第六章 计数原理（举一反三单元自测·培优卷）高二数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用排列数公式展开化简，得，再结合即可. 【解答过程】则，得， 得，又因为，则. 故选：C. 2．（5分）（24-25高二下·河北邢台·月考）三个家庭分别从承德避暑山庄、北戴河、野山坡百里峡、白石山这四个景点中选择一个景点旅游，则不同的选择方法共有（   ） A．256种 B．24种 C．64种 D．81种 【答案】C 【解题思路】利用分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】由题意可知三个家庭中，每个家庭都有种选择方法， 由分步乘法计数原理得，共有种不同的选择方法． 故选：C. 3．（5分）（24-25高二下·北京朝阳·期中）的展开式中常数项为（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【解题思路】应用二项展开式的通项公式赋值，即可求出常数项. 【解答过程】二项式展开式通项为，， 由 ，则. 故选：B. 4．（5分）（24-25高二下·湖南·月考）某校文艺汇演上有一个合唱节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 【答案】D 【解题思路】根据相邻问题捆绑法进行求解即可. 【解答过程】因为男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻， 所以先将男生甲与女生乙、男生丙与女生丁分别看作一个整体， 与剩下3名学生进行排列有种排法， 又男生甲与女生乙之间有种排法，男生丙与女生丁之间有种排法， 因此根据乘法原理得所求种数为 ， 故选：D. 5．（5分）（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 【答案】B 【解题思路】根据二项式定理计算被7除余数后即可求解. 【解答过程】55 ， 而为7的倍数， 故被7除余数是6，所以天后是星期日. 故选：B. 6．（5分）（24-25高二下·海南海口·期中）若，则（    ） A．240 B．244 C．120 D．122 【答案】D 【解题思路】根据题意，分别令和，两式相减，求得，即可求解. 【解答过程】由， 令，可得， 令，可得， 两式相减，可得，所以. 故选：D. 7．（5分）（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【解题思路】对五个区域进行编号，依次分析、、、的布置方案种数，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【解答过程】如下图所示： 区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为. 故选：A. 8．（5分）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 【答案】B 【解题思路】根据题意分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，第二种分配方式再分，两人一组去一个社区，，两人加上另一个人三人去一个社区，进行求解，最后利用分类加法原理求解即可. 【解答过程】第一种分配方式这每个社区各两人，则，为一组，再从，，，中选两人为一组，剩下的两人为一组，所以有种分配方法， 第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人， 当，两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，所以有种分配方法， 当，两人加上另一个人三人去一个社区，则剩下的3人，1人为一组，2人为一组，所以有种分配方法， 所以由分类加法原理可知共有种不同的分配方法. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据排列数，组合数的计算公式逐项判断即可. 【解答过程】对A：因为．故A正确； 对B：根据组合数公式得， ， 所以．故B正确； 对C：， 而， 显然此时，．故C错误； 对D： ， 而，所以．故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）下列关于二项式展开式的结论，正确的有（    ） A．第5项与第6项的二项式系数相等 B．含的项的系数为18 C．共有5项无理式 D．系数最大的项是第6项 【答案】ABC 【解题思路】先写出二项式的通项公式，再逐一计算选项即可. 【解答过程】二项式的通项公式为， 第5项的二项式系数为，第6项的二项式系数为，，故A正确， 令，解得，含的项的系数为，故B正确， 二项式的展开式中，当不为整数时，即为无理项， 当时，为无理项，共有5项，故C正确. 设第项系数最大，系数为， 则，代入公式化简得，即， 故系数最大的项是第7项，故D错误. 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【解题思路】利用分步乘法计数原理判断A；利用分组分配列式计算判断B；求出概率判断C；视为一个整体，列式计算判断D. 【解答过程】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法的3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·山东济南·月考），则 ． 【答案】45 【解题思路】先变形得到，再利用二项展开式的通项即可求出答案． 【解答过程】由， 则二项展开式通项为，， 则令，解得， 所以． 故答案为：45． 13．（5分）（24-25高二下·贵州遵义·期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法． 【答案】14 【解题思路】根据分类加法原理以及分步乘法原理得出结果即可. 【解答过程】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种， 第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种， 根据分类计数原理可得，共有6+8=14种， 故从甲地到丁地共有14条不同的路线． 故答案为：14. 14．（5分）（24-25高二下·湖南永州·期末）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ． 【答案】540 【解题思路】分三个景点安排的人数之比为、、进行讨论即可求解. 【解答过程】若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法； 若三个景点安排的人数之比为，则有种安排方法， 故不同的安排方法种数是． 故答案为：540. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·广东中山·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)210 (2)1 (3)210 (4)120 【解题思路】（1）（3）根据排列数的计算公式求解即可； （2）（4）根据组合数的计算公式求解即可； 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4）. 16．（15分）（24-25高二下·山西临汾·月考）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）每个同学都有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （2）分析可知，丙、丁各有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果； （3）由题意可知，甲、乙报名的方法种数为，丙有种选择，丁有种选择，利用分步乘法计数原理可得结果. 【解答过程】（1）每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为； （2）甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为. （3）甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，而丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 17．（15分）（24-25高二下·河北邢台·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由，写出展开式的通项，即可得到展开式中不含的奇数次幂的项，从而得解； （2）令，可得，令求出，结合（1）即可得解. 【解答过程】（1）因为， 则展开式的通项为（且）， 所以展开式中不含的奇数次幂的项， 又， 所以， 所以； （2）因为， 令，得； 令，得； 又，则， 所以． 18．（17分）（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【解答过程】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 19．（17分）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答） (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法； (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法. 【答案】(1) (2)540 (3)230 【解题思路】（1）根据分步乘法原理直接求解即可. （2）分三种情况讨论，利用分组分配问题求解即可. （3）分4种情况，利用分组分配问题求解即可. 【解答过程】（1）因为每个人都有三种选择，所以一共有种； （2）因为三科均要有人报名，可分为以下三种情况： ①其中一科有4人，另外2科各1人，共有：种， ②其中一科1人，一科2人，一科3人，共有：种， ③三科均2人，共有：种， 所以一共有：90+360+90=540种. （3）因为甲乙两人都不报化学学科， 所以按照另外4个人报化学学科的人数可分为以下4种情况： ①有1人报化学：种， ②有2人报化学：种, ③有3人报化学：种， ④有4人报化学：种， 所以一共有：120+84+24+2=230种. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理（举一反三单元自测·培优卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·福建莆田·月考）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二下·河北邢台·月考）三个家庭分别从承德避暑山庄、北戴河、野山坡百里峡、白石山这四个景点中选择一个景点旅游，则不同的选择方法共有（   ） A．256种 B．24种 C．64种 D．81种 3．（5分）（24-25高二下·北京朝阳·期中）的展开式中常数项为（    ） A．10 B．15 C．20 D．30 4．（5分）（24-25高二下·湖南·月考）某校文艺汇演上有一个合唱节目，3名女同学和4名男同学需从左至右排成一排上台演唱，则男生甲与女生乙相邻，且男生丙与女生丁相邻的排法种数为（   ） A．194 B．240 C．388 D．480 5．（5分）（24-25高二下·河北承德·期中）如果今天是星期一，则天后是（    ） A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二 6．（5分）（24-25高二下·海南海口·期中）若，则（    ） A．240 B．244 C．120 D．122 7．（5分）（24-25高二下·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（5分）（24-25高二下·浙江绍兴·期中）某地区安排，，，，，六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且，两人安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（   ） A．132 B．114 C．90 D．72 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）下列关于二项式展开式的结论，正确的有（    ） A．第5项与第6项的二项式系数相等 B．含的项的系数为18 C．共有5项无理式 D．系数最大的项是第6项 11．（6分）（24-25高二下·贵州黔西南·期末）某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（   ） A．共有种安排方式 B．每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C．丙独自一人在一家公司的概率为 D．、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·山东济南·月考），则 ． 13．（5分）（24-25高二下·贵州遵义·期末）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有 种不同的走法． 14．（5分）（24-25高二下·湖南永州·期末）近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩．现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·广东中山·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4). 16．（15分）（24-25高二下·山西临汾·月考）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ (3)甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法？ 17．（15分）（24-25高二下·河北邢台·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值． 18．（17分）（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 19．（17分）（24-25高二下·江苏宿迁·期中）有6名同学报名参加数学、物理、化学三科兴趣小组，每人选择一个小组.（数字作答） (1)求一共有多少种不同的报名方法； (2)若三科均要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法； (3)若甲乙两人都不报化学学科，且每个学科都要有人报名，求一共有多少种不同的报名方法. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $