2026年上海市中考数学备考二模复习 圆与正多边形章节复习 常考60题专练

2026年上海市中考备考二模复习 圆与正多边形章节复习 常考60题专练 一．圆的基本性质（共17小题） 1．如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 2．如图，在圆O中，直径AB＝10，弦CD交AB于点E，且CE＝DE，若BE＝2，则CD＝ 　 　 ． 3．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3 4．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 5．已知点P在半径为5的⊙O内，那么点P到圆心O的距离不可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 6．如图，等边三角形ABC边长为1，点D，E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接DE，EF，FD，EC．给出下面四个结论中正确的是（　　） ①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；③△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：6；④△DEF的外心与△ABC的外心重合． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 7．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CE＝DE B．OE＝BE C．＝ D．∠COE＝∠DOE 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 9．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，联结CD，点E是CD的中点，联结BE，那么BE长度的取值范围是 　 　 ． 10．已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC＝BD． （1）求证：AD∥BC； （2）小明说：四边形ABCD一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知AB＝10，AC＝BC＝13，求⊙O的半径． 11．在⊙O中，点C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D，且D是OC的中点． （1）求∠AOD的度数； （2）延长AO交⊙O于点E，联结EC，交AB于点F，如果AE＝8，求FB的长度． 12．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　 　 米． 13．如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作，与半圆O交于点P，我们称：点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接PA、PB、PC、PD，并延长PD交AB于点F．下列结论中：①FD＝FB+BC；②∠APC＝135°；③S△PBC＝AP2；④tan∠BAP＝；其中正确的结论的序号为 　 　 ． 14．如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求∠D的正弦值． 15．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A． （1）求⊙O的半径长； （2）P是 上一点，PO⊥BC，交AB于点D，联结AP．求∠PAB 的正切值． 16．某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架CD与地面垂直，真空集热管AB与地面水平线夹角∠BAC为30°，直线AB与CD都经过水箱截面的圆心O．已知DC＝65cm，AB＝180cm，则水箱内水面宽度BE为 　 　 cm． 17．如图，在直角坐标系中，已知点A（8，0）、点B（0，6），⊙A的半径为5，点C是⊙A上的动点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是 　 　 ． 二．圆与直线的关系（共15小题） 18．如图，已知△ABC，∠C＝90°，sinB＝ ，BC＝12，M、N是BC边上的点，CM＝BN，如果以MN为直径的圆与以AC为直径的圆相离，且以MN为直径的圆与边AB有公共点，那么CM的值可以是（　　） A．1 B．B C．2 D．3 19．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P在边AC上，⊙P的半径为1．如果⊙P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是　 　 ． 21．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在边AD上，且△DEC是等边三角形，点O是对角线AC上一点．如果⊙O经过点E且与边BC没有公共点，那么⊙O的半径r的取值范围是 　 　 ． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于　 　 ． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF＝，FC＝10，求OE的长． 24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆与边AC交于点D，与边AB相切于点E． （1）当BC＝12时，求⊙O的半径长； （2）求的值． 25．在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（　　） A． B． C． D． 27．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 28．如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD． （1）求AB的长； （2）如果，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由． 29．如图，已知AB＝AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：DE是圆O的切线； （2）如果∠BAC＝120°，求证：DE＝BC． 30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ． 31．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，DC⊥BC，且AD＝1，DC＝3，点P为边AB上一动点，以P为圆心，BP为半径的圆交边BC于点Q． （1）求AB的长； （2）当BQ的长为 时，请通过计算说明圆P与直线DC的位置关系． 32．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝6，以CD为直径的⊙O切AB于G，设AG2＝y，AC＝x． （1）求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （2）利用所求出的函数关系式，求当AC为何值时，才能使得BC与⊙O的直径相等？ （3）△ACB有可能为等腰三角形吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说出理由． 三．圆与圆的位置关系（共28小题） 33．已知⊙A与⊙B的半径分别是6和8，圆心距AB＝2，那么⊙A与⊙B的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 34．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（　　） A．当O1O2＝2时，两圆没有公共点 B．当O1O2＝5时，两圆有一个公共点 C．当O1O2＝0时，两圆有公共点 D．当O1O2＝7时，两圆有两个公共点 35．如图，已知∠AOB＝30°，⊙O的半径为3．点P在射线OB上，⊙P的半径为r．如果直线OA与⊙P相切，且⊙P与⊙O相交，那么r的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 36．已知⊙O1与⊙O2有交点，圆心距O1O2＝2，如果⊙O1的半径r1＝5，那么⊙O2的半径为r2的取值范围是（　　） A．3＜r1＜7 B．3≤r1＜7 C．3＜r1≤7 D．3≤r1≤7 37．如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2＝3，⊙O1的半径长是5，那么⊙O2的半径长r的取值范围是（　　） A．0＜r＜2 B．2＜r＜8 C．0＜r＜2或r＞8 D．r＞8 38．已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　） A． B． C．10 D．12 39．已知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为3，O1O2＝5．如果⊙O2与⊙O1相交，那么⊙O2的半径长可以是（　　） A．10 B．8 C．7 D．2 40．如图，已知线段AB的长为10，圆A的半径为2，点P是线段AB上一点，以B为圆心、BP为半径作圆，将圆B绕点P旋转180°得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（　　） A．0＜AP＜8 B．1＜AP＜5 C．1＜AP＜7 D．4＜AP＜8 42．如图，已知⊙O与⊙M相交于A、B两点，⊙O的半径长为2，⊙M的半径长为3，如果⊙O的圆心在⊙M上，那么公共弦AB的长为 　 　 ． 43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，如果以点B为圆心的⊙B与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙B的半径长是 　 　 ． 44．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是　 　 ． 45．如图，在▱ABCD中，AB＝7，BC＝8，．点P在边AB上，AP＝2，以点P为圆心，AP为半径作⊙P．点Q在边BC上，以点Q为圆心，CQ为半径作⊙Q．如果⊙P和⊙Q外切，那么CQ的长为 　 　 ． 46．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边AD上，AE＝3，以点E为圆心、AE为半径作⊙E（如图），点F在边BC上，以点F为圆心、CF为半径作⊙F．如果⊙F与⊙E外切，那么CF的长是 　 　 ． 47．如图，已知AB是⊙O1 与⊙O2 的公共弦，O1O2 与AB交于点C，O1O2 的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1 于点D． （1）联结 O1A、O2A，如果 AB＝AD＝AP．求证：O1A⊥O2A； （2）如果 PO1＝3PO2，求证：PA＝AD． 48．如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，联结AB、O1O2、AO2，已知AB＝48，O1O2＝50，AO2＝30． （1）求⊙O1的半径长； （2）试判断以O1O2为直径的⊙P是否经过点B，并说明理由． 49．已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E． 求：（1）求的值； （2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值． 50．如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为　 　 厘米． 51．如图，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为2，那么小正六边形的边心距是　 　 ． 52．如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是　 　 ． 53．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ． 54．如图，正八边形的对角线AD、CG交于点M，那么的值为 　 　 ． 55．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为 　 　 ． 56．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F． （1）求证：AB＝AF． （2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）． 57．如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E． （1）求证：PA＝PD； （2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：． 58．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图，作直径AD； （2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点； （3）连接AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形． 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由． 59．边长为a的正十边形的半径是（　　） A． B． C． D． 60．以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，那么n的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市中考备考二模复习 圆与正多边形章节复习 常考60题专练 一．圆的基本性质（共17小题） 1．如图，已知AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，如果∠BOD＝84°，则∠ACO的度数是（　　） A．48° B．42° C．44° D．46° 【分析】连接OA，根据圆心角、弧、弦的关系证明∠AOC＝∠BOD，再由等腰三角形的性质计算∠ACO的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA． ∵AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD，即∠BOD+∠AOD＝∠AOC+∠AOD， ∵∠BOD＝84°， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝（180°﹣∠AOC）＝×（180°﹣84°）＝48°． 故选：A． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质是解题的关键． 2．如图，在圆O中，直径AB＝10，弦CD交AB于点E，且CE＝DE，若BE＝2，则CD＝ 　8　 ． 【分析】连接OC，根据垂径定理的推论得到OE⊥CD，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OC， ∵直径AB＝10， ∴OB＝OC＝5， ∵BE＝2， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3， ∵CE＝DE， ∴OE⊥CD， ∴CE＝＝＝4， ∴CD＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是垂径定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 3．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC＝3，CD＝2，则圆心O到弦AB的距离是（　　） A．6 B．9﹣ C． D．25﹣3 【分析】过圆心O作弦的垂线，垂足为G，得到Rt△OBG和Rt△OCG，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出OG的值，也就是圆心到弦的距离． 【解答】解：如图：过O作OG⊥AB于G，根据垂径定理有：AG＝BG， 设AC＝2a，则CB＝4a，CG＝a，GB＝3a， 在Rt△OCG中，OC2＝OG2+CG2＝OG2+a2① 在Rt△OBG中，OB2＝OG2+GB2＝OG2+9a2② 又OC＝3，OB＝5，代入①②中，解方程得：a2＝2，OG2＝7． 所以圆心到弦的距离是． 故选：C． 【点评】本题考查的是垂径定理，过圆心作圆的垂线，得到直角三角形，运用勾股定理计算可以求出圆心到弦的距离． 4．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等 C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆 【分析】根据垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件判断． 【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意； B、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，故本选项说法错误，不符合题意； C、等弧所对的弦相等，说法正确，符合题意； D、过平面上不在同一直线上的三点可以画一个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系、垂径定理，掌握相关的定理是解题的关键． 5．已知点P在半径为5的⊙O内，那么点P到圆心O的距离不可能是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】根据点与圆的位置关系解答即可． 【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O内， ∴OP＜5， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，当d＜r时，点P在圆内是解题的关键． 6．如图，等边三角形ABC边长为1，点D，E，F分别在边CA，AB，BC的延长线上，AD＝BE＝CF＝1，连接DE，EF，FD，EC．给出下面四个结论中正确的是（　　） ①△DEF是等边三角形；②DC⊥EC；③△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：6；④△DEF的外心与△ABC的外心重合． A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】利用SAS证明△DAE≌△EBF≌△FCD，推出DE＝EF＝FD，证明△DEF是等边三角形；利用三角形的外角性质求得∠BEC＝∠BCE＝∠ABC＝30°，可证明DC⊥EC；利用勾股定理求得CE＝，求得S△ABC＝S△DEF；利用等边三角形的外心和内心的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形且边长为1， ∴AB＝BC＝CA＝1，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°， ∵AD＝BE＝CF＝1， ∴AE＝BF＝CD＝2，∠DAE＝∠EBF＝∠FCD＝180°﹣60°＝120°， ∴△DAE≌△EBF≌△FCD（SAS）， ∴DE＝EF＝FD， ∴△DEF是等边三角形， 故①正确； ∵BE＝BC＝1，∠ABC＝60，∠BEC＝∠BCE＝∠ABC＝30°， ∴∠DCE＝60°+30°＝90°，即DC⊥EC， 故②正确； ∵∠ACE＝90°，AC＝1，AE＝2， ∴CE＝＝， ∴DE＝＝＝， ∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴S△ABC＝×1×＝，S△DEF＝×××＝， ∴△ABC的面积为与△DEF面积之比为1：7，故③错误； 设△ABC的外心为O， ∵△ABC是等边三角形， ∴点O也是△ABC的内心，作OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H， ∴OG＝OH，AG＝CH＝， ∴DG＝FH＝， ∴△DGO≌△FHO（SAS）， ∴OD＝OF， 同理OD＝OE，则OD＝OE＝OF， ∴△DEF的外心与△ABC的外心重合， 故④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 7．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论不一定正确的是（　　） A．CE＝DE B．OE＝BE C．＝ D．∠COE＝∠DOE 【分析】利用垂径定理判断． 【解答】解：根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，可知A、C、D都成立． 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧的性质． 8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C＝100°，则∠A的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C＝100°， ∴∠A＝180°﹣100°＝80°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟记性质是解题的关键.. 9．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，以A为圆心、2为半径作圆，点D是圆A上一点，联结CD，点E是CD的中点，联结BE，那么BE长度的取值范围是 　4≤BE≤6　 ． 【分析】取AC的中点F，根据三角形中位线定理得出EF＝1，据此得出点E的轨迹，再结合勾股定理即可解决问题． 【解答】解：取AC的中点F，连接EF， ∵点E和点F分别为DC和AC的中点， ∴EF为△ADC的中位线， ∴EF＝， 则点E在以点F为圆心，1为半径的圆上． 连接BF， 在Rt△BCF中， BF＝， ∴5﹣1≤BE≤5+1， 即4≤BE≤6． 故答案为：4≤BE≤6． 【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形三边关系及三角形中位线定理，能根据题意得出点E的运动轨迹及熟知勾股定理是解题的关键． 10．已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC＝BD． （1）求证：AD∥BC； （2）小明说：四边形ABCD一定是等腰梯形．你认为他的说法正确吗？为什么？ （3）如图所示，已知AB＝10，AC＝BC＝13，求⊙O的半径． 【分析】（1）由圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系证明∠ABC＝∠BCD，由圆的内接四边形的性质证明∠BAD+∠BCD＝180°，从而证明∠BAD+∠ABC＝180°，根据平行线的判定定理证明AD∥BC； （2）由（1）知）∠ABC＝∠BCD，根据圆周角定理证明∠ABD＝∠ACD，从而证明∠DBC＝∠ACB，由圆心角、弧、弦的关系证明CD＝AB，进而由AD∥BC证明四边形ABCD不一定是等腰梯形； （3）连接OA、OB、OC，延长CO交AB于点E，证明CE是AB的垂直平分线，在Rt△ACE中利用勾股定理求出CE，设OA＝OC＝r，则OE＝CE﹣OC＝12﹣r，在Rt△AEO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可． 【解答】（1）证明：∵AC＝BD， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC． （2）解：小明的说法不正确．理由如下： 由（1），∠ABC＝∠BCD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠DBC＝∠ACB， ∴CD＝AB， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形， ∴小明的说法不正确． （3）如图，连接OA、OB、OC，延长CO交AB于点E． ∵AC＝BC，OA＝OB， ∴CE是AB的垂直平分线， ∴AE＝AB＝×10＝5， 在Rt△ACE中利用勾股定理，得CE＝＝＝12， 设OA＝OC＝r，则OE＝CE﹣OC＝12﹣r， 在Rt△AEO中利用勾股定理，得OE2+AE2＝OA2，即（12﹣r）2+52＝r2， 解得r＝． 【点评】本题考查圆周角定理、等腰梯形的判定和圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，等腰梯形的定义，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定定理、圆的内接四边形的性质、勾股定理是解题的关键． 11．在⊙O中，点C是弧AB的中点，OC交弦AB于点D，且D是OC的中点． （1）求∠AOD的度数； （2）延长AO交⊙O于点E，联结EC，交AB于点F，如果AE＝8，求FB的长度． 【分析】（1）根据垂径定理求出OC⊥AB，OD＝OC＝OC，再解直角三角形求解即可； （2）根据圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质求出∠ADO＝90°，＝，∠OAB＝30°，∠CEB＝30°，解直角三角形求解即可． 【解答】解：（1）如图，连接OA， ∵点C是弧AB的中点，且D是OC的中点， ∴OC⊥AB，OD＝OC＝OC， ∴OD＝OA， ∴∠OAD＝30°， ∴∠AOD＝90°﹣30°＝60°； （2）如图，连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵OC⊥AB， ∴∠ADO＝90°，＝， ∵∠AOD＝60°， ∴∠OAB＝90°﹣60°＝30°，∠CEB＝∠AOD＝30°， ∴BE＝AE＝×8＝4， 在Rt△BEF中，tan∠FEB＝＝， ∴FB＝BE＝． 【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理等知识，熟练运用垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 12．温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度AB为24米，拱高CD为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为 　20　 米． 【分析】根据题意，利用垂径定理及勾股定理即可解决问题． 【解答】解：由题知， CD垂直平分AB， 所以圆弧所在圆的圆心在CD延长线上． 连接AO， 因为OC垂直平分AB， 所以AD＝（米）． 设⊙O的半径为r米， 则OD＝（r﹣4）米． 在Rt△AOD中， 122+（r﹣4）2＝r2， 解得r＝20， 所以这个弧形石拱桥设计的半径我20米． 故答案为：20． 【点评】本题考查垂径定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． 13．如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作 ，与半圆O交于点P，我们称：点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．连接PA、PB、PC、PD，并延长PD交AB于点F．下列结论中：①FD＝FB+BC；②∠APC＝135°；③S△PBC＝AP2；④tan∠BAP＝；其中正确的结论的序号为 　①②③④　 ． 【分析】①连接OP交PC于K，OD，OF，过点D作DG⊥AP于G，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AB于N，证明△DPO和△DCO全等，得∠OPD＝∠OCD＝90°，∠ODP＝∠ODC，则∠OPF＝∠ABC＝90°，再证明Rt△OPF和Rt△OBF全等得FP＝FB，由此可对结论①进行判断； ②根据DP＝DA，DG⊥AP得∠ADG＝∠PDG，再根据∠ODC＝∠ODP得∠ODG＝45°，然后根据DK⊥PC，DG⊥AP及四边形内角和定于360°可求出∠APC的度数，进而可对结论②进行判断； ③设BC＝2a，则DP＝CD＝2a，OB＝OC＝OP＝a，进而得OD＝√5a，根据S四边形DPOC＝2S△OCD＝OC•CD＝PC•OD得PC＝，进而由勾股定理即三角形面积公式得PB＝，PM＝，BM＝，则PM＝BN＝，PN＝BM＝，AN＝，AP2＝，则，而S△PBC＝PC•PB＝，据此可对结论③进行判断； ④在Rt△APN中，根据三角函数定义得tan∠BAP＝＝1/3，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①连接OP交PC于K，OD，OF，过点D作DG⊥AP于G，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AB于N，如图1所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴DA＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝45°， 依题意得：DP＝CD＝BC＝DA，OP＝OC，OP＝OB， 在△DPO和△DCO中， ， ∴△DPO≌△DCO（SSS）， ∴∠OPD＝∠OCD＝90°，∠ODP＝∠ODC， ∴∠OPF＝∠ABC＝90°， 在Rt△OPF和Rt△OBF中， ， ∴Rt△OPF≌Rt△OBF（HL）， ∴FP＝FB， ∴FD＝FP+DP＝FB+BC， 故结论①正确； ②∵DP＝DA，DG⊥AP， ∴∠ADG＝∠PDG， 又∵∠ODC＝∠ODP， ∴∠ADG+∠ODC＝∠PDG+∠ODP＝∠ODG， ∴∠CDA＝2∠ODG＝90°， 即∠ODG＝45°， ∵DP＝CD，OP＝OC， ∴OD是线段PC的垂直平分线， ∴DK⊥PC， ∴∠DKP＝∠DGP＝90°， ∵∠APC+∠DKP+∠DGP+∠ODG＝360°， ∴∠APC+90°+90°+45°＝360°， 即∠APC＝135°， 故结论②正确； ③设BC＝2a，则DP＝CD＝2a，OB＝OC＝OP＝a， 在Rt△DCO中，由勾股定理得：OD＝， ∵S四边形DPOC＝2S△OCD＝OC•CD， 又∵S四边形DPOC＝S△OPC+S△DPC＝PC•OK+PC•DK＝PC•OD， ∴PC•OD＝OC•CD ∴PC＝＝＝， ∵PM⊥BC，PN⊥AB，∠ABC＝90°， ∴四边形PMBN为矩形， ∴PM＝BN，PN＝BM， 在Rt△BCP中，由勾股定理得：PB＝＝， ∵S△PBC＝BC•PM＝PC•PB， ∴PM＝＝＝， 在Rt△PBM中，BM＝＝， ∴PM＝BN＝，PN＝BM＝， ∴AN＝AB﹣BN＝， 在Rt△APN中，由勾股定理得：AP2＝AN2+PN2＝， ∴， ∵S△PBC＝PC•PB＝， ∴S△PBC＝AP2， 故结论③正确； ④在Rt△APN中，tan∠BAP＝， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点评】此题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形等，理解圆的有关概念，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，灵活利用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 14．如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求∠D的正弦值． 【分析】（1）过O点作OE⊥BC，如图，先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝8，AD∥BC，再利用垂径定理得到BE＝CE＝4，接着利用勾股定理计算出OE＝3，然后利用平行四边形的面积公式求解； （2）先证明四边形OECF为矩形得到CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，所以DF＝1，再利用勾股定理计算出CD，然后根据正弦的定义求解． 【解答】解：（1）过O点作OE⊥BC，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BC＝AD＝3+5＝8，AD∥BC， ∵OE⊥BC， ∴BE＝CE＝4， 在Rt△OEC中，OE＝＝＝3， ∴平行四边形ABCD的面积＝8×3＝24； （2）∵OF∥CE，OE⊥CE，CF⊥OF， ∴四边形OECF为矩形， ∴CF＝OE＝3，OF＝CE＝4， ∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1， 在Rt△CDF中，CD＝＝＝， ∴sinD＝＝＝． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形． 15．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A． （1）求⊙O的半径长； （2）P是 上一点，PO⊥BC，交AB于点D，联结AP．求∠PAB 的正切值． 【分析】（1）根据圆的性质以及勾股定理列方程求解即可； （2）根据垂直的定义以及圆周角定理求出∠PAB＝45°，再根据特殊锐角三角函数值进行计算即可． 【解答】（1）解：如图，连接OA，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r， 在Rt△AOC中，由勾股定理得， AC2+OC2＝OA2， 即42+（8﹣r）2＝r2， 解得r＝5， 即⊙O的半径长为5； （2）解：∵PO⊥BC， ∴∠BOP＝90°， ∴∠PAB＝∠POB＝45°， ∴∠PAB 的正切值为tan45°＝1． 【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键． 16．某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架CD与地面垂直，真空集热管AB与地面水平线夹角∠BAC为30°，直线AB与CD都经过水箱截面的圆心O．已知DC＝65cm，AB＝180cm，则水箱内水面宽度BE为 　50　 cm． 【分析】OC交BE于F点，如图，设⊙O的半径为rcm，则OC＝（r+65）cm，OA＝（r+180）cm，先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到r+180＝2（r+65），解得r＝50，再根据平行线的性质得到OC⊥BE，∠OBE＝∠A＝30°，则可计算出BF＝25cm，然后根据垂径定理得到BE＝2BF． 【解答】解：OC交BE于F点，如图，设⊙O的半径为rcm，则OC＝（r+65）cm，OA＝（r+180）cm， Rt△OAC中，∵∠A＝30°， ∴OA＝2OC， 即r+180＝2（r+65）， 解得r＝50， ∴OB＝50cm， ∵BE∥AC， ∴OC⊥BE，∠OBE＝∠A＝30°， 在Rt△OAF中，∵∠OBF＝30°， ∴OF＝OB＝×50＝25（cm）， ∴BF＝OF＝25cm， ∵OF⊥BE， ∴BF＝EF＝25cm， ∴BE＝2BF＝50cm． 故答案为：50． 【点评】本题考查了垂径定理的应用：构建垂径定理的基本图形和灵活运用垂径定理计算弦长是解决问题的关键．也考查了勾股定理的应用． 17．如图，在直角坐标系中，已知点A（8，0）、点B（0，6），⊙A的半径为5，点C是⊙A上的动点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是 　　 ． 【分析】根据DP分别是AB、BC的中点，DP＝AC＝＝，D是定点，DP＝，即点P的运动轨迹是以点D为中心，DP为半径的圆，由此解答即可． 【解答】解：∵A（8，0）、AOB＝90点B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6，∠AOB＝90°， 连接AB，AC，取AB的中点D，即D的坐标（4，3）， 连接DP， 又∵DP分别是AB、BC的中点， ∴DP＝AC＝＝， D是定点，DP＝，即点P的运动轨迹是以点D为中心，DP为半径的圆． ∵DP1＝DP2＝， ∴点D坐标（4，3）， ∴OD＝， ∴OP的取值范围是OD﹣DP1≤OP≤OD+DP2，即5﹣≤OP≤5， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 二．圆与直线的关系（共15小题） 18．如图，已知△ABC，∠C＝90°，sinB＝ ，BC＝12，M、N是BC边上的点，CM＝BN，如果以MN为直径的圆与以AC为直径的圆相离，且以MN为直径的圆与边AB有公共点，那么CM的值可以是（　　） A．1 B．B C．2 D．3 【分析】根据CM＝BN确定以MN为直径圆的圆心是BC的中点，根据直角三角形的边角关系求出AC，进而求出AB，再根据CM＝BN确定BC的中点是以MN为直径的圆的圆心，由⊙O与直线AB有公共点，⊙O以AC为直径的圆相离，确定⊙O半径的取值范围，进而得出答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，， ∴，即AB＝3AC， ∵AC2+BC2＝AB2，BC＝12， ∴AC2+122＝（3AC）2， ∴（负值已经舍去）， ∴， 如图，取MN的中点O，即MO＝NO， ∵CM＝BN， ∴CM+MO＝BN+NO，即， 过点O作OH⊥AB，连接OA， ∴， ， ∴以MN为直径的圆与边AB有公共点时，， ∴，即， ∴， 取AC的中点K，即， ∴， 又∵以MN为直径的圆与以AC为直径的圆相离，即， ∴， ∴，即：， ∴， 综上所述：， ∵， ∴C选项在取值范围内，故符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，解三角形等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD＝，然后根据直线与圆的位置关系得到当≤r≤12时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝＝13， ∵CD•AB＝BC•AC， ∴CD＝， ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为≤r≤12． 故选：D． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P在边AC上，⊙P的半径为1．如果⊙P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是　1＜CP＜　 ． 【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当⊙P与AB相切时，设切点为D，如图，连接PD，则PD⊥AB，根据相似三角形的性质可得到结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝4， 当⊙P与AB相切时，设切点为D，如图， 连接PD， 则PD⊥AB， ∴∠C＝∠ADP＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADP∽△ACB， ∴， ∴＝， ∴PA＝， ∴PC＝AC﹣PA＝， ∴线段PC长的取值范围是1＜CP＜， 故答案为：1＜CP＜． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 21．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在边AD上，且△DEC是等边三角形，点O是对角线AC上一点．如果⊙O经过点E且与边BC没有公共点，那么⊙O的半径r的取值范围是 　　 ． 【分析】作AM⊥BC，则BM＝2，，作EG⊥AC，则EG＝2×＝，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：∵△DEC是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝60°， 作AM⊥BC，则BM＝2，， ∴AC＝＝2， 作EG⊥AC，则EG＝2×＝， ①当OE＝GE时，r＝， ②当O与A重合时，r＝2， ③当点O在AC中点时，OE的半径为，且O到BC的距离也为，圆O与BC相切， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于　2cm ． 【分析】过C点作CD⊥AB于D，如图，利用切线的性质得即CD＝2，再证明∠B＝45°，则可判断△CDB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质计算BC的长． 【解答】解：过C点作CD⊥AB于D，如图， ∵⊙C与AB相切， ∴CD为⊙C的半径，即CD＝2， ∵∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠B＝45°， ∴△CDB为等腰直角三角形， ∴BC＝CD＝2（cm）． 故答案为2cm． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径、若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰直角三角形的性质． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）连接OE，若BF＝，FC＝10，求OE的长． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，则∠ODB＝∠C，所以OD∥AC，则∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）连接OE，延长DO交BF于点H，可证明四边形DEFH是矩形，由AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF，得AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BH＝，则（2）2+（10﹣AB）2＝AB2，求得AB＝6，则OD＝AB＝3，所以OE＝＝． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，延长DO交BF于点H， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠F＝90°， ∵∠HDE＝∠DEF＝90°， ∴四边形DEFH是矩形， ∴∠DHF＝90°， ∵AB＝AC，BF＝2，FC＝10，OH⊥BF， ∴AF＝10﹣AC＝10﹣AB，DE＝FH＝BH＝BF＝， ∵BF2+AF2＝AB2， ∴（2）2+（10﹣AB）2＝AB2， 解得AB＝6， ∴OD＝AB＝3， ∴OE＝＝＝， ∴OE的长为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，点O在边BC上，以O为圆心，OC为半径的圆与边AC交于点D，与边AB相切于点E． （1）当BC＝12时，求⊙O的半径长； （2）求的值． 【分析】（1）由⊙O与AB边相切于点E，得∠OEB＝90°，而∠B＝30°，OE＝OC，所以OB＝2OE＝2OC，由BC＝2OC+OC＝12，求得OC＝4，则⊙O的半径长为4； （2）连接OD、ED，则OD＝OC＝OE，由∠OEB＝∠A＝90°，∠B＝30°，求得∠BOE＝∠C＝60°，则△COE是等边三角形，所以∠COD＝60°，求得∠DOE＝60°，则△EOD是等边三角形，所以∠OED＝60°，求得∠AED＝30°，则AD＝ED＝CD，所以＝． 【解答】解：（1）∵⊙O与AB边相切于点E， ∴AB⊥OE于点E， ∴∠OEB＝90°， ∵∠B＝30°，OE＝OC， ∴OB＝2OE＝2OC， ∵OB+OC＝BC＝12， ∴2OC+OC＝12， ∴OC＝4， ∴⊙O的半径长为4． （2）连接OD、ED，则OD＝OC＝OE， ∵∠OEB＝∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠BOE＝∠C＝90°﹣∠B＝60°， ∴△COE是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣∠COD﹣∠BOE＝60°， ∴△EOD是等边三角形， ∴∠OED＝60°， ∴∠AED＝180°﹣∠OED﹣∠OEB＝30°， ∴AD＝ED， ∵ED＝OD＝CD， ∴AD＝CD， ∴＝， ∴的值为． 【点评】此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．求出CH的值即可判断． 【解答】解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H． ∵S平行四边形ABCD＝BC•CH， ∴CH＝＝4， ∵4＜5， ∴直线AD与⊙C相交， 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，， ∴＝， 设AC＝x，BC＝2x， ∴AB＝＝x＝5， ∴x＝， ∴AC＝，BC＝2， 过点C作CD⊥AB于点D， ∴CD＝＝2， ∵⊙C与线段AB有两个交点， ∴2＜R≤， 故选：A． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 27．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于点D，底边BC与半圆O交于E，F两点． （1）求证：AB与半圆O相切； （2）连接OA．若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值． 【分析】（1）连接OD，连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AC，然后利用角平分线的性质得到OH＝OD，从而根据切线的判定定理得到结论； （2）在Rt△OCD中，根据勾股定理求得OD＝3，OC＝5，进而得到cosC＝，在Rt△OCA中，由cosC＝＝，即可求出sin∠OAC． 【解答】（1）证明：连接OD，OA，作OH⊥AB于H，如图， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AC与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AC， 而OH⊥AB， ∴OH＝OD， ∴AB是⊙O的切线； （2）由（1）知OD⊥AC， 在Rt△OCD中，CD＝4，OC＝OF+CF＝OD+2，OD2+CD2＝OC2， ∴OD2+42＝（OD+2）2， ∴OD＝3， ∴OC＝5， ∴cosC＝＝， 在Rt△OCA中，cosC＝＝， ∴sin∠OAC＝＝． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用相关知识是解决问题的关键． 28．如图，半径为5的⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边BC相交于点D，BD＝8，AB＝AD． （1）求AB的长； （2）如果，判断直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）连接AD、OB，连接AO并延长交BC于E点，得出AE⊥BC，BE＝DE．根据垂径定理可得BE＝DE＝4，利用勾股定理求出OE＝3，则AE＝8，再利用勾股定理即可求解； （2）根据正切函数的定义得tanC＝＝，可得CE＝6，则BC＝BE+CE＝10，过C作CH⊥AB于H，根据sin∠ABE＝可得，可求出CH＝4＜9，即可得出答案． 【解答】解：（1）连接OD、AD、OB，连接AO并延长交BC于E点， ∵AB＝AD，OB＝OD， ∴AE⊥BC，BE＝DE． ∵BD＝8， ∴BE＝DE＝4， ∴OE＝＝3， ∴AE＝OA+OE＝8， ∴AB＝＝＝4； （2）直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交．理由如下： ∵tanC＝＝，AE＝8， ∴CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10， 过C作CH⊥AB于H， ∵sin∠ABE＝， ∴， ∴CH＝4＜9， ∴直线AB与以点C为圆心、9为半径的圆相交． 【点评】本题考查解直角三角形，直线和圆的位置关系，勾股定理，垂直平分线的判定等知识，掌握与圆有关的基础知识是解题的关键． 29．如图，已知AB＝AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）求证：DE是圆O的切线； （2）如果∠BAC＝120°，求证：DE＝BC． 【分析】（1）连接OD、AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的三线合一得出BD＝DC，求出OD是△BAC的中位线，推出OD∥AC，推出DE⊥OD，根据切线的判定定理推出即可； （2）根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠C的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出DE＝DC，根据DC＝BC，代入求出即可． 【解答】（1）证明： 连接OD、AD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝DC（三线合一定理）， ∵BO＝OA， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是半径， ∴DE是圆O的切线； （2）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°， ∴DE＝DC， ∵DC＝BD＝BC， ∴DE＝BC． 【点评】本题综合性比较强，考查了等腰三角形的性质和判定，切线的判定，含30度角的直角三角形性质，三角形的中位线定理等，注意：含30度角所对的直角边等于斜边的一半． 30．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，BC＝6，DE∥BC，且CD＝2AD，以点C为圆心，r为半径作⊙C．如果⊙C与线段BE有两个交点，那么⊙C的半径r的取值范围是　2＜r≤2　 ． 【分析】连接CE，过C作CF⊥AB于F．利用DE∥BC，计算得出AD，AE的长，通过说明△BFC∽△ADE，得出CF的长，利用勾股定理计算CE的长，因为⊙C与线段BE有两个交点，可以确定r的取值范围． 【解答】解：连接CE，过C作CF⊥AB于F． ∵DE∥BC， ∴． ∵CD＝2AD， ∴＝． ∵AB＝9，BC＝6， ∴DE＝BC＝2， AE＝AB＝3． ∵AC＝， CD＝2AD， ∴CD＝． ∴CE＝． ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF+∠ACF＝90°． ∵CF⊥AB， ∴∠CAF+∠ACF＝90°． ∴∠BCF＝∠FAC． ∵∠BFC＝∠EDA＝90°， ∴△BFC∽△EDA． ∴． ∴． ∴CF＝2． ∴当r＝2时，⊙C与线段BE相切． ∵⊙C与线段BE有两个交点， ∴2＜r≤2． 故答案为：2＜r≤2． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质．通过计算CF，CE的长来确定r的取值范围是解题的关键． 31．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，DC⊥BC，且AD＝1，DC＝3，点P为边AB上一动点，以P为圆心，BP为半径的圆交边BC于点Q． （1）求AB的长； （2）当BQ的长为 时，请通过计算说明圆P与直线DC的位置关系． 【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据矩形的性质得到CE＝AD＝1，AE＝CD＝3，根据勾股定理即可得到结论； （2）过P作PF⊥BQ于F，根据相似三角形的性质得到PB＝，得到PA＝AB﹣PB＝，过P作PG⊥CD于G交AE于M，根据相似三角形的性质得到PM＝，根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E， 则四边形AECD是矩形， ∴CE＝AD＝1，AE＝CD＝3， ∵AB＝BC， ∴BE＝AB﹣1， 在Rt△ABE中，∵AB2＝AE2+BE2， ∴AB2＝32+（AB﹣1）2， 解得：AB＝5； （2）过P作PF⊥BQ于F， ∴BF＝BQ＝， ∴△PBF∽△ABE， ∴＝， ∴， ∴PB＝， ∴PA＝AB﹣PB＝， 过P作PG⊥CD于G交AE于M， ∴GM＝AD＝1，PG∥BC， ∴△APM∽△ABE， ∴＝， ∴＝， ∴PM＝， ∴PG＝PM+MG＝＝PB， ∴圆P与直线DC相切． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 32．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD＝6，以CD为直径的⊙O切AB于G，设AG2＝y，AC＝x． （1）求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围． （2）利用所求出的函数关系式，求当AC为何值时，才能使得BC与⊙O的直径相等？ （3）△ACB有可能为等腰三角形吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说出理由． 【分析】（1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形相似的判定得出Rt△OAG∽Rt△BAC，进而得出答案． （3）由Rt△OAG∽Rt△BAC，当△BAC为等腰三角形时，△OAG也为等腰三角形，进而得出答案． 【解答】解：（1）连接OG，则OG⊥AG． ∴AG2＝AO2﹣OG2 即y＝（x﹣3）2﹣32，∴y＝x2﹣6x（x＞6） （2）⇒Rt△OAG∽Rt△BAC⇒ 即⇒x2﹣8x＝0 因为x≠0x＝8． 即当AC＝8时，有BC与直径DC相等． （3）∵Rt△OAG∽Rt△BAC， 故当△BAC为等腰三角形时，△OAG也为等腰三角形，这时必有AG＝OG＝3． 将y＝AG2＝32＝9代入y＝x2﹣6x得x2﹣6x﹣9＝0 解得x1＝3+3（不符题意，舍去） 所以，当x＝3+3时，△ACB为等腰三角形． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，根据已知得出Rt△OAG∽Rt△BAC是解决问题的关键． 三．圆与圆的位置关系（共28小题） 33．已知⊙A与⊙B的半径分别是6和8，圆心距AB＝2，那么⊙A与⊙B的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系；设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r． 【解答】解：因为8﹣6＝2，圆心距AB＝2， 所以d＝R﹣r， 所以两圆内切． 故选：B． 【点评】考查了圆与圆的位置关系，本题利用了两圆内切，则d＝R﹣r． 34．已知⊙O1和⊙O2的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（　　） A．当O1O2＝2时，两圆没有公共点 B．当O1O2＝5时，两圆有一个公共点 C．当O1O2＝0时，两圆有公共点 D．当O1O2＝7时，两圆有两个公共点 【分析】根据圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系，进行判断． 【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是5和7， ∴7﹣5＝2，5+7＝12． A、∵O1O2＝2，∴⊙O1与⊙O2内切，有一个公共点，故选项错误； B、∵O1O2＝5，2＜5＜12，∴⊙O1与⊙O2相交，有两个公共点，故选项错误； C、∵O1O2＝0，当O1O2＜2时，⊙O1与⊙O2内含，没有公共点，故选项错误； D、∵O1O2＝7时，2＜7＜12，∴⊙O1与⊙O2相交，有两个公共点，故选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了两圆位置关系和两圆半径、圆心距的关系，以及两圆不同位置关系时的公共点数． 35．如图，已知∠AOB＝30°，⊙O的半径为3．点P在射线OB上，⊙P的半径为r．如果直线OA与⊙P相切，且⊙P与⊙O相交，那么r的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT．求出两圆相交时r的取值范围即可判断． 【解答】解：如图，当⊙P与⊙O外切时，设切点为T，连接PT． ∵∠PTO＝90°，∠POT＝30°， ∴OP＝2PT， ∴3+r＝2r， ∴r＝3， 当两圆内切时，同法可得3﹣r＝2r，解得r＝1， ∵⊙P与⊙O相交， ∴1＜r＜3， 故选：C． 【点评】本题考查相交两圆的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 36．已知⊙O1与⊙O2有交点，圆心距O1O2＝2，如果⊙O1的半径r1＝5，那么⊙O2的半径为r2的取值范围是（　　） A．3＜r1＜7 B．3≤r1＜7 C．3＜r1≤7 D．3≤r1≤7 【分析】由⊙O1的半径r1＝5，⊙O2的半径为r2，圆心距O1O2＝2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系，可求得相切时r2的值，继而求得答案． 【解答】解：∵⊙O1与⊙O2有交点，圆心距O1O2＝2，如果⊙O1的半径r1＝5， ∴r2﹣5≤2≤r2+5， ∴r2的取值范围是：3≤r2≤7． 故选：D． 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆半径分别为R、r，当两圆外离⇔d＞R+r；两圆外切⇔d＝R+r；两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）． 37．如果⊙O1与⊙O2内含，圆心距O1O2＝3，⊙O1的半径长是5，那么⊙O2的半径长r的取值范围是（　　） A．0＜r＜2 B．2＜r＜8 C．0＜r＜2或r＞8 D．r＞8 【分析】首先由题意知⊙O1与⊙O2两圆内含，则知两圆圆心距d＜R﹣r，分两种情况进行讨论． 【解答】解：根据题意两圆内含， 故知r﹣5＞3或者5﹣r＞3， 解得0＜r＜2或r＞8． 故选：C． 【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．两圆外离，则P＞R+r；外切，则P＝R+r；相交，则R﹣r＜P＜R+r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r． 38．已知⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上．那么两圆的公共弦长是（　　） A． B． C．10 D．12 【分析】先根据题意画出图形，设⊙O1和⊙O2相交于A，B，连接AB，O1O2，O1A，O2B，O1O2，设AB与O1O2相交于点C，设O1C＝a，则O1A＝O1O2＝5，O2A＝6，AC＝BC，AB⊥O1O2，O2C＝5﹣a，AB＝2AC，在Rt△O1AC和Rt△O2AC中，由勾股定理得AC2＝ O1A2﹣O1C2＝O2A2﹣O2C2，则52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2，由此解出，则AC＝，进而即可得出公共弦AB的长． 【解答】解：设⊙O1和⊙O2相交于点A，B，连接AB，O1O2，O1A，O2B，O1O2，设AB与O1O2相交于点C，如图所示： 设O1C＝a， ∵⊙O1的半径是5，⊙O2的半径是6．圆心O2在⊙O1上， ∴O1A＝O1O2＝5，O2A＝6，AC＝BC，AB⊥O1O2， ∴O2C＝O1O2﹣O1C＝5﹣a，AB＝2AC， 在Rt△O1AC和Rt△O2AC中，由勾股定理得：AC2＝O1A2﹣O1C2＝O2A2﹣O2C2， ∴52﹣a2＝62﹣（5﹣a）2， 解得：， ∴O1C＝， ∴AC＝＝＝， AB＝2AC＝＝． 故选：B． 【点评】此题主要考查了相交两圆的性质，理解两圆相交时，连心线垂直平分公共弦是解决问题的关键． 39．已知⊙O1和⊙O2，⊙O1的半径长为3，O1O2＝5．如果⊙O2与⊙O1相交，那么⊙O2的半径长可以是（　　） A．10 B．8 C．7 D．2 【分析】由两圆相交得出R﹣r＜O1O2＜R+r，即可得出结果． 【解答】解：∵⊙O2与⊙O1相交， ∴两圆的半径之和大于圆心距，即R﹣r＜O1O2＜R+r， ∴R﹣3＜5＜R+3， ∴2＜R＜8， ∴⊙O2的半径长可以是7， 故选：C． 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系；由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系是解决问题的关键；设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d．外离：d＞R+r；外切：d＝R+r；相交：R﹣r＜d＜R+r；内切：d＝R﹣r；内含：d＜R﹣r． 40．如图，已知线段AB的长为10，圆A的半径为2，点P是线段AB上一点，以B为圆心、BP为半径作圆，将圆B绕点P旋转180°得到圆C，点C是点B的对应点，如果圆A与圆C相切，那么符合条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据相切圆的性质作图求解． 【解答】解：如图： 故选：C． 【点评】本题考查了两圆的位置关系，掌握两圆相切的性质是解题的关键． 41．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点P在边AB上，⊙P的半径为3，⊙C的半径为2，如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围是（　　） A．0＜AP＜8 B．1＜AP＜5 C．1＜AP＜7 D．4＜AP＜8 【分析】先画出图形，假设相切的时候求出AP，结合相交，即可找到答案． 【解答】解：根据题意，画出两圆相切的图，作CD⊥AB于点D，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝8，CD⊥AB． ∴CD＝DB＝DA＝4． 当两圆相切时，如图知道：CP＝5，CH＝5． 根据勾股定理可得：PD＝DH＝3． ∴图上有：AP＝1，AH＝7． 如果⊙P和⊙C相交，那么线段AP长的取值范围为：1＜AP＜7． 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形性质，圆与圆的位置关系知识，关键在于利用两圆相切求出AP的长度．属于基础题． 42．如图，已知⊙O与⊙M相交于A、B两点，⊙O的半径长为2，⊙M的半径长为3，如果⊙O的圆心在⊙M上，那么公共弦AB的长为 　　 ． 【分析】如图，设AB，OM交于点J，过点M作MH⊥OA于点H．利用勾股定理求出MH，再利用面积法求出AJ即可． 【解答】解：如图，设AB，OM交于点J，过点M作MH⊥OA于点H． ∵⊙O与⊙M相交于A、B两点， ∴OM垂直平分线段AB， ∴AJ＝JB， ∵MA＝MO，MH⊥OA， ∴AH＝HO＝OA＝1， ∴＝＝2， ∵•OM•AJ＝•OA•MH， ∴AJ＝＝， ∴AB＝2AJ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查相交两圆的性质，勾股定理，垂径定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 43．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，如果以点B为圆心的⊙B与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙B的半径长是 　﹣2　 ． 【分析】连接OB，由⊙B与⊙O外切，则OB经过切点P，利用勾股定理求得BC，然后利用勾股定理求得OB，进一步即可求得结果． 【解答】解：连接OB， ∵⊙B与⊙O外切， ∴OB经过切点P， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5， ∴BC＝＝3， ∵AC为⊙O的直径， ∴OC＝＝2， ∴OB＝＝＝， ∵OB＝OP+BP＝OC+BP， ∴BP＝OB﹣OC＝﹣2， ∴⊙B的半径长是﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系和勾股定理，明确两圆相切时，两圆的圆心连线过切点是解题的关键． 44．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙C与AB相切，若⊙A与⊙C相交，则⊙A半径r的取值范围是　1.6＜r＜6.4　 ． 【分析】过C点作CD⊥AB于D点，利用勾股定理计算出AB的长度，再利用等面积法计算出CD的长度，再根据切线的性质得到CD为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到r﹣2.4＜4＜2.4+r，最后解不等式即可． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，如图，过C点作CD⊥AB于D点， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵⊙C与AB相切， ∴CD为⊙C的半径，即⊙C的半径为2.4， ∵⊙A与⊙C相交， ∴r﹣2.4＜4＜2.4+r， 解得：1.6＜r＜6.4， 故答案为：1.6＜r＜6.4． 【点评】本题考查了相交两圆的性质，切线的性质，解答本题的关键要明确相交圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，若两圆半径为R、r，圆心距为d，两圆相交，则R﹣r＜d＜R+r（R＞r）． 45．如图，在▱ABCD中，AB＝7，BC＝8，．点P在边AB上，AP＝2，以点P为圆心，AP为半径作⊙P．点Q在边BC上，以点Q为圆心，CQ为半径作⊙Q．如果⊙P和⊙Q外切，那么CQ的长为 　　 ． 【分析】过P作BC垂线交BC于M，根据三角函数的定义求出PM和BM，从而求出CM，然后设CQ＝x，用x表示出PQ和MQ，用勾股定理求出x即可． 【解答】解：过P作PM⊥BC于M，连接PQ，如图： ∵AP＝2， ∴BP＝AB﹣AP＝5， ∵sinB＝，PM⊥BC， ∴PM＝4，BM＝3， ∴CM＝BC﹣BM＝5， 设CQ＝x， ∵⊙P和⊙Q外切， ∴PQ＝2+x，MQ＝|5﹣x|， 在Rt△PMQ中，PQ2＝PM2+MQ2， 即：（2+x）2＝（5﹣x）2+16， 解得：x＝ 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆与圆之间的位置关系，根据三角函数的定义以及勾股定理来求解是本题解题的关键． 46．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E在边AD上，AE＝3，以点E为圆心、AE为半径作⊙E（如图），点F在边BC上，以点F为圆心、CF为半径作⊙F．如果⊙F与⊙E外切，那么CF的长是 　　 ． 【分析】连接EF，作FH⊥AD于，设⊙F的半径是r，得到EF＝r+3，FH＝DC＝5，EH＝5﹣r，由勾股定理得到（r+3）2＝（5﹣r）2+52，求出r，即可解决问题． 【解答】解：连接EF，作FH⊥AD于H， 设⊙F的半径是r， ∵两圆外切， ∴EF＝r+3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠C＝90°， ∵∠DHF＝90°， ∴四边形DHFC是矩形， ∴FH＝DC＝5，DH＝r， ∴EH＝5﹣r， ∵EF2＝EH2+FH2， ∴（r+3）2＝（5﹣r）2+52， ∴r＝， ∴FC的长是． 故答案为：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，关键是通过作辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理列出关于⊙F半径r的方程． 47．如图，已知AB是⊙O1 与⊙O2 的公共弦，O1O2 与AB交于点C，O1O2 的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1 于点D． （1）联结 O1A、O2A，如果 AB＝AD＝AP．求证：O1A⊥O2A； （2）如果 PO1＝3PO2，求证：PA＝AD． 【分析】（1）连接O1B，O2B，BD，BP，由直角三角形的判定可知△DPB为直角三角形，然后根据圆周角定理求出∠AO1O2+∠AO2O1的度数即可证明； （2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可． 【解答】证明：（1）连接O1B，O2B，BD，BP，如图： ∵AD＝AB＝AP， ∴△DBP为直角三角形，∠D+∠APB＝90°， 由圆周角定理可知，∠AO1B＝2∠D，∠AO2B＝2∠APB， ∵AB是⊙O1 与⊙O2 的公共弦， ∴O1O2垂直平分AB， ∴∠AO1C＝∠AO1B，∠AO2C＝∠AO2B， ∴∠AO1C+∠AO2C＝∠D+∠APB＝90°， ∴AO1⊥AO2； （2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，如图： ∴O1E∥O2F， ∴＝＝， ∴PE＝3PF， 由垂径定理可知，AE＝DE，PF＝AF， ∴AE＝PE﹣PA＝3PF﹣2PF＝PF， ∴AD＝2AE＝2PF＝AP． 【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键． 48．如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，联结AB、O1O2、AO2，已知AB＝48，O1O2＝50，AO2＝30． （1）求⊙O1的半径长； （2）试判断以O1O2为直径的⊙P是否经过点B，并说明理由． 【分析】（1）连接AO1，由勾股定理求出CO2，再求出CO1，再由勾股定理求出AO1即可； （2）由勾股定理逆定理判断∠O1BO2是否为直角即可． 【解答】解：（1）连接AO1，AB和O1O2交于点C，如图： ∵AB是⊙O1和⊙O2的公共弦， ∴AB⊥O1O2，AC＝BC＝24， ∴CO2＝＝18， ∴CO1＝O1O2﹣CO2＝32， ∴AO1＝＝40． （2）经过． 证明：∵BO1＝AO1＝40，BO2＝AO2＝30，O1O2＝50， ∴+＝O1， ∴∠O1BO2＝90°， ∴B在以O1O2为直径的圆上． 【点评】本题主要考查了相交圆的性质，合理运用勾股定理及其逆定理是本题解题的关键． 49．已知：如图，⊙O与⊙P相切于点A，如果过点A的直线BC交⊙O于点B，交⊙P于点C，OD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E． 求：（1）求的值； （2）如果⊙O和⊙P的半径比为3：5，求的值． 【分析】（1）根据垂径定理得出AD＝AB，AE＝AC，即可求出答案； （2）根据等腰三角形的性质和对顶角相等得出∠OBA＝∠PCA，求出△OOA∽△CPA，根据相似三角形的性质得出即可． 【解答】解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC，OD过O，PE过P， ∴AD＝AB，AE＝AC， ∴； （2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP， ∵OB＝OA，PA＝PC， ∴∠OBA＝∠OAB＝∠PAC＝∠PCA， 即∠OBA＝∠PCA，∠BAO＝∠PAC， ∴△OOA∽△CPA， ∴＝， ∵⊙O和⊙P的半径比为3：5，即＝， ∴＝． 【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，相切两圆的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 50．如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为　2　 厘米． 【分析】根据题意画出图形，先求出∠AOB的度数，再根据三角函数求出OA的长即可． 【解答】解：如图所示， ∵图中是正六边形， ∴∠AOB＝＝60°． ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形． ∵OD⊥AB，OD＝， ∴OA＝＝2； 故答案为：2． 【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 51．如图，由六块相同的含30°的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为2，那么小正六边形的边心距是　　 ． 【分析】根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可． 【解答】解：如图，由题意得，在Rt△AMN中，AM＝2，∠ANM＝30°， ∴AN＝2AM＝4，又∵BN＝AM＝2， ∴AB＝4﹣2＝2， 即正六边形ABCDEF的边长为2， 设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OA，过点O作OG⊥AB 于点G， 则AG＝BG＝AB＝1，∠AOG＝×＝30°， 在Rt△AOG 中，AG＝1，∠AOG＝30°， ∴OG＝AG＝， 即正六边形ABCDEF的边心距为． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形的边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键． 52．如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是　8　 ． 【分析】根据正多边形的边数＝周角÷中心角，计算即可得解． 【解答】解：这个多边形的边数是360÷45°＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键． 53．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　2﹣1＜r≤4　 ． 【分析】延长FA、CB交于点R，连接AC，由正六边形的性质得AF＝AB＝BC＝2，∠BAF＝∠ABC＝120°，所以∠BAC＝∠BCA＝30°，因为∠RAB＝∠RBA＝60°，所以∠R＝60°，∠RAC＝90°，则△ABR是等边三角形，所以AR＝BR＝AB＝2，求得CR＝4，AC＝2，当⊙C与⊙A相切，且⊙A在⊙O的外部，由⊙A的半径为1，⊙C的半径为r，得r+1＝2，求得r＝2﹣1；当⊙C经过点F，此时r最大，连接CF，则CF为正六边形ABCDEF的外接圆的直径，所以r＝CF＝2AF＝4，因为⊙C与⊙A相交，所以2﹣1＜r≤4，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长FA、CB交于点R，连接AC， ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形， ∴AF＝AB＝BC＝2，∠BAF＝∠ABC＝×（6﹣2）×180°＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°， ∵∠RAB＝∠RBA＝180°﹣120°＝60°， ∴∠R＝60°，∠RAC＝∠RAB+∠BAC＝90°， ∴△ABR是等边三角形， ∴AR＝BR＝AB＝2， ∴CR＝BR+BC＝4， ∴AC＝＝＝2， 如图1，⊙C与⊙A相切，且⊙A在⊙O的外部， ∵G为AF的中点， ∴AG＝AF＝1， ∴⊙A的半径为1， ∵⊙C的半径为r， ∴r+1＝2， ∴r＝2﹣1， 如图2，⊙C经过点F，此时r最大， 连接CF，则CF为正六边形ABCDEF的外接圆的直径， ∴r＝CF＝2AF＝4， ∵⊙C与⊙A相交， ∴2﹣1＜r≤4， 故答案为：2﹣1＜r≤4． 【点评】此题重点考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理、圆与圆的位置关系等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 54．如图，正八边形的对角线AD、CG交于点M，那么的值为 　　 ． 【分析】设正八边形ABCDEFGH的中心为点O，连接OB、OA、OH，由∠GOH＝∠HOA＝∠AOB＝∠BOC＝45°，得∠GOH+∠HOA+∠AOB+∠BOC＝180°，所以点O在CG上，连接CA、OD，则OD＝OC＝OA，由∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，得∠AOC＝90°，所以∠OCA＝∠OAC＝45°，CA＝OA＝OD，可证明CA∥OD，则△ACM∽△DOM，所以＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，设正八边形ABCDEFGH的中心为点O，连接OB、OA、OH， ∵∠GOH＝∠HOA＝∠AOB＝∠BOC＝×360°＝45°， ∴∠GOH+∠HOA+∠AOB+∠BOC＝4×45°＝180°， ∴G、O、C三点在同一条直线上， ∴点O在CG上， 连接CA、OD，则OD＝OC＝OA， ∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°， ∴∠AOC＝2×45°＝90°， ∴∠OCA＝∠OAC＝45°，CA＝＝OA＝OD， ∴∠OCA＝∠COD， ∴CA∥OD， ∴△ACM∽△DOM， ∴＝＝＝， 故答案为：． 【点评】此题重点考查正多边形和圆、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 55．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为 　（3，﹣2）　 ． 【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论． 【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB． ∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形， ∴AB＝BC＝2，OQ＝3， ∴OA＝OB＝， ∴OC＝3， ∵DQ＝DB＝2OD， ∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2， ∴M（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）． 【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 56．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结AC，BD交于点F． （1）求证：AB＝AF． （2）若⊙O的半径为10，求正五边形ABCDE的面积（结果精确到0.1，参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）． 【分析】（1）证明∠AFB＝∠ABF＝72°，可得结论； （2）过点B作BH⊥OA于点H．解直角三角形求出OH，AB，可得结论． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OA，OD，OC，OB． ∵ABCDE是正五边形， ∴∠BOC＝72°，∠AOD＝144°， ∴∠BAC＝∠BOC＝36°，∠ABF＝∠AOD＝72°， ∴∠AFB＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AB＝AF； （2）解：过点B作BH⊥OA于点H．则BH＝OB•sin36°，OH＝OB•cos36°， ∴五边形ABCDE的面积＝5וAB•OH ＝5××2×OB2•sin30°•cos36° ＝5×102×0.59×0.81 ≈239.0． 【点评】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 57．如图，在矩形ABCD中，点P是边BC的中点，⊙O是△PAD的外接圆，⊙O交边AB与于点E． （1）求证：PA＝PD； （2）当AE是以点O为中心的正六边形的一边时，求证：． 【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根据线段中点的定义PB＝PC，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接OE，OA，根据正六边形的性质得到∠AOE＝，根据等边三角形的性质得到∠AEO＝60°，连接PO并延长交AD于H，连接OD，根据圆心角、弦、弧的关系即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD， ∵点P是边BC的中点， ∴PB＝PC， 在△ABP与△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（SAS）， ∴PA＝PD； （2）连接OE，OA， ∵AE是以点O为中心的正六边形的一边， ∴∠AOE＝， ∵OA＝OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴∠AEO＝60°， 连接PO并延长交AD于H，连接OD， ∵PA＝PD．OA＝OD， ∴PH⊥AD， ∴∠BAD＝∠PHD＝90°， ∴AB∥PH， ∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°， ∴． 【点评】本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 58．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法： （1）如图，作直径AD； （2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点； （3）连接AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形． 请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由． 【分析】利用锐角三角函数关系得出∠BOE＝60°，进而得出∠COE＝∠BOE＝60°，再利用圆心角定理得出答案． 【解答】解：两位同学的方法正确． 连BO、CO， ∵BC垂直平分OD， ∴直角△OEB中．cos∠BOE＝＝， ∠BOE＝60°，由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°， 由于AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°， ∴AB＝BC＝CA， 即△ABC为等边三角形． 【点评】此题主要考查了垂径定理以及圆心角定理和等边三角形的判定等知识，得出∠AOB＝∠AOC＝120°是解题关键． 59．边长为a的正十边形的半径是（　　） A． B． C． D． 【分析】设AB是圆内接正十边形的边长，连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：设AB是圆内接正十边形的边长， 连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C， 则∠AOB＝＝36°， ∴AC＝BC＝AB＝a，∠OAB＝∠OBA＝72°， ∴＝cos∠OAC＝cos72°， ∴OA＝＝． 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键． 60．以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，那么n的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 【分析】设AC是⊙O的直径，△AEF、四边形ABCD是⊙O的内接正三角形、正四边形，AC交EF于点H，可证明AC⊥EF，设OH＝m，则OE＝2OH＝2m，连接OD，作OI⊥AD于点I，求得AD＝2m，则OI＝AD＝m，设正n边形的边心距为x，则 x＝＝m，设⊙O的内接正六边形为正六边形APECFQ，连接OF，作OL⊥CF于点L，可求得OL＝m，可知以⊙O的内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形，所以n＝6，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，AC是⊙O的直径，△AEF、四边形ABCD是⊙O的内接正三角形、正四边形，AC交EF于点H， ∵AE＝AF， ∴＝， ∴AC⊥EF， ∴OH是正三角形AEF的边心距，∠OHE＝90°， ∵OE＝OF，∠EOF＝×360°＝120°， ∴∠OEF＝∠OFE＝×（180°﹣120°）＝30°， 设OH＝m，则OE＝2OH＝2m， 连接OD，作OI⊥AD于点I， ∵OD＝OA＝OE＝2m，∠AOD＝×360°＝90°， ∴AD＝＝OA＝2m， ∴OI＝AI＝BI＝AD＝m， 设正n边形的边心距为x， ∵以⊙O的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形， ∴x＝＝m， 设⊙O的内接正六边形为正六边形APECFQ，连接OF，作OL⊥CF于点L，则∠OLF＝90°， ∵OC＝OF＝2m，∠COF＝×360°＝60°， ∴△COF是等边三角形， ∴CF＝OF＝2m， ∴FL＝CL＝CF＝m， ∴OL＝＝＝m， ∴以⊙O的内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形， ∴n＝6， 故选：C． 【点评】此题重点考查正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、正六边形的性质、勾股定理等知识，设圆的内角正三角形的边心距为m，推导出该圆的内接正n边形的边心距为m是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $