an＝___________________(n∈N＋). 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：数列与函数的关系、数列的单调性及其应用． 2．须贯通：(1)数列与函数既有区别又有联系；(2)运用作差法或作商法判断数列的单调性；(3)利用数列的单调性或不等式组寻找数列的最大(小)项． 3．应注意：(1)数列的定义域为正整数集或其有限子集{1，2，…，n}；(2)函数的单调性与数列的单调性的区别．　 课堂巩固 自测 返回导航 【解析】　方法一：an－an＋1＝－n2＋λn－[－(n＋1)2＋λ(n＋1)]＝2n＋1－λ，由数列{an}为递减数列，则2n＋1－λ>0，即λ<2n＋1恒成立，即λ<min，当n＝1时，2n＋1的最小值为3，即λ<3.故选C． 2．(多选)已知在数列{an}中，an＝n2－5n＋4，则数列{an}的最小项是(　　) A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第4项 解析：依题意，an＝n2－5n＋4，函数y＝x2－5x＋4的图象开口向上，对称轴为直线x＝，由于n∈N＋，所以当n＝2或3时，数列{an}取得最小项．故选BC． 4．(教材P7T4改编)已知数列{an}满足an＝，证明：数列{an}是递减数列． 证明：因为an＋1－an＝－＝＝<0恒成立，所以an＋1＜an，所以数列{an}是递减数列． $