5.1.1 第1课时 数列的概念与通项公式(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类及通项公式，通过古埃及阶梯数字、“一尺之棰”等现实与历史情境导入，引导学生观察数列的有序性与变化规律，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以多学科情境激发数学眼光，通过观察、归纳、推理培养数学思维，用符号公式精准表达数学语言。如例1结合正奇数、周期数列等实例总结求通项公式方法，助力学生提升抽象能力与推理意识，教师可借助即时练与跟踪训练高效开展教学。

第五章　数　列 5．1　数列基础 5．1.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与通项公式 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法，掌握数列的分类．　 2.理解数列的通项公式，能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项． 学 习 目 标 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 思考1　你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：①③项数有限，②④⑤项数无限；从项的变化上来看：①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化． 新知学习 探究 返回导航 思考2　对于①③⑤，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？ 提示：对于①，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈{1，2，3，4，5}； 对于③，an＝2 025，n∈{x|x是本班学生的学号}； 新知学习 探究 返回导航 一　数列的概念及分类 1．数列的概念 (1)数列：按照____________排列的一列数称为数列． (2)项：数列中的____________都称为这个数列的项；数列的第1项也称为_______. (3)项数：组成数列的____________称为数列的项数． 一定次序 每一个数 首项 数的个数 新知学习 探究 返回导航 2．数列的分类 一般地，项数________的数列称为有穷数列，项数_______的数列称为无穷数列．有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的________． 点拨　数列中的项是有次序的，可以重复． 有限 无限 末项 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)数列4，7，3，4的首项是4.(　　) (2)在某数列中，若首项为3，则从第2项起，各项均不等于3.(　　) (3)数列1，2，3，4与数列2，1，3，4为同一数列．　(　　) (4)1，1，1，1是有穷数列．(　　) × √ × √ 新知学习 探究 返回导航 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．数列中的项可以是三角形 B．从小到大的自然数构成一个无穷数列 C．数列中的项不可能相等 D．数列1，2，3，4，…，20是有穷数列 解析：数列中的项必须是数，不能是其他形式，故A错误，B正确，C错误； 数列1，2，3，4，…，20共有20项，是有穷数列，所以D正确． √ √ 新知学习 探究 返回导航 (1)对数列相关概念的理解应把握好以下两点： ①概念中的“一列数”，即不止一个数； ②概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的． (2)有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．　 新知学习 探究 返回导航 二　数列的通项公式 1．数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中________表示数列的第n项(也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋)，称为数列的通项．一般将整个数列简记为________． 2．通项公式：一般地，如果数列的第n项______与_____之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的一个通项公式． an {an} an n 新知学习 探究 返回导航 点拨　(1)数列中的项与项的序号是不同的，数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项的序号是指这个数在数列中的具体位置； (2)数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． 新知学习 探究 返回导航 　(对接教材例2)写出下列数列的一个通项公式： (1)0，3，8，15，24，…； 【解】　观察数列中的数，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1. (2)1，－3，5，－7，9，…； 【解】　数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1). 新知学习 探究 返回导航 (4)9，99，999，9 999，…； 【解】　9＋1＝10，99＋1＝102，999＋1＝103，9 999＋1＝104，…，所以原数列的一个通项公式为an＝10n－1. 新知学习 探究 返回导航 (5)5，3，1，3，5，3，1，3，…. 新知学习 探究 返回导航 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)统一各项的结构形式，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． (4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．　 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练1] 写出下列数列的一个通项公式： (1)2，4，8，16，…； 解：a1＝21，a2＝4＝22，a3＝8＝23，a4＝16＝24，…，则an＝2n(n∈N＋). 新知学习 探究 返回导航 (3)6，66，666，6 666，66 666，…； 新知学习 探究 返回导航 (4)4，0，4，0，4，…. 方法二：1，－1，1，－1，1，…的一个通项公式为bn＝(－1)n＋1，则4，0，4，0，4，…的一个通项公式为an＝(－1)n＋1×2＋2. 新知学习 探究 返回导航 三　数列通项公式的应用 　已知数列的通项公式为an＝n2－7n＋6. (1)求这个数列的第4项； 【解】　a4＝42－7×4＋6＝－6. (2)150是不是这个数列的项？若是，求出它是第几项；若不是，请说明理由． 【解】　令an＝n2－7n＋6＝150，即n2－7n－144＝0， 即(n－16)(n＋9)＝0，解得n＝16或n＝－9(舍去)， 故150是这个数列的项，是第16项． 新知学习 探究 返回导航 【变式探究】 (设问变式)在本例中，条件不变． (1)求该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：令an＝n2－7n＋6＞0，(n－1)(n－6)＞0，解得n＜1或n＞6， 因为n为正整数，所以从第7项开始各项都为正数． 新知学习 探究 返回导航 (2)求该数列的最小项是第几项，并求出最小项的值． 新知学习 探究 返回导航 求项或判断某数是否为数列的项的方法 (1)如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以写出数列中的指定项． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项．　 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 30 √ 1．下列选项表示无穷数列的是(　　) A．△，○，□，… B．1，2，3，4，… C．锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，…… D．11，22，33，44 解析：A，C的各项不是数，故不是数列； D仅有4项，是有穷数列； B满足条件．故选B． 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 4．(教材P7 T2改编)根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5项及第n＋1项． 课堂巩固 自测 返回导航 根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5项及第n＋1项． 课堂巩固 自测 返回导航 1．已学习：数列的概念与分类、数列的通项公式及简单应用． 2．须贯通：(1)要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解；(2)数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系． 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 $