2026年上海市中考备考二模复习 第22 题创新题 专题练习

2026上海市中考备考二模复习 第22 题创新题 专题练习 一．一元二次方程的应用（共3小题） 1．某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯． 已知蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量x（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为50%．蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． （1）求y与x的函数解析式（不写定义域）； （2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； （3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润？如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） x（吨） 50 100 150 200 y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6 【分析】（1）依据题意，设蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量x（吨）成一次函数关系为y＝kx+b，可得，则，进而可以得解； （2）依据题意，由样本中蓝莓蜜饯的平均销售价10，进而可以得解； （3）依据题意可得，利润＝10[x﹣50%x]﹣x（﹣0.002x+2）﹣x＝0.002x2+2x，再令利润＝780，可得0.002x2+2x＝780，求出x后即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量x（吨）成一次函数关系为y＝kx+b， ∴． ∴． ∴y与x的函数解析式为y＝﹣0.002x+2． （2）由题意，样本中蓝莓蜜饯的平均销售价10（万元/吨）． （3）由题意，∵蓝莓的采购量x（吨）， ∴利润＝10[x﹣50%x]﹣x（﹣0.002x+2）﹣x＝0.002x2+2x． 令利润＝780， ∴0.002x2+2x＝780． ∴x＝﹣1300（舍去）或x＝300． 又∵一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯， ∴x﹣50%x≤200． ∴x≤400，故x＝300符合题意． 答：需要采购蓝莓的重量为300吨． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、条形统计图，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 2．某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【分析】（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数y与月份数x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），由1，3月份的利润数，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数关系式，再代入x＝2，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为m，利用这个企业5月份的利润＝这个企业3月份的利润×（1+这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率）2，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设这个企业在2022年1至3月的利润数y关于月份数x的函数关系式是y＝kx+b（k≠0）， 将（1，96），（3，100）代入y＝kx+b得：， 解得：． ∴这个企业在2022年1至3月的利润数y关于与月份数x的函数关系式为y＝2x+94， 当x＝2时，y＝2×2+94＝98． 答：2月份的利润为98万元； （2）设这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为m， 根据题意得：100（1+m）2＝121， 解得：m1＝0.1＝10%，m2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：个企业3月至5月中利润数的月平均增长率为10%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 3．如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由 （3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm2时请直接写出结果并画出平面示意图 【分析】（1）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的底面积为48cm2，可得方程（10﹣2x）（8﹣2x）＝48求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的侧面积等于52cm2，可得方程2[x（10﹣2x）+x（8﹣2x）]＝52，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为xcm，分成两种情况，根据侧面积为30cm2列方程讨论求解． 【解答】解：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得： （10﹣2x）（8﹣2x）＝48， 即x2﹣9x+8＝0， 解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝1． ∴剪去的正方形的边长为1cm． （2）不可能等于52cm2，理由如下： 设剪去的正方形边长为xcm，由题意： 2[x（10﹣2x）+x（8﹣2x）]＝52， 整理得：2x2﹣9x+13＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝81﹣4×2×13＜0， 不可能等于52cm2． （3）设剪去的正方形边长为xcm， 若按图1所示的方法剪折， 有：， ∴3x2﹣13x+15＝0， Δ＝b2﹣4ac＝132﹣4×3×15＝﹣11＜0， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：3x2﹣14x+15＝0， 解得：，x2＝3， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． 二．分式方程的应用（共2小题） 4．某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题． （1）求参加篮球和足球运动的总人数； （2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？ 【分析】（1）根据参加乒乓球运动的人数和所占的百分比求得本次调查的总人数，然后用总人数乘以参加篮球和足球运动的百分比即可； （2）设参加篮球运动的学生有x人，也就是购买了x只篮球．根据篮球的单价比足球的单价便宜10元列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）80÷40%＝200（人）， 200×（1﹣40%﹣10%）＝100（人）． 故参加篮球和足球运动的总人数为100人； （2）设参加篮球运动的学生有x人，也就是购买了x只篮球． 根据题意，得， 整理，得x2+440x﹣30000＝0， 解得x1＝60，x2＝﹣500． 经检验x1＝60，x2＝﹣500都是原方程的根，但x2＝﹣500不符合题意，舍去． 则参加足球运动的学生有：100﹣60＝40（人）． 答：参加篮球运动的学生有60人，参加足球运动的学生有40人． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及扇形统计图，从统计图中获取有用信息是解答第（1）小题的关键，理解题意找准等量关系列出方程是解答第（2）小题的关键． 5．现有某服装厂接到一批衬衫生产任务，该厂有甲乙两个生产衬衫的车间，甲车间要完成3000件，乙车间要完成2500件．已知甲车间比乙车间每天多生产125件，如果两车间同时开工，且甲车间比乙车间提前2天完成任务，那么甲车间和乙车间分别用了几天完成各自的任务？ 【分析】设乙车间每天生产x件，则甲车间每天生产（x+125）件，根据“两车间同时开工，且甲车间比乙车间提前2天完成任务”列分式方程，求解即可． 【解答】解：设乙车间每天生产x件，则甲车间每天生产（x+125）件， 根据题意，得， 解得x1＝250，x2＝﹣625（不合题意，舍去） 经检验，x1＝250是原方程的根，且符合题意， 3000÷（250+125）＝8（天），2500÷250＝10（天）， 答：甲车间用8天完成任务，乙车间用10天完成任务． 【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 三．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 6．一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型Ⅰ：一条直线y＝kx+b（k、b都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型Ⅱ：两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． （1）如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S（用含k和b的式子表示）． （2）将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为Sx，它们和y轴所围成的三角形面积记为Sy． i）在图2中已经画出了直线l1和l2大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的是D ． （A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0； （B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0； （C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0； （D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0． 此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是S1+S2＝Sx+Sy ． ii）如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑|k2|和|b2|的大小），请在图中画出直线l2的大致图象，此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是S1﹣S2＝Sx﹣Sy ． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解； （2）根据一次函数的性质求解； （3）根据三角形的面积的和差求解． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝k1x+b1＝b1， 当y＝0时，0＝k1x+b1，解得：x， ∴A（0，b1），B（，0）， ∴Sb1•（）； （2）l1、呈上升趋势，与y轴的交点在y的正半轴，l2呈下降趋势，与y轴的交点在y的正半轴， ∴k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0， ∴S1+S2＝Sx+Sy， 故选：D；S1+S2＝Sx+Sy， （3）∵k2＞0，b2＜0， ∴图象如下： 由图象得：S1﹣S2＝Sx﹣Sy． 【点评】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． 四．一次函数的应用（共8小题） 7．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象． 根据图象提供的信息回答下列问题： （1）图中的a＝　3　 ，b＝　320　 ； （2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； （3）她们能否在中午12：30之前到达目的地？请说明理由． 【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程＝家与目的地之间的距离﹣行驶的路程”可计算b的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当y＝0时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【解答】解：（1）a＝2+1＝3，b＝480﹣80×2＝320， 故答案为：3，320． （2）设提速后y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（3，320）和（5，120）代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴提速后y关于x的函数解析式为y＝﹣100x+620． （3）能．理由如下： 当她们到达目的地时，y＝0， 得﹣100x+620＝0， 解得x＝6.2， 6.2小时＝6时12分， ∴她们于12：12分到达目的地． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数的解析式是本题的关键． 8．网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． （1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ （2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当320＜x＜375时，写出y关于x的函数关系式； （3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 【分析】（1）根据题意列式4×75+（375﹣4×80），即可算得答案； （2）当320＜x＜375时，可使用4张代金券，故y＝4×75+（x﹣4×80）＝x﹣20； （3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”． 【解答】解：（1）∵4×75+（375﹣4×80）＝300+55＝355（元）， ∴在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元； （2）当320＜x＜375时，可使用4张代金券， ∴y＝4×75+（x﹣4×80）＝x﹣20； ∴y关于x的函数关系式为y＝x﹣20（320＜x＜375）； （3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下： 当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元； 同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算； ∴如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 9．在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量． 【分析】（1）先设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元列出方程，解方程即可，注意验根． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b， 把（50，20），（20，80）代入， 得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+120； （2）根据题意得：30， 整理得x2﹣170x+4200＝0， 解得x＝30或x＝140， 经检验，x＝30是原方程的根， 当x＝30时，y＝﹣2×30+120＝60， 答：选购甲消毒液30瓶，选购乙消毒液60瓶． 【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解应用题的关键． 10．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的函数解析式，当y＝0时求出对应x的值，即x的最大值，从而写出x的取值范围即可； （2）①当y＝20代入y关于x的函数解析式，求出对应x的值即可；②求出y＝20时对应的x的值，再根据①和②求出的x的差值计算即可． 【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）， 将坐标（10，60）和（20，40）分别代入y关于x的函数解析式， 得， 解得， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+80， 当﹣2x+80＝0时，解得x＝40， ∴x的取值范围为0≤x≤40． （2）①当y＝30时，得﹣2x+80＝30， 解得x＝25， 答：该时刻高架路上每百米车的数量为25辆． ②当y＝20时，得﹣2x+80＝20， 解得x＝30， （30﹣25）÷1×4＝20（分钟）． 答：最晚20分钟需启动限流措施． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 11．某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A（1，10.0）、B（2，11.0）、C（3，12.4）、D（4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． （1）根据点A、B的坐标，可得直线AB的表达式为y＝x+9．请根据点A、C坐标，求出直线AC的表达式； （2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．） 例如：分析直线AB，即f（x）＝x+9上的点，可知f（1）＝10，f（2）＝11，f（3）＝12，f（4）＝13，求得偏离方差]＝0.1025． 请依据以上方式，求出关于直线AC的偏离方差值：　0.0125　 ； 问题：你认为在选用直线AB与直线AC进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：y＝1.2x+8.8　 ； 根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为 　14.8　 百亿元． 【分析】（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b，代入即可作答； （2）分析直线AC，即g（x）＝1.2x+8.8，分别求出g（1），g（1），g（1），g（1），进而求出偏离方差；根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入x＝5，作答即可． 【解答】解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b， 根据题意， 解得， ∴直线AC的表达式为y＝1.2x+8.8； （2）分析直线AC，即g（x）＝1.2x+8.8， ∴g（1）＝1.2×1+8.8＝10， g（2）＝1.2×2+8.8＝11.2， g（3）1.2×3+8.8＝12.4， g（4）＝1.2×4+8.8＝13.6， ∴偏离方差0.0125， ∵0.0125＜0.1025， ∴直线AC更合适， 当x＝5时，g（5）＝1.2×5+8.8＝14.8， 故答案为：0.0125，y＝1.2x+8.8，14.8． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确运用． 12．在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式（不写定义域）； （2）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧20分钟，求乙蜡烛的高度． 【分析】（1）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝ax+b，用待定系数法可得甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+40； （2）求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间，即可得答案． 【解答】解：（1）设甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝ax+b，把（0，40），（2，0）代入得： ， 解得， ∴甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+40； （2）∵乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米， ∴乙蜡烛每小时燃烧5＝15（厘米）， ∵乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧20分钟， ∴乙蜡烛燃烧时间为2（小时）， ∴乙蜡烛的高度是1535（厘米）， 答：乙蜡烛的高度为35厘米． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法，能求出乙蜡烛每小时燃烧长度及燃烧时间． 13．弹簧在一定限度内，它的长度y（cm）与所挂重物的重量x（kg）是一次函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度． 重物的重量x（kg） … 2 … 10 … 弹簧的长度y（cm） … 13 … 17 … （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过25cm，那么所挂重物的重量最多为多少？ 【分析】（1）用待定系数法可得y关于x的解析式是yx+12； （2）结合（1），令y≤25得到关于x的不等式，解不等式即可得答案． 【解答】解：（1）设y关于x的解析式是y＝kx+b（k≠0）， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的解析式是yx+12； （2）由题意得：y≤25， ∴x+12≤25， 解得：x≤26， 答：所挂重物的重量最多为26kg． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，熟练应用待定系数法求出函数关系式． 14．在同一条公路上，甲车从A地驶往B地，乙车从B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲车行驶2小时后，因故停车一段时间，然后按原速继续驶往B地，最后两车同时到达各自的终点．如果甲车的速度比乙车每小时快10千米，如图表示甲车离A地的路程S（千米）与时间t（时）的函数关系，问： （1）甲、乙两车行驶时的速度分别为每小是多少千米？ （2）两车在离A地多少千米处相遇？（结果保留三位有效数字） 【分析】（1）用路程除以时间可得乙车的速度，根据甲车的速度比乙车每小时快10千米即得甲车速度； （2）算出甲车停车结束时两车各自行驶的路程，即知两车再行30千米即可相遇，根据速度比等于路程比可得这30千米中甲车所行驶的路程，即可得到答案． 【解答】解：（1）由两车同时到达各自的终点可知，乙车从B地驶往A地需6小时， ∴乙车的速度为50（千米/小时）， ∵甲车的速度比乙车每小时快10千米， ∴甲车速度是50+10＝60（千米/小时）， 答：甲车速度是60千米/小时，乙车速度是50千米/小时； （2）由题意可知，甲车停车时间为61（小时），即出发后2小时至3小时，甲车停车， 停车结束时，甲所行路程为2×60＝120（千米），乙车所行路程为3×50＝150（千米）， ∴两车再行300﹣（120+150）＝30（千米）即可相遇， ∴相遇处离A地120+30136（千米）， 答：两车在离A地约136千米处相遇． 【点评】本题考查乙车函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，求出两车的速度． 五．一次函数综合题（共1小题） 15．【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段MN，为了平分线段MN，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系xOy中，画出函数的图象； ②在x轴的正半轴上截取OA＝MN，过点A作AD⊥x轴交函数的图象于点D； ③以点M为圆心，AD长为半径作弧，交MN于点P． 所以点P平分线段MN． 【解决问题】 （1）根据小普同学的做法，如果要将线段MN三等分，那么可以借助函数yx 的图象在图1中的线段AD上，找到点C，使，于是可作出线段MN上的一个三等分点．（填函数解析式） （2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点B在x轴的正半轴上，OB＝b．运用我们学过的函数知识，在图2中作出坐标为的点Q，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【分析】（1）由问题背景的例题知，将线段MN三等分，同理可借助函数yx，即可求解； （2）过点B作y轴的平行线交两个函数于点D、C，则点C、D的纵坐标分别为：、，以点O为圆心，以BD长度为半径画弧交x轴于点E，则OE，过点E作EF⊥x轴，以点B为圆心，以BC长度为半径交EF于点Q，即可求解． 【解答】解：（1）由问题背景的例题知，将线段MN三等分，同理可借助函数yx， 如图： 故答案为：yx； （2）作出y和y的函数图象如下： 过点B作y轴的平行线交两个函数于点D、C，则点C、D的纵坐标分别为：、， 以点O为圆心，以BD长度为半径画弧交x轴于点E，则OE， 过点E作EF⊥x轴，以点B为圆心，以BC长度为半径交EF于点Q，则点Q即为所求点． 【点评】本题为一次函数综合运用，涉及到反比例函数的图象和性质、函数作图等，理解题意，将作图问题转化为函数方法是解题的关键． 六．二次函数的应用（共1小题） 16．请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B．此时点B距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到抛物线y＝ax2+2x（a＜0）直线y＝0.3和直线y＝﹣0.4x+b． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求a和b的值； （2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米．水平飞行了t（0.08≤t≤0.1）小时到达点C后降落，求b的取值范围． 【分析】（1）易得BC的长度，进而可得点B和点C的坐标，分别代入二次函数和一次函数可得a和b的值； （2）易得抛物线的对称轴为0.4，代入二次函数解析式可得a的值，取y＝0.3，代入二次函数求得合适的x的值，即可求得点B的坐标，进而可得用t表示的点C的坐标，代入一次函数解析式，可得用t表示的b的代数式，根据t的取值范围可得b的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得：BC＝100×0.09＝9（千米），BC∥x轴， ∴B（1，0.3），C（10，0.3）， 把B（1，0.3）代入y＝ax2+2x得，0.3＝a+2， 解得：a＝﹣1.7， 把C（10，0.3）代入y＝﹣0.4x+b得，0.3＝﹣4+b， 解得：b＝4.3； （2）∵飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米， ∴0.4， 解得：a＝﹣2.5， ∴y＝﹣2.5x2+2x， 当y＝0.3时，0.3＝﹣2.5x2+2x， 解得：x1＝0.2＜0.4（舍去），x2＝0.6， ∴点B的坐标为（0.6，0.3）， ∴点C的坐标为（0.6+100t，0.3）， ∵点C在直线y＝﹣0.4x+b上， ∴0.3＝﹣0.4（0.6+100t）+b， b＝0.54+40t， ∵0.08≤t≤0.1， ∴3.74≤b≤4.54． 【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意得到不同条件下点B和点C的坐标是解决本题的关键． 七．全等三角形的判定与性质（共1小题） 17．如图，在△ABC中，AB＝5，，tan∠BAC＝2．小明根据下列步骤作图： ①以点C为圆心，AC的长为半径作弧，交AC的延长线于点D； ②以点A为圆心，取定长a为半径作弧分别交∠BAC的两边于点M、N； ③以点D为圆心，a为半径作弧，交CD于点P； ④以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交前弧于点Q，联结DQ并延长交BC的延长线于点E． （1）填空： 由作图步骤①可得CD＝AC， 由作图步骤②③④可得 BAC ＝EDC ， 又因为∠ACB＝∠DCE， 所以△ABC≌△DEC，理由是 ASA ． （2）联结AE，求tan∠EAD的值． 【分析】（1）由作图得CD＝AC，∠BAC＝∠EDC，而∠ACB＝∠DCE，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABC≌△DEC，于是得到问题的答案； （2）作EF⊥AD于点F，由（1）得CD＝AC＝2，△ABC≌△DEC，则∠BAC＝∠EDC，AB＝DE＝5，所以tan∠BAC＝tan∠EDC2，则EF＝2DF，由勾股定理得DEDF＝5，则DF，EF＝2，可求得AF＝AC+CD﹣DF＝3，所以tan∠EAD． 【解答】解：（1）由作图步骤①可得CD＝AC， 由作图步骤②③④可得∠BAC＝∠EDC， 又因为∠ACB＝∠DCE， 所以△ABC≌△DEC，理由是ASA， 故答案为：BAC，EDC，ASA． （2）作EF⊥AD于点F，则∠AFE＝∠DFE＝90°， 由（1）得CD＝AC＝2，△ABC≌△DEC， ∴∠BAC＝∠EDC，AB＝DE＝5， ∴tan∠BAC＝tan∠EDC2， ∴EF＝2DF， ∴DEDF＝5， ∴DF，EF＝2， ∴AF＝AC+CD﹣DF＝223， ∴tan∠EAD， ∴tan∠EAD的值是． 【点评】此题重点考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 八．三角形综合题（共1小题） 18．直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对． 如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作preA，这时preA． 仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： （1）pre60°的值为 B ． （A）； （B）1； （C）； （D）2． （2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值preA的取值范围是 　0＜preA＜2　 ． （3）如果sinA，其中∠A为锐角，试求preA的值． 【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，进而得出BC＝AB，最后用新定义求解，即可球场答案； （2）先判断出BC＜2AB，最后用新定义求解，即可求出答案； （3）过点B作BD⊥AC于D，设AB＝17k，BD＝8k（k≠0），进而用勾股定理求出AD，BC，最后用新定义求解，即可求出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴BC＝AB， ∴pre60°1， 故答案为：B； （2）在△ABC中，根据三角形的三边关系得，BC＜AB+AC， ∵AB＝AC， ∴BC＜2AB， ∴preA2， ∵preA＞0， ∴0＜preA＜2， 故答案为：0＜preA＜2； （3）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB＝90°， ∵sinA， ∴设AB＝17k，BD＝8k（k≠0）， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， AD， ∵△ABC是等腰三角形， ∴AB＝AC＝17k． ∴DC＝AC﹣AD＝2k， 在Rt△BCD中，BC， ∴preA． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，新定义，勾股定理，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解（3）的关键． 九．扇形面积的计算（共1小题） 19．已知，如图，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，且． （1）求弦AB的长； （2）求图中阴影部分面积（结果保留π）． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质推出△OPB是等边三角形，得到∠POB＝60°，由sin∠BOQ，求出BQ的长，由垂径定理即可求出AB的长； （2）由得到∠BOC＝∠POB＝60°，推出△OBC是等边三角形，得到∠OBC＝60°，因此∠OBC＝∠BOP，得到BC∥OP，推出△OBC的面积＝△PBC的面积，得到阴影的面积＝扇形OBC的面积，求出扇形OBC的面积即可． 【解答】解：（1）∵AB垂直平分PO， ∴OB＝BP， ∵OP＝OB， ∴△OPB是等边三角形， ∴∠POB＝60°， ∵sin∠BOQ， ∴BQ＝2×sin60°， ∵OP⊥AB， ∴AB＝2BQ＝2； （2）∵， ∴∠BOC＝∠POB＝60°， ∵OC＝OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠OBC＝60°， ∴∠OBC＝∠BOP， ∴BC∥OP， ∴△OBC的面积＝△PBC的面积， ∴阴影的面积＝扇形OBC的面积， ∵扇形OBC的面积π， ∴阴影的面积π． 【点评】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，扇形面积的计算，关键是由条件推出阴影的面积＝扇形OBC的面积． 十．圆的综合题（共1小题） 20．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度，当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下： （1）当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度． （2）如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE＝AB），求该手机的宽度． 【分析】（1）连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，进而求出CD； （2）连接OB，设AE＝AB＝2x厘米，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）如图2，连接OA， ∵CD⊥AB，AB＝6厘米， ∴ADAB＝3厘米， ∴OD4（厘米）， ∴CD＝OC+OD＝9（厘米）， 答：支撑杆CD的高度为9厘米； （2）连接OB， 设AE＝AB＝2x厘米，则OD＝（2x﹣5）厘米， ∵CD⊥AB，AB＝2x厘米， ∴ADAB＝x厘米， 在Rt△ODB中，OB2＝OD2+BD2，即52＝（2x﹣5）2+x2， 解得：x1＝0（舍去），x2＝4， 则2x＝8， 答：手机的宽度为8厘米． 【点评】本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． 十一．作图—复杂作图（共2小题） 21．“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点M是矩形ABCD内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于AM、BM、CM、DM，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点M作MN∥AB并截取MN＝AB；2．分别联结BN、CN．那么四边形MBNC就是所求作的四边形． （1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； （2）如图2，点N是菱形ABCD内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 【分析】（1）分别证明四边形ABNM，四边形MNCD是平行四边形即可； （2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于DN、AN、BN、CN，并且两条对角线的夹角等于∠DAB． 【解答】解：（1）作法正确． 理由：∵MN＝AB，MN∥AB， ∴四边形ABNM是平行四边形， ∴BN＝AM， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC， ∵AB∥MN， ∴MN⊥BC， ∵MN＝CD，MN∥CD， ∴四边形MNCD是平行四边形， ∴CN＝DM； （2）求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于DN、AN、BN、CN，并且两条对角线的夹角等于∠DAB． 方法：1．过点N作MN∥AD并截取MN＝AD； 2．分别联结AM、BM．那么四边形AMBN就是所求作的四边形． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】如图1，请直接写出∠ABE的度数； 【实践探究】请在图1中作出以BE为对角线的菱形ABME，并证明你的结论； 【拓展延伸】请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形A1B1C1D1E1.（不需要证明） 【分析】【初步感知】利用正五边形与等腰三角形的性质求解； 【实践探究】连接BD，CE交于点M，四边形ABME即为所求； 【拓展延伸】各边延长线的交组成的五边形A1B1C1D1E1即为所求． 【解答】解：【初步感知】∵AB＝AE，∠A＝108°， ∴∠ABE＝∠AEB＝36°； 【实践探究】如图，四边形ABME即为所求． 【拓展延伸】如图2中，正五边形A1B1C1D1E1即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 十二．作图—应用与设计作图（共3小题） 23．为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，△ABC是一个等腰三角形的花圃，经测量AB＝AC＝13m，BC＝24m，半圆形步道的圆心在边BC上； 花圃二：如图2，四边形DEFG是一个梯形的花圃，DG∥EF，经测量DG＝9m，EF＝27m，∠E＝45°，tanF＝2，半圆形步道的圆心在边EF上．（结果保留根号） 【分析】花圃一：分别以点B和点C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于F，连接AF交BC于点D即为所求的圆心；过点D作DE⊥AB于点E，利用三线合一得到勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； 花圃二：延长ED，FG交于点H，尺规作∠EHF的角平分线交EF于点A即为所求作的圆心；过点A作AN⊥HF于点N，过点A作AM⊥HE于点M，设FN＝x，则AM＝AN＝2x，，AF，根据EF＝27m列方程求解即可． 【解答】解：花圃一：根据题意得，当半圆与AB，AC相切时，半圆的半径最大， 分别以点B和点C为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于F，连接AF交BC于点D即为所求的圆心，如图所示，点D即为所求作的圆心； 过点D作DE⊥AB于点E，故DE为半圆的半径， ∵AB＝AC＝13m，BC＝24m由作图得，AD垂直平分BC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半圆形步道的半径为； 花圃二：根据题意得，当半圆与DE，GF相切时，半圆的半径最大， 延长ED，FG交于点H，尺规作∠EHF的角平分线交EF于点A即为所求作的圆心，如图所示，点A即为所求作的圆心， 过点A作AN⊥HF于点N，过点A作AM⊥HE于点M， ∴AM＝AN，且 AM，AN为半圆的半径， ∵∠E＝45°， ∴△MEA是等腰直角三角形， ∵， ∴设 FN＝x，则AM＝AN＝2x， ∴，， ∵EF＝EA+AF＝27m， ∴， 解得x， ∴AM＝AN＝2x， ∴半圆的半径为cm． 【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． （1）请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图； （不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出CD⊥AB，垂足为点D； ②在图2中，作出△EFG的重心O； （2）利用②的作图结果，求sin∠OFG的值． 【分析】（1）①利用网格直接画图即可． ②结合三角形的重心的定义，取FG的中点M，EG的中点H，连接EM，FH相交于点O，则点O即为所求． （2）由图可得，sin∠OFG＝sin∠NFK，结合勾股定理求出FN的长，进而可得答案． 【解答】解：（1）①如图1，CD即为所求． ②如图2，取FG的中点M，EG的中点H，连接EM，FH相交于点O， 则点O即为所求． （2）由图可得，sin∠OFG＝sin∠NFK． 由勾股定理得，FN， ∴， ∴sin∠OFG的值为． 【点评】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． （1）利用圆规和直尺，在图1上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） （2）如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离DE为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【分析】（1）分别取圆弧形道路的弦MN和圆弧形水道的弦KT，作MN的垂直平分线PQ，KT的垂直平分线KT，PQ交KT于O，点O即为所； （2）连接OA，OC，OD，由C为AB的中点，点D为圆弧形道路内侧中点，可得OC⊥AB，OD⊥AB，ACAB＝100米，故O、E、C、D四点共线，设OA＝OD＝r米，可得r2＝（r﹣10）2+1002，r＝505，从而可得圆弧形水道外侧的半径为483米． 【解答】解：（1）分别取圆弧形道路的弦MN和圆弧形水道的弦KT，作MN的垂直平分线PQ，KT的垂直平分线KT，PQ交KT于O，如图： 点O即为所； （2）连接OA，OC，OD，如图： ∵C为AB的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴OC⊥AB，OD⊥AB，ACAB＝100米， ∴O、E、C、D四点共线， 设OA＝OD＝r米，则OC＝（r﹣10）米， 在Rt△AOC 中，OA2＝OC2+AC2， ∴r2＝（r﹣10）2+1002， 解得r＝505， ∴OE＝OD﹣DE＝505﹣22＝483（米）， 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，涉及垂径定理，解题的关键是掌握勾股定理列方程解决问题． 十三．比例线段（共1小题） 26．一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． （1）如图所示的四边形ABCD是一个“精致四边形”，其中 AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD．试写出该“精致四边形”的两条性质（AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD 除外）； （2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； （3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 【分析】（1）由等腰三角形的性质即可得到答案； （2）由菱形的性质得到AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，判定△ABD是等边三角形，得到∠ADO＝60°，因此AOOD，即可求出，得到较长线段与较短线段长度的比值是； （3）由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CBD＝∠ADB，得到∠ABD＝∠CBD∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA∠BCD，由等腰梯形的性质推出∠ABC＝∠BCD，得到∠ACB＝∠CBD，由AC＝BC，得到∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，由三角形内角和定理得到2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，求出∠CBD＝36°，得到∠ABC＝2∠CBD＝72°，由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，求出∠BAD＝108°，由等腰梯形的性质得到∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°． 【解答】解：（1）∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB（答案不唯一），理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DB＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB； （2）如图，菱形ABCD中，BD＝AD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD， ∵BD＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADO＝60°， ∴AOOD， ∴ACBD， ∴， ∴较长线段与较短线段长度的比值； （3）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC， 同理：∠BCA＝∠DCA∠BCD， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ABC＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠CBD， ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD， ∠ABC+∠CAB+∠BCA＝180°， ∴2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°， ∴∠CBD＝36°， ∴∠ABC＝2∠CBD＝72°， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝108°， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°， ∴两种长度的线段是AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，梯形的各内角度数分别是72°、72°，108°、108°． 【点评】本题考查梯形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由“精致四边形”的定义画出符合要求的菱形和梯形． 十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 27．【问题】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边AB上的点，连接CD，，求CD的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图2，以C为原点，CB、CA所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由DE平行x轴，可得， 由，BC＝4，可得， 同理可得，DF＝2，于是点D坐标是， ∴． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边AC、BC上，CD＝3，CE＝4，连接DE，点M、N分别在线段AB、DE上，，连接MN，求MN的长． 【分析】以C为原点，CB、CA所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，过点M作MK⊥y轴，MQ⊥x轴于点Q，证明△DNG∽△DEC，，得出，同理得出，得出点N坐标是，同理得出点M坐标是，根据两点间距离公式求出结果即可． 【解答】解：如图，以C为原点，CB、CA所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，过点N分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点H、G，过点M作MK⊥y轴，MQ⊥x轴于点Q， ∵∠DGN＝∠ACB＝90°， ∴GN∥x轴， ∴△DNG∽△DEC， ∴， ∵，CE＝4， ∴， 同理可得，， ∴点N坐标是， 同理可得，点M坐标是， ∴． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，三角形相似的判定和性质，两点间距离公式，掌握以上性质是解题的关键． 十五．解直角三角形的应用（共5小题） 28．某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：PQ是基座（基座高度忽略不计），AB是主臂，BC是伸展臂，若主臂AB长为4.8米，主臂伸展角∠QAB的范围是：25°≤∠QAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤110°，当主臂伸展角∠QAB最小，伸展臂伸展角∠ABC最大时，伸展臂BC恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9） （1）当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） （2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 【分析】（1）过点B作BD⊥CP，垂足为P，根据垂直定义可得∠BDP＝∠BDC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABD＝65°，进而可得∠DBC＝45°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和AD的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖（x+20）米，根据题意可得：3，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）当挖掘机在A处时，能挖到距A水平正前方6米远的土石， 理由：过点B作BD⊥CP，垂足为P， ∴∠BDP＝∠BDC＝90°， ∵∠BAQ＝25°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝65°， ∵∠ABC＝110°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝45°， 在Rt△ABD中，AB＝4.8米， ∴BD＝AB•sin25°≈4.8×0.4＝1.92（米）， AD＝AB•cos25°≈4.8×0.9＝4.32（米）， 在Rt△BCD中，CD＝BD•tan45°＝1.92（米）， ∴AC＝AD+CD＝4.32+1.92＝6.24（米）， ∵6.24米＞6米， ∴当挖掘机在A处时，能挖到距A水平正前方6米远的土石； （2）设工程队原计划每天挖x米，则实际开工后每天挖（x+20）米， 由题意得：3， 解得：x＝80或x＝﹣100， 经检验：x＝80或x＝﹣100是原方程的根， ∵x＞0， ∴x＝80， ∴工程队原计划每天挖80米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A处，花洒AD的长度为20厘米． （1）已知花洒与墙面所成的角∠BAD＝120°，求当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成90°的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号） （2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？ 【分析】（1）过点D作EF∥BC，作AE⊥EF，CF⊥EF，垂足分别为E，F，分别求出DE＝10厘米，DF厘米，即可得出答案； （2）设每个花洒的原价是x元，则现在的价格是（x﹣20）元，根据题意得：8，解方程即可． 【解答】解：（1）如图，过点D作EF∥BC，作AE⊥EF，CF⊥EF，垂足分别为E，F， ∵∠BAD＝120°， ∴∠EAD＝60°， ∴∠EDA＝30°， ∵AD＝20厘米， ∴AEAD＝10厘米，DE＝10厘米， ∴CF＝BE＝160+10＝170厘米， ∵∠ADC＝90°， ∴∠CDF＝60°， ∴∠DCF＝30°， ∴DF厘米， ∴BC＝EF＝10（厘米）， 答：水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离为厘米； （2）设每个花洒的原价是x元，则现在的价格是（x﹣20）元， 根据题意得：8， 解得x＝120或﹣50（舍去）， 经检验：x＝120是原方程的解， 答：这个此款花洒的原价是120元． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 30．“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE和“房顶”等腰三角形ABE组成．已知BC＝4.5厘米，CD＝8厘米，AB＝AE＝5厘米． （1）求“房顶”点A到盒底边CD的距离； （2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC的长度（即线段AB与BC的和）及矩形BCDE的面积均不改变，且sin∠ABE，BC＞CD，求新造型“盒身”的高度（即线段BC的长）． 【分析】（1）作AH⊥CD，垂足为H，交EB于点F，根据矩形的性质得到BE＝CD＝8厘米，BE∥CD，根据勾股定理即可得到结论； （2）设AF＝5x厘米，AB＝13x厘米，根据勾股定理得到BF12x（厘米），求得BE＝24x厘米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）作AH⊥CD，垂足为H，交EB于点F， ∵四边形BCDE是矩形， ∴BE＝CD＝8厘米，BE∥CD， ∴AH⊥BE． ∵AB＝AE＝5厘米，FH＝BC＝4.5厘米， ∴BF＝EF＝4厘米， ∴AF3（厘米）， ∴AH＝AF+FH＝3+4.5＝7.5（厘米） 答：房顶”点A到盒底边CD的距离为7.5厘米； （2）在Rt△ABF中，∵sin∠ABE， ∴设AF＝5x厘米，AB＝13x厘米， ∴BF12x（厘米）， ∴BE＝24x厘米， ∵BC+AB＝4.5+5＝9.5（厘米）， ∴BC＝（9.5﹣13x）厘米， ∵矩形BCDE的面积不改变， ∴BC•BE＝（9.5﹣13x）×24x＝8×4.5， 解得x或x， ∴BC＝3，CD＝12或BC＝6.5，CD＝5， ∵BC＞CD， ∴BC＝6.5． 答：新造型“盒身”的高度为6.5厘米． 【点评】本题考查的是直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，要把实际问题抽象到直角三角形中，利用三角函数求解． 31．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位． （1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36） （2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题； （2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D， 根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC， ∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD∠BAC， 当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°， 在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m）， ∴BC＝2BD＝2.10（m）， 当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°， 在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m）， ∴BC＝2BD＝2.52m， 答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验； （2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元． 由题意可得：， 解得：x＝16000， 经检验x＝16000是原方程的解，符合题意， 答：今年这款激光电视每台的售价是16000元． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程． 32．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）． （1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度； （2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度． （参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44） 【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答； （2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米， ∴BH＝3×0.25＝0.75（米）， ∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米； （2）连接BC， 由题意得： AB＝DC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAB＝∠CBH＝66°， 在Rt△CBH中，BH＝0.75米， ∴BC1.875（米）， ∴扶手AD的长度约为1.875米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 33．在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴一一消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用AB表示，转角平台用BC表示，地面用AD表示．已知BC∥AD，CD⊥AD，垂足为D，AB＝6米，BC＝2米，米． （1）求斜坡AB的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡AB上点M处时，探测仪P测得被困人员头顶G的仰角为15°，继续前行到点N处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段CB的延长线上，记作点Q．图2示意图中所有点均处于同一平面，PM＝QN，PM⊥AB、QN⊥AB，垂足分别为M、N，GC＝0.52米，PG＝5米，求MN的长． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 【分析】（1）作BE⊥AD，求得AE，BE的长，得到结果； （2）根据题意，结合图形，在Rt△GPF中求出GF，结合坡比，在Rt△QHP中得到QP，从而得到结果． 【解答】解：（1）如图1，作BE⊥AD，垂足为E， ∵BC∥AD，CD⊥AD， ∴DE＝BC， ∵AE＝AD﹣DE 且， ∴（米）， 在Rt△ABE中，（米）， ∴iAB， 答：斜坡AB的坡比为1：； （2）如图2，作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H， 根据题意可知：∠GPF＝15°，∠HQP＝∠QBA＝∠A，MN＝PQ， ∵在Rt△GPF中，， ∴GF＝5•sin15°≈1.3（米）， ∴HP＝CF＝1.3﹣0.52＝0.78（米）， ∵， ∴∠A＝30°， ∴∠HQP＝∠A＝30°， ∵在Rt△QHP中，QP＝2HP＝1.56（米）， ∴MN＝QP＝1.56（米）， 答：MN的长为1.56米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 34．为了测量某建筑物的高度BE，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为i＝1：2.4的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为30°，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物BE的高度与AD的长．（参考数据：） 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G，根据题意可得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°，先利用三角形的外角性质进行计算可得∠EDC＝∠DEC＝30°，从而可得CD＝CE＝100米，再在Rt△ECG中，利用含30度角的直角三角形的性质求出EG，CG的长，再在Rt△CGB中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出EB的长，最后根据斜坡AD的坡比为i＝1：2.4，可求出AF的长，再在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G， 由题意得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°， ∵∠ECG是△ECD的一个外角， ∴∠DEC＝∠ECG﹣∠EDC＝30°， ∴∠EDC＝∠DEC＝30°， ∴CD＝CE＝100米， 在Rt△ECG中，CGEC＝50（米）， ∴EGCG＝50（米）， 在Rt△CGB中，BG＝CG•tan45°＝50（米）， ∴DF＝BG＝50米， ∴EB＝EG+BG＝5050≈136.6（米）， ∵斜坡AD的坡比为i＝1：2.4， ∴， ∴AF＝2.4DF＝120（米）， 在Rt△ADF中，AD130（米）， ∴建筑物BE的高度约为136.6米，AD的长为130米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 十七．频数（率）分布直方图（共1小题） 35．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等级的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a＜60为不合格、60≤a＜80为合格，80≤a＜90为良好，90≤a≤100为优秀）．根据图中的信息回答下列问题： （1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有 　45　 人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据； （2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论： ①中位数一定落在80分﹣90分这一组内； ②众数一定落在80分﹣90分这一组内； ③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强； ④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数． 上述结论中错误的是 　②④　 （填序号）． （3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？ 【分析】（1）由总人数乘以样本优秀率即可得到答案，再求解样本容量及60≤a＜70的人数，再求解扇形图中的各百分比补全图形即可； （2）根据中位数，众数，样本平均数的含义可得答案； （3）根据x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍建立方程求解x，结合得分60分以下的学生有200×5%＝10可得答案． 【解答】（1）解：∵（6+8）÷35%＝40， ∴40﹣2﹣8﹣9﹣8﹣6＝7， ∵20045， ∴六年级参赛学生中成绩为良好的学生有45人； ∵良好占9÷40＝22.5%， ∴合格占1﹣22.5%﹣35%﹣5%＝37.5% 补全条形图如下： （2）由40个数据，第20个，第21个数据落在80分一90分这一组，故①正确； 众数是出现次数最多的数据，不一定落在80分—90分这一组内，故②不正确； 仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；故③正确； 从这两个统计图中不能准确求出样本的平均数，故④不正确； ∴上述结论中错误的是②④； （3）由（1）得：m＝200×35%＝70，样本容量为40， ∴x（70﹣x）＝40×15， 整理得：x2﹣70x+600＝0， 解得：x1＝10，x2＝60， ∵得分60分以下的学生有200×5%＝10， ∴x＝10合理． 【点评】本题考查了从扇形图与条形图中获取信息和中位数，众数的含义，样本容量的概念，一元二次方程的解法，掌握以上基础知识是解本题的关键． 十八．扇形统计图（共1小题） 36．某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩x分（x为整数）评定为A、B、C、D四个等级．其中A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x≤80，D等级：0≤x＜60．从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）． 请根据所给信息，回答下列问题： 等级 频数（人数） 频率 A 15 B 30 40% C a D b （1）扇形图中，B等级所在扇形的圆心角为 　144　 °； （2）此次测试成绩的中位数处在等级 B 中；（填A、B、C．D） （3）该校决定对D等级的学生进行安全再教育，已知a是b的5倍，那么该校六年级300名学生中，需接受安全再教育的约有多少人？ 【分析】（1）用360°乘B等级的频率40%可得B等级所在扇形的圆心角度数； （2）用B等级的频数除以B等级的频率可得样本容量，再根据中位数的定义解答即可； （3）根据样本容量以及a是b的5倍，可得a、b的值，再用D的频率乘总人数300名即可． 【解答】解：（1）扇形图中，B等级所在扇形的圆心角为360°×40%＝144°， 故答案为：144； （2）本次调查的样本容量为：30÷40%＝75， 把样本中的75个学生的成绩进从小到大排列，排在第38个数在等级B中，故此次测试成绩的中位数处在等级B中． 故答案为：B； （3）由题意可知，a+b＝75﹣15﹣30＝30， ∵a是b的5倍， ∴5b+b＝30， 解得b＝5， 30020（名）， 答：需接受安全再教育的约有20人． 【点评】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数以及频数分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 十九．条形统计图（共1小题） 37．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°． （1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离； （2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人． ①求出9：00～10：00时段的入园游客人数； ②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因． 【分析】（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F，根据三角函数即可得到答案； （2）平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x，然后根据平均数概念列出方程求解即可． 【解答】解：（1）过A作AE∥CP于点E，过B作BF⊥QD于点F， 直角三角形ACE中，AE＝sin30°×AC＝27， 同理，BF＝27且AB＝16，27×2+16＝70， ∴PC与QD间的距离为70cm． （2）①∵平均数为4200人，设9：00﹣10：00人数为x， ∴（3000+x+4800+3800+2500+5100）÷6＝4200， ∴x＝6000， ∴9：00﹣10：00时段的入园游客人数为6000； ②9：00﹣10：00和13：00﹣14：00需要限流， 9：00﹣10：00限流原因：入园人数是6000，超过5000； 13：00﹣14：00限流原因如下： 12：00﹣13：00入园总人数为20100人超过20000人； 13：00﹣14：00入园人数为：5100人，超过5000人； 13：00—14：00时段入园游客超过5000人或在园内游客总数超过20000人． 【点评】此题考查的是条形统计图，掌握三角函数和平均数的概念是解决此题关键． 二十．折线统计图（共1小题） 38．近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： （1）该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了50%，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的10%，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ （2）为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高20%，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 【分析】（1）根据2024年购进新书总支出比2023年提高了50%，可得2024年购进新书总支出，分别求出用2022年、2024年社会科学类图书的支出，即可求解； （2）用2021年的总支出金额×60%，得出2021年工资的支出金额，再比较解答即可． 【解答】解：（1）2024年购进新书总支出是16000×（1+50%）＝24000（元）， 2022年社会科学类图书的支出是12000×10%＝1200（元）， 2024年社会科学类图书的支出是24000×15%＝3600（元）， 2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为（3600﹣1200）÷1200＝200%； 答：2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为200%； （2）设学校计划2025年购进自然科学类图书x册，则2024年购进自然科学类图书（x﹣80）册， 由题意得20， 解得x1＝180，x2＝﹣160， 经检验，x1＝180，x2＝﹣160都是原分式方程的解，负值不合题意，舍去， ∴x＝180， 答：学校计划2025年购进自然科学类图书180册． 【点评】本题考查的是分式方程的应用条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 二十一．加权平均数（共1小题） 39．’某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④网络评分D．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式x＝x1A+x2B+x3C+x4D，其中x1、x2、x3、x4是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为5.5分，那么小海的得分计为x＝4x1+1350x2+3x3+5.5x4.如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为0～10分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数． 评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量A”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）． 指标因素 系数 书籍的数量A m 书籍的总页数B 2.4 书籍的类别C 3.5 网络评分D n 表1 （1）指标因素“书籍的数量A''的系数m的值为　2.6　 ； （2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为x＝　2.6x1十2.4x2十3.5x3十 1.5x4 ； （3）表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． A B C D 得分 甲 4 1500 3 7 乙 3 1800 2 4 表2 ①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分． 甲得分为　3631.4　 ，乙得分为　4340.8　 ； ②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：　可调整得分公式为：x＝x1Ax2B+x3C+x4D．　 【分析】（1）算出加权平均数即可； （2）用总分10分减去其余项目的分数即可得到n的值，代入即可； （3）①将甲乙各项的得分代入公式即可计算“阅读之星”的得分； ②书籍的总页数B的得分对结果的影响较大，调整书籍的总页数的得分公式即可． 【解答】解：（1）m （1×28+36×2+60×3+20×4+6×5）＝2.6， 故答案为：2.6； （2）n＝ 10﹣2.6﹣2.4﹣3.5＝1.5， ∴x＝2.6x1 十2.4x2十3.5x3十 1.5x4， 故答察为：2.6x1 十2.4x2十3.5x3十 1.5x4； （3）①甲的得分为2.6×4+2.4×1500+3.5×3+1.5×7＝10.4+3600+10.5+10.5＝3631.4， 乙的得分为2.6×3+2.4×1800+3.5×2+1.5×4＝8.4+4320+7+6＝4340.8， 故答案为：3631.4，4340.8； ②可适当调整书籍的总页数B的得分公式，因为这项的分值占比太大， 可调整得分公式为：x＝x1Ax2B+x3C+x4D，其余要求不变． 【点评】本题主要考查了加权平均数的应用，能正确计算加权平均数是解题的关键． 二十二．众数（共1小题） 40．小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（06：00～22：00）和谷时段（22：00～次日6：00）分别计费．为了解2025年4月新居的平时段用电量，小明连续8天，每天22：00记录了电表平时段的读数，如表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数（单位：千瓦时） 109 121 133 149 156 173 201 221 根据表格提供的信息，解答下列问题： （1）小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是　28　 千瓦时； （2）计算小明家4月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ （3）小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是16千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 【分析】（1）通过相邻两天电表读数之差，分别算出每天的用电量，再比较大小得出单日最大用电量； （2）先计算这7天的平均用电量，再依据4月天数，用平均用电量乘以30天估算出4月平时段用电总量； （3）将7天用电量从小到大排序，根据中位数和众数的定义进而判断出中位数和众数，进而判断小明说法是否正确． 【解答】解：（1）∵121﹣109＝12，133﹣121＝12，149﹣133＝16，156﹣149＝7，173﹣156＝17，201﹣173＝28，221﹣201＝20， ∴平时段单日用电量最大的那天的用电量是28， 故答案为：28； （2）这7天的平均用电量为（12+12+16+7+17+28+20）÷7＝16（千瓦时）， ∵4月份有30天， ∴4月份平时段用电总量约为16×30 ＝ 480（千瓦时）； （3）不正确，将这7天的用电量从小到大排列为7，12，12，16，17，20，28， ∴中位数是16，众数是12， ∴小明说的不正确． 【点评】本题主要考查了平均数、中位数、众数的概念，先计算出每天的用电量是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026上海市中考备考二模复习 第22 题创新题 专题练习 一．一元二次方程的应用（共3小题） 1．某工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨蓝莓蜜饯． 已知蓝莓的采购成本价y（万元/吨）与蓝莓的采购量x（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为50%．蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． （1）求y与x的函数解析式（不写定义域）； （2）求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； （3）根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润？如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） x（吨） 50 100 150 200 y（万元/吨） 1.9 1.8 1.7 1.6 2．某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 （1）如果这个企业在2022年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求2月份的利润； （2）这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 3．如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由 （3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm2时请直接写出结果并画出平面示意图 二．分式方程的应用（共2小题） 4．某中学初三年级在“阳光体育”活动中，参加各项球类运动的数据信息制作成了扇形统计图，如图所示．已知参加乒乓球运动的人数有80人，请根据图中的信息解决下列问题． （1）求参加篮球和足球运动的总人数； （2）学校为本次活动购买了一些体育器材，其中购买的篮球和足球的数量是根据参加的人数每人一只配备的，购买篮球的费用是3000元，购买足球费用是2400元，并且篮球的单价比足球的单价便宜10元．请你帮助计算一下，参加篮球运动和足球运动的学生各有多少人？ 5．现有某服装厂接到一批衬衫生产任务，该厂有甲乙两个生产衬衫的车间，甲车间要完成3000件，乙车间要完成2500件．已知甲车间比乙车间每天多生产125件，如果两车间同时开工，且甲车间比乙车间提前2天完成任务，那么甲车间和乙车间分别用了几天完成各自的任务？ 三．一次函数与一元一次不等式（共1小题） 6．一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型Ⅰ：一条直线y＝kx+b（k、b都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型Ⅱ：两条直线l1：y1＝k1x+b1和l2：y2＝k2x+b2（k1≠k2、b1≠b2且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． （1）如图1，请你帮助小组求出△ABO的面积S（用含k和b的式子表示）． （2）将直线l1与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S1，直线l2与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2，直线l1、l2和x轴所围成的三角形面积记为Sx，它们和y轴所围成的三角形面积记为Sy． i）在图2中已经画出了直线l1和l2大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的是　 　 ． （A）k1＞0，b1＞0，k2＞0，b2＞0； （B）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＜0； （C）k1＞0，b1＜0，k2＜0，b2＞0； （D）k1＞0，b1＞0，k2＜0，b2＞0． 此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是　 　 ． ii）如图3，保持直线l1不变，改变直线l2中k2和b2的符号（不考虑|k2|和|b2|的大小），请在图中画出直线l2的大致图象，此时S1、S2、Sx和Sy之间的关系式是　 　 ． 四．一次函数的应用（共8小题） 7．寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象． 根据图象提供的信息回答下列问题： （1）图中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； （3）她们能否在中午12：30之前到达目的地？请说明理由． 8．网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． （1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ （2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当320＜x＜375时，写出y关于x的函数关系式； （3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 9．在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； （2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量． 10．某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度为y（千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （2）如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为30千米/时． ①求该时刻高架路上每百米车的数量； ②如果车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．而此刻开始这一高架路上每百米车辆数每4分钟增加1辆，为了避免严重拥堵，那么最晚几分钟需启动限流措施？ 11．某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ 我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A（1，10.0）、B（2，11.0）、C（3，12.4）、D（4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． （1）根据点A、B的坐标，可得直线AB的表达式为y＝x+9．请根据点A、C坐标，求出直线AC的表达式； （2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．） 例如：分析直线AB，即f（x）＝x+9上的点，可知f（1）＝10，f（2）＝11，f（3）＝12，f（4）＝13，求得偏离方差]＝0.1025． 请依据以上方式，求出关于直线AC的偏离方差值：　 　 ； 问题：你认为在选用直线AB与直线AC进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：　 　 ； 根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为 　 　 百亿元． 12．在一次蜡烛燃烧试验中，甲蜡烛燃烧时剩余部分的高度（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）求甲蜡烛燃烧时y与x之间的函数解析式（不写定义域）； （2）现将一根乙蜡烛与甲蜡烛做完全燃烧比较试验，已知乙蜡烛每小时比甲蜡烛少燃烧5厘米，乙蜡烛比甲蜡烛多燃烧20分钟，求乙蜡烛的高度． 13．弹簧在一定限度内，它的长度y（cm）与所挂重物的重量x（kg）是一次函数关系，下表中记录的是所挂重物的重量和其对应的弹簧长度． 重物的重量x（kg） … 2 … 10 … 弹簧的长度y（cm） … 13 … 17 … （1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； （2）弹簧在一定限度内挂上重物后长度不超过25cm，那么所挂重物的重量最多为多少？ 14．在同一条公路上，甲车从A地驶往B地，乙车从B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲车行驶2小时后，因故停车一段时间，然后按原速继续驶往B地，最后两车同时到达各自的终点．如果甲车的速度比乙车每小时快10千米，如图表示甲车离A地的路程S（千米）与时间t（时）的函数关系，问： （1）甲、乙两车行驶时的速度分别为每小是多少千米？ （2）两车在离A地多少千米处相遇？（结果保留三位有效数字） 五．一次函数综合题（共1小题） 15．【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段MN，为了平分线段MN，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系xOy中，画出函数的图象； ②在x轴的正半轴上截取OA＝MN，过点A作AD⊥x轴交函数的图象于点D； ③以点M为圆心，AD长为半径作弧，交MN于点P． 所以点P平分线段MN． 【解决问题】 （1）根据小普同学的做法，如果要将线段MN三等分，那么可以借助函数　 　 的图象在图1中的线段AD上，找到点C，使，于是可作出线段MN上的一个三等分点．（填函数解析式） （2）平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点B在x轴的正半轴上，OB＝b．运用我们学过的函数知识，在图2中作出坐标为的点Q，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 六．二次函数的应用（共1小题） 16．请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点A后下降到点B．此时点B距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点C，切换到直线下降飞行模式降落至地面点D．得到抛物线y＝ax2+2x（a＜0）直线y＝0.3和直线y＝﹣0.4x+b． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点C距离起飞点O的水平距离为10千米，求a和b的值； （2）若飞行汽车在最高点A时，距离起飞点O的水平距离为0.4千米．水平飞行了t（0.08≤t≤0.1）小时到达点C后降落，求b的取值范围． 七．全等三角形的判定与性质（共1小题） 17．如图，在△ABC中，AB＝5，，tan∠BAC＝2．小明根据下列步骤作图： ①以点C为圆心，AC的长为半径作弧，交AC的延长线于点D； ②以点A为圆心，取定长a为半径作弧分别交∠BAC的两边于点M、N； ③以点D为圆心，a为半径作弧，交CD于点P； ④以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交前弧于点Q，联结DQ并延长交BC的延长线于点E． （1）填空： 由作图步骤①可得CD＝AC， 由作图步骤②③④可得 　 　 ＝　 　 ， 又因为∠ACB＝∠DCE， 所以△ABC≌△DEC，理由是 　 　 ． （2）联结AE，求tan∠EAD的值． 八．三角形综合题（共1小题） 18．直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对． 如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作preA，这时preA． 仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： （1）pre60°的值为 　 　 ． （A）； （B）1； （C）； （D）2． （2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值preA的取值范围是 　 　 ． （3）如果sinA，其中∠A为锐角，试求preA的值． 九．扇形面积的计算（共1小题） 19．已知，如图，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，且． （1）求弦AB的长； （2）求图中阴影部分面积（结果保留π）． 十．圆的综合题（共1小题） 20．图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，（即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节CD的高度，当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下： （1）当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度． （2）如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（AE＝AB），求该手机的宽度． 十一．作图—复杂作图（共2小题） 21．“数学探究小组”研究如下问题：如图1，点M是矩形ABCD内一点，求作一个四边形，使得四边形的四边分别等于AM、BM、CM、DM，并且两条对角线互相垂直． 小组成员小杰提出了如下的作法：1．过点M作MN∥AB并截取MN＝AB；2．分别联结BN、CN．那么四边形MBNC就是所求作的四边形． （1）请判断小杰的作法是否正确，并说明理由； （2）如图2，点N是菱形ABCD内一点，请根据上述信息提出一个类似问题，并予以解决（只需写出作法或画出图形、结论，不必说明理由）． 22．已知正五边形ABCDE，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】如图1，请直接写出∠ABE的度数； 【实践探究】请在图1中作出以BE为对角线的菱形ABME，并证明你的结论； 【拓展延伸】请在图2正五边形ABCDE的基础上再设计一个新的正五边形A1B1C1D1E1.（不需要证明） 十二．作图—应用与设计作图（共3小题） 23．为了让游客更好的观赏花圃景观，某植物园打算在不同形状的花圃内都建设一条半圆形的步道，要求一：步道的外围不超过各自花圃的范围；要求二：半圆形步道的圆心在花圃的某一条边上；要求三：半圆形步道的半径尽可能的大（忽略步道的宽度）． 根据以下不同形状的花圃分别按要求画出这个半圆形步道的圆心（不用写作法，保留痕迹），并直接写出不同形状的花圃下半圆形步道的半径． 花圃一：如图1，△ABC是一个等腰三角形的花圃，经测量AB＝AC＝13m，BC＝24m，半圆形步道的圆心在边BC上； 花圃二：如图2，四边形DEFG是一个梯形的花圃，DG∥EF，经测量DG＝9m，EF＝27m，∠E＝45°，tanF＝2，半圆形步道的圆心在边EF上．（结果保留根号） 24．已知：图1、图2中的网格均为边长相同的小正方形组成．点A、B、C、E、F、G是网格的格点． （1）请利用网格，仅用无刻度的直尺完成下面的作图； （不写作法，保留作图痕迹，写出作图结果） ①在图1中，作出CD⊥AB，垂足为点D； ②在图2中，作出△EFG的重心O； （2）利用②的作图结果，求sin∠OFG的值． 25．上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图1，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． （1）利用圆规和直尺，在图1上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） （2）如图2，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离DE为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 十三．比例线段（共1小题） 26．一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”． （1）如图所示的四边形ABCD是一个“精致四边形”，其中 AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD．试写出该“精致四边形”的两条性质（AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD 除外）； （2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值； （3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数． 十四．相似三角形的判定与性质（共1小题） 27．【问题】如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是边AB上的点，连接CD，，求CD的长． 【发现】某数学兴趣小组在讨论解决上述问题的过程中，运用了如下方法： 解：如图2，以C为原点，CB、CA所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy． 过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点E、F， 由DE平行x轴，可得， 由，BC＝4，可得， 同理可得，DF＝2，于是点D坐标是， ∴． 【运用】根据上述解答给你的启发，解答下面的问题： 如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别在边AC、BC上，CD＝3，CE＝4，连接DE，点M、N分别在线段AB、DE上，，连接MN，求MN的长． 十五．解直角三角形的应用（共5小题） 28．某工程队购进几台新型挖掘机（如图1），该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图：PQ是基座（基座高度忽略不计），AB是主臂，BC是伸展臂，若主臂AB长为4.8米，主臂伸展角∠QAB的范围是：25°≤∠QAB≤60°，伸展臂伸展角∠ABC的范围是：45°≤∠ABC≤110°，当主臂伸展角∠QAB最小，伸展臂伸展角∠ABC最大时，伸展臂BC恰好能接触水平地面（点C、Q、A、P在一直线上）．（参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9） （1）当挖掘机在A处时，能否挖到距A水平正前方6米远的土石？（请通过计算说明） （2）该工程队承担了新农村景观河的建设任务，计划用该型号的挖掘机进行施工．已知景观河全长1200米，实际开工后每天比原计划多挖20米，因此提前3天完成任务，求工程队原计划每天挖多少米？ 29．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A处，花洒AD的长度为20厘米． （1）已知花洒与墙面所成的角∠BAD＝120°，求当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成90°的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号） （2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？ 30．“小房子”是一种常见的牛奶包装盒（如图1），图2是其一个侧面的示意图，由“盒身”矩形BCDE和“房顶”等腰三角形ABE组成．已知BC＝4.5厘米，CD＝8厘米，AB＝AE＝5厘米． （1）求“房顶”点A到盒底边CD的距离； （2）现设计了牛奶盒的一个新造型，和原来相比较，折线段ABC的长度（即线段AB与BC的和）及矩形BCDE的面积均不改变，且sin∠ABE，BC＞CD，求新造型“盒身”的高度（即线段BC的长）． 31．激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位． （1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36） （2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 32．某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）． （1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度； （2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度． （参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44） 十六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题） 33．在有毒、缺氧或浓烟等危险环境开展侦查、搜救是消防救援的核心工作之一，救援人员常面临人身安全威胁，关键时刻需要可靠伙伴一一消防机器狗，它能深入室内高危区，打通室内室外壁垒进行搜救，搭载的远距通讯模块，可实现远程操控与实时传图，为救援决策提供可视化信息． 图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用AB表示，转角平台用BC表示，地面用AD表示．已知BC∥AD，CD⊥AD，垂足为D，AB＝6米，BC＝2米，米． （1）求斜坡AB的坡比； （2）如图2，当机器狗爬到斜坡AB上点M处时，探测仪P测得被困人员头顶G的仰角为15°，继续前行到点N处，恰好能搜集到被困人员全身的影像，此时探测仪在线段CB的延长线上，记作点Q．图2示意图中所有点均处于同一平面，PM＝QN，PM⊥AB、QN⊥AB，垂足分别为M、N，GC＝0.52米，PG＝5米，求MN的长． （参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） 34．为了测量某建筑物的高度BE，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为i＝1：2.4的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为30°，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物BE的高度与AD的长．（参考数据：） 十七．频数（率）分布直方图（共1小题） 35．某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等级的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，0≤a＜60为不合格、60≤a＜80为合格，80≤a＜90为良好，90≤a≤100为优秀）．根据图中的信息回答下列问题： （1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有 　 　 人；请把图1补画完整、补齐图2中缺失的数据； （2）小明对统计图进行了研究，得出了如下结论： ①中位数一定落在80分﹣90分这一组内； ②众数一定落在80分﹣90分这一组内； ③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强； ④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数． 上述结论中错误的是 　 　 （填序号）． （3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与（m﹣x）的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？ 十八．扇形统计图（共1小题） 36．某校对六年级学生进行了一次安全知识测试，按成绩x分（x为整数）评定为A、B、C、D四个等级．其中A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x≤80，D等级：0≤x＜60．从中随机抽取了一部分学生的成绩进行分析，绘制成如下的统计图表（部分信息缺失）． 请根据所给信息，回答下列问题： 等级 频数（人数） 频率 A 15 B 30 40% C a D b （1）扇形图中，B等级所在扇形的圆心角为 　 　 °； （2）此次测试成绩的中位数处在等级 　 　 中；（填A、B、C．D） （3）该校决定对D等级的学生进行安全再教育，已知a是b的5倍，那么该校六年级300名学生中，需接受安全再教育的约有多少人？ 十九．条形统计图（共1小题） 37．如图1是一个公园入口双翼闸机的双翼展开时的截面图，闸机的双翼△PCA和△QDB成轴对称，PC和QD均垂直于地面，双翼边缘的端点A与B在同一水平线上，且它们之间的距离为16cm，双翼边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠QDB＝30°． （1）求闸机通道宽度，即PC和QD之间的距离； （2）经实践调查，8：00至14：00该公园入园游客较多，图2为该公园8：00至14：00每一小时为一个时段的入园人数统计图的一部分（每个时间段含前一个整点时刻不含后一个整点时刻），现已知所有统计数据的平均数为4200人． ①求出9：00～10：00时段的入园游客人数； ②根据该公园的承载能力，建议“某个时段入园游客超过5000人”或“在园内游客总数超过20000人”的对游客入园进行适当限流，如不考虑个别出园游客，那么哪几个时段建议公园需要采取限流措施？并分别说明原因． 二十．折线统计图（共1小题） 38．近年来，某校积极响应“全民阅读活动”，致力打造“书香校园”，每年划拨专项经费用于图书馆购置图书，确保图书种类齐全、数量充足．该校2022年至2024年图书馆购进新书总支出如图所示： （1）该校图书馆2024年购进新书总支出比2023年提高了50%，2022年图书馆购进的图书中，社会科学类图书的支出占购进总支出的10%，那么2024年与2022年相比，社会科学类图书在购进支出上的增长率为多少？ （2）为了更好地满足师生的阅读需求，该校经过问卷调查和借阅数据的综合分析，2025年新书购进计划在2024年基础上做如下调整：将自然科学类图书的购书金额提高20%，同时购书的数量增加80册，这样调整后，自然科学类图书的每册均价可比2024年降低20元，那么学校计划2025年购进自然科学类图书多少册？ 二十一．加权平均数（共1小题） 39．某校七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④网络评分D．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式x＝x1A+x2B+x3C+x4D，其中x1、x2、x3、x4是各项指标因素的系数．假如小海同学一学期读了4本书，总页数1350页，涉及3个类别，4本书的网络评分的平均分为5.5分，那么小海的得分计为x＝4x1+1350x2+3x3+5.5x4.如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过向七年级学生和教师发放“阅读之星”评选指标因素重要程度的问卷调查，分别对上述四个指标因素打分，每个指标因素的分值范围为0～10分，四个指标因素分值的和必须为10分，指标因素的分值越高表示该指标因素越重要，然后将得到的每一个指标因素的所有分值取平均数作为该指标因素的系数． 评选小组对调查问卷的数据进行整理，得到“书籍的数量A”指标因素的得分情况统计图（如图）及各指标因素的系数表（如表1）． 指标因素 系数 书籍的数量A m 书籍的总页数B 2.4 书籍的类别C 3.5 网络评分D n 表1 （1）指标因素“书籍的数量A''的系数m的值为　 　 ； （2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为x＝　 　 ； （3）表2是该校七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． A B C D 得分 甲 4 1500 3 7 乙 3 1800 2 4 表2 ①请计算甲、乙两人“阅读之星”的得分． 甲得分为　 　 ，乙得分为　 　 ； ②根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：　 　 二十二．众数（共1小题） 40．小明乔迁的新居使用的是分时电表，按平时段（06：00～22：00）和谷时段（22：00～次日6：00）分别计费．为了解2025年4月新居的平时段用电量，小明连续8天，每天22：00记录了电表平时段的读数，如表： 星期 日 一 二 三 四 五 六 日 平时段的读数（单位：千瓦时） 109 121 133 149 156 173 201 221 根据表格提供的信息，解答下列问题： （1）小明家这几天中，平时段单日用电量最大的那天的用电量是　 　 千瓦时； （2）计算小明家4月份平时段用电总量约是多少千瓦时？ （3）小明计算出这几天平时段单日用电量的中位数和众数都是16千瓦时，你认为正确吗？请简要说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $