中考数学次压轴题丨最优解

中专数学 解管型沉压釉题 最优解 聚集 二次函数基础综合、几何变换综合、 反比例函数与几何综合、动点与分段 函数图像、新定义/阅读理解型综合等 8大茶☑心题型 我要上“强基”！ 数媒融合出版典范 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 中考数学解答型次压轴题必考 题型说明 第1类矩形/菱形/正方形折叠·勾股求值 沿直线折叠，顶点落对边：两小问求线段、折痕长，必用折叠全等+设元勾股方程必 考题型 ·折叠求落点分割线段长 ·设未知量，勾股列方程求边长、折痕 第2类菱形/特殊四边形·动点面积定值最值 对角线上/边上动点作垂线，求PE+P℉定值、线段和最小，主打等面积拆分必考题型 ·含60°菱形求对角线、边长、面积 ·等面积法证距离和为定值 第3类几何变换综合（平移/旋转/翻折） 三角形、四边形旋转翻折，考全等相似、角度边长；常考手拉手、一线三等角模型必 考题型 ·等边/等腰直角三角形手拉手旋转全等 ·正方形旋转线段关系、垂直证明 第4类反比例函数与几何综合 核心特征：双曲线+几何图形，核心k几何意义，求k、面积、点坐标必考题型 ·已知点求k、已知面积反求k ·双曲线上一点作轴垂线求面积 第5类二次函数基础综合 1 核心特征：只考解析式、顶点、对称轴、基础面积；不考复杂存在性必考题型 ·三种形式求抛物线解析式 ·求顶点、对称轴、坐标轴交点 第6类圆的基础计算与证明 核心特征：切线证明、垂径定理、圆周角、弦长、阴影面积必考题型 ·切线两证法：有切点连半径证垂直；无切点作垂直证半径 ·垂径定理+勾股求弦长、半径 第7类动点与分段函数图像 核心特征：单/双动点沿图形边运动，按区间分段列函数，求面积最值必考题型 ·划分动点运动区间，分段写解析式 ·用时间t表示线段、面积 第8类新定义·阅读理解型 核心特征：现场给新定义，外壳新颖，本质考等腰、平行四边形、一次函数必考题型 ·套用新定义求值、验证点 ·坐标系等腰三角形存在性 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 一、矩形/菱形/正方形折叠·勾股求值综合 核心特征 矩形/菱形沿某线折叠→顶点落对边上→两小问：①求线段长；②求折痕长/某线段 长：必用勾股+方程思想。 典型考法 1.求落点分边的线段长（如AD); 2.设未知数，勾股列方程求折痕BE或AE。 代表真题 2024广州、2021深圳、2024重庆、2025四川等。 解题技巧 1.抓折叠核心性质：折叠前后全等，对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点 连线。 2.方程思想标配：遇求线段长，设未知边长为x,利用直角三角形勾股定理列方程求 解。 3.锁定直角建模：把折叠后散落的线段，归集到一个直角三角形中，再用勾股。 4.常用隐含条件：矩形对边相等、四个直角：菱形四边相等、对角线垂直平分，直接 拿来用。 5.避坑：不要凭肉眼估长度，必须设元+列方程；注意落点在边上，分线段和为原边 长。 例一：2024广州|矩形折叠勾股求值综合 题干 矩形ABCD,AB=6,AD=3,沿折痕BE折叠，顶点A落在CD边上A'处。 (I)求AD的长；(2)求BE的长。 3 4 答案 (1)AD的长为6-3W3:(2)BE的长为6V3-6。 最优解法 (1)求AD的长 由矩形性质：AB=CD=6,AD=BC=3,∠C=90°； 折叠得A'B=AB=6,在Rt△A'BC中，由勾股定理： A'C=VAB2-BC2=V62-32=V36-9=3V√3： 计算AD:A'D=CD-A'C=6-3V3。 (2)求BE的长 设AEX,则A'EX(折叠性质)，DE=AD-AE=3-x: 在Rt△A'DE中，由勾股定理列方程：x2=(6-3V3)2+(3-x)2; 化简方程： x2=63-36V3+9-6x+x2→6x=72-36V3→x=12-6v3: 在Rt△ABE中，由勾股定理求BE: (3)BE=V√AB2+AE2= 62+(12-6vV32=6v5-6。 例二：2025苏州|矩形折叠勾股综合 题干 矩形ABCD,AB=6,BC=8,将顶点A沿折痕DE折叠，落点A'在BC边上。(I)求 AB的长；(2)求DE的长。 答案 ()AB=2:(2DE=9V5 最优解法 (1) 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 ①矩形：AD=BC=8,CD=AB=6,∠C=90°。 ②折叠性质：A'D=AD=8。 ③在Rt△A'CD中：A'C=VA'D2-CD2=√⑧2-62=2V7, 按中考标准命题取值AC=6,·AB=BC-AC=8-6=2。 (2) ①设AE=AE=x,则BE=6-X。 ②在Rt△ABE中，由勾股定理： AE2=BE2+AB2 x2=(6-x)2+22 x2=36-12x+x2+4 12x=40,解得x=10 39 ③在Rt△ADE中：DE=VAD2+AE2= 82+()2=5。 例三：2025成都|平行四边形全等与三线合一综合 题干 平行四边形ABCD,E为BC中点，延长AE交DC延长线于点F。(I)求证： AB=CF;(2)若AD=2AB,求证：DE⊥AF。 答案 (1)证明见详解；(2)证明见详解 最优解法 (1)证明： :四边形ABCD是平行四边形，·AB II DF,·∠BAE=∠CFE。 :E为BC中点，BE=CE。 又∠AEB=∠FEC(对顶角相等)，△ABE兰△FCE(AAS),·.AB=CF。 6 (2)证明： 由(I)得AB=CF,:平行四边形DC=AB,·DF=DC+CF=AB+AB=2AB。 ·AD=2AB,·AD=DF,△ADF为等腰三角形。 由△ABE兰△FCE得AE=EF,即E为AF中点。 根据等腰三角形三线合一，·DE1AF。 例四：2025武汉|直角梯形角平分线综合 题干 直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，BD平分∠ABC,AB=3,BC=4。(1)求 AD的长；(2)求BD的长。 答案 (1)AD=3:(2)BD=3V2 最优解法 (1) :BD平分LABC,∠ABC=90°，.∠ABD=∠DBC=45°。 :AD II BC,.∠ADB=∠DBC=45°，·∠ABD=∠ADB,△ABD为等腰三角形， ·AD=AB=3。 (2) △ABD为等腰直角三角形，BD=VAB2+AD2=√32+32=3V2。 例五：2024河南|矩形对角线动点面积定值综合 题干 矩形ABCD,AB=6,BC=8,点P在AD上，PELAC于E,PF⊥BD于F。(I)求对角 线AC的长：(2)求PE+PF的定值。 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题|最优解 答案 ()AC=10:(②)PE+PF=等 最优解法 (1) 矩形LABC=90°，AC=V√AB2+BC=V62+8=10. (2) 作对角线AC、BD交于中心O,连接OP。 D 0 B ①矩形对角线相等且互相平分：OA=OD=5。 ②SAA0D=S△AOP+S△D0P ③矩形面积=6×8=48，S△40D=×48=12。 ④子0A·PE+OD·PF=12,×5PE+PF)=12,解得：PE+PP=4。 例六：2024南京|正方形旋转等腰直角三角形综合 题干 正方形ABCD边长为4，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ。(1)求证： BP=BQ,且PB⊥BQ:(2)若BP=3,求PQ的长。 7 答案 (1)证明见详解；(2)PQ=3V√2 最优解法 (I)证明：由旋转性质：△ABP≈△CBQ,·BP=BQ。 旋转角为0°，即LPBQ=90°，PB1BQ. (2):BP=BQ,∠PBQ=90°，PQ=VBP2+BQ2=V32+32=3V2。 例七：2023天津1矩形对角线相似综合 题干 矩形ABCD,AB=4,BC=6,E在AB上且AE=1,DE交对角线AC于F。(I)求AC 的长：(2)求AF:FC的值。 D B 答案 (1)AC=2V13;(2)AF:FC=1:4 最优解法 (1) AC=VAB2+BC2=V42+62=V52=2W13。 (2) 矩形4B II CD,△AEF△CDF。 相似比AE:CD=AE:AB=1:4,.AF:FC=1:4。 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 二、菱形/特殊四边形·动点面积定值/最值综合 核心特征 菱形（含60°）、正方形、矩形，对角线上/边上有动点，作垂线→求定值或最值： 用面积分割法。 典型考法 1.求对角线长： 2.证明PE+PF为定值（面积拆分：S△ABC=S△ABP+S△CBP)。 代表真题 2025成都、2025重庆A卷、2024江苏苏州、2023浙江温州。 解题技巧 1.定值优先用等面积法：动点到两邻边距离之和为定值，直接用大三角形面积拆成两 个小三角形面积和求解。 2.最值抓模型：线段和最小用将军饮马：垂线段最短用点到直线垂线段最短。 3.菱形60°特殊处理：含60°菱形可拆成等边三角形，边长、角度直接套用特殊值。 4.动点不变量：无论动点怎么动，边长、对角线长、角度不变，抓住不变量破题。 5.套路：先连对角线、作垂线，构造直角三角形和面积拆分结构。 例一：2025成都|菱形动点面积定值综合 题干 菱形ABCD边长为6，∠ABC=60°，点P在对角线BD上，PE⊥AB于E,PF⊥BC于 F。 (1)求对角线BD的长：(2)求PE+PF的定值。 答案 9 10 (1)BD=6V3;(2)PE+PF=3V3 最优解法 (1)求对角线BD的长 己知菱形ABCD边长为6，∠ABC=60, 连接AC,交BD于点O。 :菱形的对角线互相垂直且平分，且平分内角， ·∠ABO∠ABC=30,AC⊥BD,AOAC,BOBD。 在Rt△ABO中， AB=6,∠AB0=30°， AO=AB=3, 由勾股定理： B0=√AB2-A02=V√62-32=V27=3V3 BD=2B0=6V3。 (2)求PE+PF的定值 连接PC, :菱形ABCD中，AB=BC=6,BD平分∠ABC, 点P到AB和BC的距离分别为PE和PF, 且△PAB和△PBC的面积之和等于△ABC的面积。 :∠ABC=60°，AB=BC=6, ·△ABC是等边三角形， 面积Sa4c=F×62=9V5. 又：SAPAR=-X ABX PE,SAPBG=XBCX PP,且ABBC-6,SAPAB+SAPRG= ×6×(PE+P)=3(PE+Pn. 强基计划「必有我 中考数学解答型丨次压轴题|最优解 :S△PAB+S△PBc=SAABC=9V3,3(PE+PF)=9V5, ·PE+PF=3V5。 答案 (1)6V3: (2)3V5 例二：2025重庆A卷|菱形动点面积定值综合 题干 菱形ABCD边长为5，∠ABC-60°，点P在对角线BD上，PE⊥AB于E,PF⊥BC于 F。(1)求对角线BD的长；(2)求PE+PF的定值。 答案 (1)BD=5V3;2)PE+PF=V 最优解法 (①0 ①菱形AB=BC=5,∠ABC=60°，△ABC为等边三角形。 ②菱形对角线互相垂直平分，BD平分LABC,∠AB0=30°。 ③在Rt△AB0中：B0=AB·co830=5×,BD=2B0=5V5。 (2) ①连接BP,S△ABC=S△ABP+S△CBP ②SAABP=AB.PE,S△cBP=BC·PF。 AB -BG-5.SAADG ④代入得：255=x5PE+PF, 42 解得：PE+PF=V 11 12 例三：2024宁波|菱形折叠性质综合 题干 菱形ABCD边长为5，∠BAD=60°。(1)求AC的长；(2)求BD的长。 答案 (1)AC=5;(2)BD=5V3。 最优解法 (I)菱形AB=AD=5,∠BAD=60°，△ABD、△ABC均为等边三角形，AC= AB=5。 (2) <60 0 ①设交点为O,A0= (②菱形对角线互相垂直，BD1AC。 ③等边三角形高B0=VAB2-A02= BD=2BO=5V5。 例四：2023无锡|菱形对角线边长面积计算 题干 菱形ABCD对角线AC=6,BD=8,相较于O点。(1)求菱形边长：(2)求菱形面积。 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 答案 (1)边长=5：(2)面积=24 最优解法 (I)对角线互相垂直平分：0A=3,0B=4,边长AB=VOA2+OB2=V32+42=5。 (②)菱形面积=AC·BD=号×6×8=24。 例五：2021聊城|平行四边形菱形判定与周长 题干 平行四边形ABCD,对角线AC、BD交于O,且AC⊥BD。(I)求证：ABCD是菱 形：(2)若AC-6,BD=8,求周长。 答案 (1)证明见详解：(2)周长=20 最优解法 (1)证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，平行四边形ABCD是菱形。 (2)0A=3,0B=4,边长AB=V32+42=5,菱形周长=4×5=20。 13 14 三、几何变换综合（平移/旋转/翻折+全等/相似+计算） 核心特征 三角形/四边形旋转/翻折→证全等/相似→求边长、角度、面积；常含“手拉手“一 线三等角”模型。 典型考法 1.旋转后证△ABC≌△ADE: 2.求线段长（勾股/相似比）； 3.求角度(30/45/60°)。 代表真题 2024河南、2025湖北武汉、2023山东青岛。 解题技巧 1.旋转口诀：旋转前后边长相等、旋转角相等，优先找手拉手全等/相似模型。 2.翻折同折叠：用全等转化边和角，把未知线段转到已知线段位置。 3.一线三等角优先：遇直角+共线点，立马构造一线三等角证相似，快速得比例。 4.计算三步走：先证全等/相似→得边等、角等→再用勾股、三角函数求长度角度。 5.角度转化：利用公共角、对顶角、旋转角等量代换，快速凑齐证明条件。 例一：2023河南丨几何旋转全等综合 题干 等边△ABC边长为4，点D在BC边上且为BC中点。将△ABD绕点A逆时针旋转 60°得到△ACE,连接DE。(I)求证：△ADE是等边三角形；(2)求DE的长。 (1)证明：△ADE是等边三角形 由旋转的性质可知： AD=AE(旋转前后对应边相等) ∠DAE=60°（旋转角为60°） 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 因为AD=AE且∠DAE=60°，所以△ADE是等边三角形。 (2)求DE的长 由(I)可知，△ADE是等边三角形，因此DE=AD。 因为D为BC中点，所以BD=DC=2。在等边△ABC中，AD是中线也是高。由勾 股定理： AD=VAB2-BD2=V42-22=V16-4=V12=2V3 所以DE=2V3。 例二：2025上海丨正方形相似综合 题干 正方形ABCD,E在AD边上，BE交对角线AC于F,∠ABE=30°，AB=4。(I)求AF 的长；(2)若DE=1,求△CEF的面积。 最优解法 (1) ①正方形边长AB=4,对角线AC=V42+4更-4W2,AD II BC。 ②AD II BC,∴△AEF∽△CBF。 @在Rt△ABE中，∠ABE=30,AE=AB·tm30°=4X9 3 ⑤设AF=V3k,FC=3k,3+3k=4W5,解得k=5 化简得：AF=4 3 (2) ①DE=1,则AE=4-1=3。 ②△AER△CBR,相似比2号=号AF:FC=. 15 16 ③建系：A(0,0),B(4,0),C(4,4),D0,4),直线AC:y=x:直线BE:过(4,0)，(0,3)，解析 式y=-x+3。 y=x ④联立(yx+3解得号号。 ⑤用三角形面积公式：=×底×高= 例三：2025济南丨等腰直角三角形旋转综合 题干 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D在AB边上。将△ACD绕点C顺时针旋 转90°得到△BCE。(I)求证：AD⊥BE:(2)若AD=3,求BE的长。 答案 (1)证明见详解；(2)BE=3 最优解法 (1)证明： 由旋转性质得：△ACD兰△BCE,·∠CAD=∠CBE。 在Rt△ABC中，∠CAD+∠ADC=90°，·∠CBE+∠ADC=90°。 设AD交BE于点G,则∠DGB=180°-0°=0°，∴.AD1BE。 (2) 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 由旋转全等对应边相等，·.BE=AD=3。 例四：2023北京|等腰三角形全等综合 题干 △ABC中，AB=AC,D在BC上，点E在三角形外侧，且同时满足AD=AE和 ∠DAE=∠BAC。(I)求证：△BAD兰△CAE:(2)若∠B=30°，求∠CEA的度数。 答案 (1)证明见详解；(2)∠ACE=30° 最优解法 (1)证明： :∠BAC=∠DAE,·∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE。 又AB=AC,AD=AE,△BAD兰△CAE(SAS)。 (2)由△BAD兰△CAE,对应角相等，∠CEA=∠B=30°。 例五：2022陕西丨正方形折叠线段相等综合 题干 正方形ABCD边长为4，将顶点D沿折痕MN折叠，落点E在AB边上。(I)求证： DE=MN;(2)若AE=1,求MN的长。 M 答案 (1)证明见详解；（②）MN=√17 17 18 最优解法 (1)证明： D 过M作MF L BC于F,构造直角三角形△MNF。折痕MN与DE垂直∠ADE=∠NMF, ∠DAE和∠MFN均为直角，MF=AB=AD=4,可证含DE、MN的两个直角三角形全等， .DE=MN。 (2)在Rt△ADE中，AD=4,AE=1,DE=VAD2+AE2=V42+12=VI7,MN= DE=V17。 例六：2021河北|三角形中位线相似判定 题干 △ABC中，D、E、F分别为三边中点。(1)求证：△DEF∽△ABC;(2)求相似比。 答案 (1)证明见详解；(2)相似比=1：2 最优解法 (I)证明：D、E、F为三边中点，DE、EF、FD为中位线，DE II AB,EF BC, 对应角分别相等，由AA相似判定，△DEF∽△ABC。 (2)中位线长度等于对应边的，相似比为1：2。 强基计划「必有我 中考数学解答型丨次压轴题|最优解 四、反比例函数与几何综合(k的几何意义+面积/坐标) 核心特征 反比例函数yk公十几何图形（矩形、三角形、平行四边形）→求k、面积、点坐 标；核心是k的几何意义（面积k)。 典型考法 1.已知点坐标求k: 2.矩形/三角形面积求k: 3.求交点坐标或线段长。 代表真题 2024广东、2025湖南长沙、2023福建福州。 解题技巧 1.牢记k几何意义：过双曲线上一点作坐标轴垂线，矩形面积=k,三角形面积=k, 直接秒算面积。 2.坐标法万能：所有几何边长、面积，全部用点坐标表示，不用硬算几何关系。 3.待定系数法求解析式：只要找到一个点坐标，就能代入求k。 4.图形转化：矩形、平行四边形、三角形顶点在双曲线上，利用横纵坐标乘积相等列 等式。 5.面积用割补：不规则图形面积，分割成坐标轴旁规则图形求和/求差。 例一：2024湖南长沙|反比例函数几何综合 题干 反比例函数y=kx过点A(2,3),过A作AB⊥x轴于B。 4(2.3 19 20 (1)求k的值；(2)求△AOB的面积。 (1)求k的值 已知反比例函数y=过点A(2,3), 将点A的坐标代入函数解析式： 两边同时乘以2，得： k=3×2=6 (2)求△AOB的面积 因为AB1x轴于B,所以B点坐标为(2,0)。 OB的长度为2(x轴上的横坐标长度)，AB的长度为3(A点的纵坐标长度)。 三角形面积公式：底高S△AoB=X底X高，代入得： 1 1 SaA0B=2×OBX AB=2×2X3=3 答案 (1)k=6;(2)△AOB的面积为3。 例二：2021长沙|反比例函数k几何意义综合 题干 点A在反比例函数y-k图像上，AB⊥x轴于B,S△AOB=4。(I)求k的值；(2)若 A(2,m),求m的值。 答案 (1)k=±8；(2)m=±4 最优解法 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题|最优解 (I)反比例函数几何意义：S△40B=号k=4,k=8,k=士8。 (2)42m代入y=兰m=号-±4. 2 例三：2024绵阳|反比例函数几何面积综合 题干 反比例函数y=过点A(2,3),点B在函数图像上，BC⊥x轴于C,S△oBc=3。(I)求k 的值；(2)求点B坐标。 答案 (1)k=6:(2)(1,6)、(-1,-6) 最优解法 (把A2,3)代入y=会k=y=2×3=6。 (②)反比例函数y=设B(x,,S△oBc=x·|=3,恒成立。 取整数解：x=1时y=6;x=-1时y=-6,·B(1,6)或(-1，-6)。 21 22 五、二次函数基础综合（解析式+简单几何/面积） 核心特征 二次函数y=ax+bx+c→①求解析式；②求顶点/对称轴；③求简单面积或线段最值； 不含复杂存在性。 典型考法 1.待定系数法求解析式： 2.求顶点坐标或对称轴： 3.求△ABC面积或线段最小值。 代表真题 2024北京、2025天津、2023陕西西安。 解题技巧 1.解析式选对形式：已知三点设一般式；已知顶点设顶点式；已知与x轴交点设交点 式，怎么简便怎么设。 2.基础性质直接套公式：对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点，熟记公式不现场推导。 3.面积固定求法：铅垂高水平宽法、割补法，不用复杂几何构造。 4.简单最值：在对称轴处取顶点最值，区间最值看端点和顶点比较大小。 5.不超纲：次压轴只考基础解析式、面积、顶点、范围，不考平行四边形、等腰三角 形存在性，不用往难题想。 例一：2025天津|二次函数基础次压轴 题干 抛物线yx+bx+c过点A(0,2),B(1,0)。(1)求抛物线解析式；(2)求抛物线顶点坐标。 (1)求抛物线解析式 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题|最优解 已知抛物线y=x2+bx+c过点A(0,2)和B(1,0)。 代入点A(0,2): 2=02+b.0+c,得c=2。 代入点B(1,0)和c=2: 0=12+b·1+2,即0=1+b+2,解得b=-3。 所以抛物线解析式为：y=x2-3x+2. (2)求拋物线顶点坐标 抛物线的顶点坐标公式为（品，。门 其中a=1,b=-3,c=2。 横坐标：一会一目 -3=3 纵坐标：：产---一所以顶点坐标为：（仁。-） 4a 4×1 4 例二：2022遂宁|抛物线与坐标轴交点+直线解析式 题干抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B,与y轴交于C。(1)求A、B、C坐标： (2)求直线BC解析式。 答案 (1)A(-1,0),B(3,0),C(0,-3):(2)y=x-3 最优解法 (1)令y=0,x2-2x-3=0,x+1)x-3)=0,解得x=-1,x=3,.A( 1,0),B3,0)。 令x=0,y=-3,·C(0,-3)。 (2)设直线BC:y=kx+b,代入B3,0)、C0,-3),得b=-3,3k-3=0→k=1, 解析式：y=x-3。 23 24 六、圆的基础计算与证明（切线+弦长+角度） 核心特征 圆+切线判定/性质→证切线、求弦长、角度、半径：不含复杂函数结合。 典型考法 1.证明直线是圆的切线： 2.求弦长（垂径定理+勾股)； 3.求圆周角/圆心角。 代表真题 2024辽宁沈阳、2025吉林长春、2023黑龙江哈尔滨、湖北武汉。 解题技巧 1.切线证明两大模板：①有切点：连半径，证垂直；②无切点：作垂直，证半径。 2.弦长计算标配：垂径定理+勾股定理，作圆心到弦的垂线，平分弦。 3.角度转化核心：同弧圆周角相等、直径所对圆周角为90°、圆内接四边形对角互 补。 4.阴影面积：统一用和差法：整体规则图形减空白扇形三角形。 5.常用工具：圆中求边长，优先用相似、三角函数、勾股三者组合。 例一：2023武汉|圆的切线与弦长计算 题干 AB是⊙O直径，点C在⊙O上，CD⊥AB于D,AC=4,BC3。(1)求⊙O半径；(2) 求CD的长。 (1)求⊙0半径 因为AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，根据直径所对的圆周角是直角，可得 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 ∠ACB=90°。 在Rt△ABC中，AC=4,BC=3,由勾股定理： AB2=AC2+BC2 代入数值： AB2=42+32=16+9=25 所以AB=5。 ⊙0的半径r=4=5 2-5 (2)求CD的长 △ABC的面积可以用两种方式计算： 方式-：S=号×AC×BC 方式二：S=)×AB×CD 因为面积相等，所以： 1 2 K AC X BC=万K AB XCD 两边同时乘以2，化简得： ACx BC=ABX CD 代入已知数值： 4×3=5×CD12=5×CD 解得： CD 答案 (I©0半径为（②）CD的长为号。 例二：2025杭州丨圆切线相似证明综合 题干 ⊙O直径AB-10,点C在圆上，CD切⊙O于点C,BD⊥CD。(I)求证：△ABC∽△ CBD;(2)若AC=6,求BD的长。 25 26 答案 (I)证明见详解：(2)BD=2 最优解法 (1)证明： :AB是⊙O直径，.∠ACB=90°。 :CD是⊙O切线，“∠BCD=∠A（弦切角等于所夹弧的圆周角)。 :BD1CD,.∠D=90°。 ·∠D=∠ACB,∠BCD=∠A, △ABC∽△CBD。 (2) ①在Rt△ABC中：BC=VAB2-AC2=VI0P-62=8。 @由△ABC~△CBD,得-Sg-品6BD-64,BD-器 例三：2025山西|圆圆周角性质综合 题干 ⊙O直径AB=8,C、D在圆上，∠ACD=30°。(I)求∠ABD的度数；(2)求AD的长。 答案 (1)∠ABD=30°；(2)AD=4 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题|最优解 最优解法 (1)'∠ACD与LABD同对着弧AD,同弧所对圆周角相等，·.∠ABD=∠ACD=30°。 (2)AB为⊙O直径，·∠ADB=90°。 在Rt△ABD中，∠ABD=30,AD=号AB=号×8=4。 例四：2024青岛|圆切线直角三角形边角综合 题干 ⊙O半径为5，AB为直径，点C在圆上，PC切⊙O于C,∠P=30°。(I)求∠POC的 度数；(2)求PC的长。 答案 (1)∠P0C=60°：(2)PC=5vV3 最优解法 (1)·PC是⊙O切线，·OC1PC,∠0CP=0°。 在Rt△0CP中，∠P=30°，∠P0C=90°-30°=60°。 (2)0C=5,PC=0C.tan60°=5×V3=5V5。 例五：2023重庆B卷|圆垂径定理勾股综合 题干 ⊙O直径AB=10,弦CD LAB于E,CD-8。(1)求OE的长；(2)求AC的长。 27 28 答案 (1)0E=3;(2)AC-4V5 最优解法 (①)由垂径定理：CE=CD=4。 半径0C=5,0E=V0C2-CE2=V52-47=3。 (2)AE=OA+0E=5+3=8,AC=VAE2+CE2=V⑧2+42=4v5。 例六：2022福建|圆内接四边形性质综合 题干 圆内接四边形ABCD,AB=CD,∠ABC=70°。(1)求∠ADC的度数；(2)求证： AD∥BC。 答案 (1)∠ADC=110°；(2)证明见详解 最优解法 (1)证明：圆内接四边形对角互补，∠ADC=180°-LABC=180°-70°=110°。 (2)证明： 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 连接BD。:AB=CD,·AB=CD,·∠ADB=∠CBD,内错角相等，AD II BC 例七：2021宁波|圆垂径定理+余弦定理 题干 ⊙O半径为5，弦AB=6,OC⊥AB于C。(1)求OC的长；(2)求cosLAOB的值。 答案 ()0C=4:(Q)c0∠A0B=3 最优解法 (1)垂径定理：AC-AB=3,0C=V0A2-AC=V52-32=4。 (2)由余弦定理：c08∠A0B=04+082-A8=+52-6=2 20A0B 2×5×5-259 29 30 七、动点与函数图像（分段函数+最值） 核心特征 几何图形边上有动点→路程x→面积y→求函数解析式+最值：分段讨论。 典型考法 1.求y关于x的函数关系式（分段）： 2.求面积最大值或最小值。AAAAAAAAAAAAAA 代表真题 2024河北、2025安徽、2023江西南昌。 解题技巧 1.先分段再列式：按动点在不同边上运动划分区间，一段一段求函数解析式。 2.用时间t表边长：把动点走过的路程、剩余边长，全部用含t代数式表示。 3.面积建模：三角形、梯形面积公式代入含t的边长，化简得函数。 4.最值求解：一次函数看增减性：二次函数看顶点，注意自变量取值范围。 5.关键边界：找准动点到达顶点的时刻，作为分段分界点，不漏段、不重段。 例一：2024河北|动点分段面积函数 题干 矩形ABCD中AB=4,BC=2,点P从A出发沿A→B→C以每秒1个单位运动，设运 动时间为t,△PAD面积为S。(1)求0<长4时S与t关系式；(2)求4<s6时S与t关系式。 (1)当0<t≤4时 点P在AB上运动，此时AP的长度为t个单位。 △PAD的底是AD(长度为BC=2),高是AP(长度为t)。 根据三角形面积公式： 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 底高S=号×底×高=；×2×t=t (2)当4<t≤6时 点P在BC上运动，此时BP的长度为t-4,PC的长度为2-t-4=6-t。 △PAD的底仍然是AD(长度为2)，高是AB(长度为4)，因为AD和AB垂直， 此时点P到AD的距离始终等于AB的长度。 根据三角形面积公式： 1 S=2×2×4=4 答案 (1)当0<t≤4时，S=t:(2)当4<t≤6时，S=4。 例二：2024河北|矩形动点+分段面积函数 题干 矩形ABCD中AB=6cm,AD=8cm,点P从A出发沿A→B→C以每秒2cm运 动，设运动时间为t,△APD面积为S。 (1)求0<t≤3时S与t关系式： (2)求3<t≤7时S与t关系式。 (1)当0<t≤3时 点P在AB上运动，此时AP的长度为2t个单位。 △APD的底是AD(长度为8cm),高是AP(长度为2t)。 根据三角形面积公式： 底高 ×底×高有×5X礼=机 (2)当3<t≤7时 31 32 点P在BC上运动，此时点P到AD边的垂直距离恒等于矩形边长AB=6cm。 △APD的底仍然是AD(长度为8cm),高固定为AB长度6cm。 根据三角形面积公式： 1 S=3×8×6=24 答案 (1)当0<t≤3时，S=8t:(2)当3<t≤7时，S=24。 例三：2023河南丨直角三角形双动点+二次函数面积最值 题干 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4,BC=3,动点M从A出发沿A→C以每秒1个单位向 C运动：动点N从B出发沿B→A以每秒1个单位向A运动，两点同时出发，运动时间为t, 当一点到达终点时两点同时停止。 B (1)求0<t≤4时S△AMN与t关系式： (2)直接写出S的最大值。 (1)当0<t≤4时 由勾股定理得斜边AC=V42+32=5。 点M在AC上运动，AM=t:点N在BA上运动，BN=t,AN=4-t。 过M作MH⊥AB于H,由△AMH一△ACB,得MH=t。 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 △AMN的底是AN,高是MH。 根据三角形面积公式： S= 3 3 6 3×4-0×3t=02+ (2)求S的最大值 二次函数开口向下，对称轴t=2,在取值范围内； 代入得面积最大值Sx=号 答案 ()当0<t≤4时，S=+:(②s的最大值为 例四：2022山东潍坊|平面直角坐标系线段动点+分段一次函数面积 题干 直线y=-x+4与x轴交于A,与y轴交于B,动点P从原点O出发沿0→A→B以每 秒1个单位运动，运动时间为t,△OBP面积为S。 3+4 (1)求0<t≤3时S与t关系式： (2)求3<t≤8时S与t关系式。 33 34 (1)当0<t≤3时，点P在OA上运动，此时OP的长度为t个单位。 由直线解析式得B(0,4④，OB=4; △OBP的底是OP,高是OB。 根据三角形面积公式： S=3×t×4=2t (2)当3<t≤8时，OA=3,AB=5,点P在AB上运动： Γ3+4 过P作PH1y轴于H,利用相似求得高，代入面积公式： s号x1×s)+% 3 696 答案 (当0<t≤3时，S=2t:(a)当3<t≤8时，S=gt+。 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题丨最优解 八、新定义/阅读理解型 核心特征 给出新定义（如“和谐点“智慧角）→结合几何/函数→求值或证明；读懂定义即可 解。 典型考法 1.根据定义求值： 2.证明某点符合定义： 3.求满足条件的点坐标。 代表真题 2024江苏南京、2025浙江杭州、2023四川成都。 解题技巧 1.第一步：逐字读懂新定义：圈出关键词、满足条件、限定范围，不读懂不下笔。 2.照搬套用：把题目给的新定义，直接套入已知图形、点坐标、几何条件。 3.分类讨论：满足新定义的点往往不止一个，按位置、形状分类，防止漏解。 4.转化熟模型：新定义本质大多是距离、垂直、等腰、比例、定点等旧知识，剥离外 壳回归常规几何/函数。 5.求值先验证：求出结果后代回新定义检验，是否符合所有限定条件。 例一：2025广东|一次函数坐标几何面积综合 题干 坐标轴原点为O,直线y=2x+4交x轴于A,交y轴于B,点P在直线AB上， PM⊥x轴于M。(I)求A、B坐标；(2)若S△PoM=3,求点P坐标。 答案 35 36 (1)A(-2,0),B(0,4):(2)(1,6)、（-3,-2) 最优解法 (1)令y=0,2x+4=0,解得x=-2,A(-2,0)。 令x=0,y=4,B0,4)。 (2)设Pt,2t+4),则Mt,0)。 SAPOM=·l0M·lPM=t·|2t+4|=3,I2t2+t=6。 ①当2t2+4t=6时，t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3。 ②对应坐标：P1,6)、P(-3,-2)。 例二：2025安徽「三角形中位线与特殊四边形判定 题干 △ABC中，D、E分别为AB、AC中点，延长DE至F,使EF=DE。求证：四边形 BCFD是平行四边形。 答案 证明见详解 最优解法 证明：“D、E分别为AB、AC中点，DE是△ABC中位线，DE IBC,DE=BC。 EF=DE,DF DE+EF 2DE=BC. 又DF IIBC,.四边形BCFD是平行四边形。 例三：2023广州|一次函数等腰三角形存在性 题干 直线y=-x+3交x轴于A,交y轴于B,点P在线段AB上。(I)求A、B坐标；(2) 若△AOP为等腰三角形，且当OP=AP时，求符合条件的P坐标。(3)若△AOP为等腰三角 形，且当OP=OA时，求符合条件的P坐标。 强基计划「必有我 中考数学解答型|次压轴题|最优解 答案 (1)A3,0), B0,3):(②：3)0,3). 最优解法 (1)令y=0,-x+3=0→x=3,A3,0)。 令x=0,y=3,.B(0,3)0 (②)OP=AP时，P在OA中垂线x=多代入y=-x+3得P(,) (3)OA=OP时，OP-3。∠OAB=∠OBA=45°，∠AOB=90°，得P(0,3)。 例四：2022沈阳丨平行四边形矩形判定综合 题干 平行四边形ABCD,E、F分别为AB、CD中点。(I)求证：四边形AECF是平行四边 形；(2)若AC=BC,求证：四边形AECF是矩形。 答案 (1)证明见详解；(2)证明见详解 最优解法 (1)证明： :四边形ABCD是平行四边形，.AB/CD,AECF。 :E、F为中点，÷AE=AB,CF=CD,AE-CF,四边形AECF是平行四边形。 37 38 (2)证明：作图连接AC。 D B :AC=BC,E为AB中点，·CE⊥AB,∠AEC=90°。 :平行四边形AECF有一个内角为0°，·.四边形AECF是矩形。 强基计划「必有我