第六章 计数原理（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·广东江门·期末）下列说法正确的是（ ） A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C．一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60 2．（5分）（24-25高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 3．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 4．（5分）（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 5．（5分）（24-25高二下·湖北·月考）除以的余数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（5分）（24-25高二下·吉林长春·月考）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 7．（5分）（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·四川南充·期末）现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（   ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 D．现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·湖北·月考）下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二下·四川成都·期中）某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是 ． 13．（5分）（24-25高二下·北京·期中）现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有 种.（用数字作答） 14．（5分）（24-25高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 16．（15分）（24-25高二下·河北邢台·月考）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 17．（15分）（24-25高二下·河南郑州·期末）已知 . (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. 18．（17分）（24-25高二下·海南·期中）有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： (1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ (2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 19．（17分）（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·广东江门·期末）下列说法正确的是（ ） A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种 B．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8 C．一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种 D．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60 【答案】D 【解题思路】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理逐一判断即可. 【解答过程】对于，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，每人都有3种选择，则不同的选购方式有种，故错误； 对于，从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为种，故错误； 对于，一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，共有种取法，故错误； 对于，从1，2，3，4，5五个数字中任选3个，可组成无重复数字的三位数分三步， 首先确定百位有种，再确定十位有种选择，最后个位有种选择，故共有个，故正确． 故选： 2．（5分）（24-25高二下·河南·期中）若，则（   ） A．5 B．20 C．60 D．120 【答案】D 【解题思路】根据组合数的性质求出，再根据排列数公式计算可得. 【解答过程】因为，所以或， 解得（舍去）或， 所以. 故选：D. 3．（5分）（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【解题思路】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【解答过程】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 4．（5分）（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【解答过程】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B. 5．（5分）（24-25高二下·湖北·月考）除以的余数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】由,转化为二项式，然后配凑求出的余数. 【解答过程】由 ， 所以除以余数为. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二下·吉林长春·月考）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（   ） A．72种 B．96种 C．150种 D．168种 【答案】B 【解题思路】按照分步、分类计数原理计算可得. 【解答过程】第一步：涂区域，有种方法； 第二步：涂区域，有种方法； 第三步：涂区域，有种方法； 第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类： 第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色； 第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色， 此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法． 所以，不同的涂色种数有. 故选：B. 7．（5分）（24-25高二上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件，结合二项式定理，利用赋值法逐项求解各个选项即可. 【解答过程】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C. 8．（5分）（24-25高二下·四川南充·期末）现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》，则下列说法正确的是（   ） A．将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有种不同的放法 B．将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不同的放法 C．将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 D．现将五本书并排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的不同的排法有120种 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合排列、组合的概念和计算公式，逐项分析、计算，即可求解. 【解答过程】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书， 每本书均有6种不同的放法，根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确； 对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《水浒传》和《西游记》相邻， 可得把《水浒传》和《西游记》看成一个元素，共有种放法，所以B不正确； 对于C，将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本， 有种分组方法，再将其分给三人， 共有种分法，所以C正确； 对于D中，现将五本书并排成一排，， 则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有 种，所以D错误. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·湖北·月考）下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】由反例判断A的正误，根据组合数的性质可判断C的正误，根据二项展开式结合赋值法可判断B的正误，根据二项展开式结合多项式乘法，算两次可判断D的正误. 【解答过程】对于A，取，则左边，而右边，两边不相等，故A错误； 对于C， 故C正确； 对于B，由二项式定理得：， 令得，，即， 令得，， ，故B正确； 对于D，因为等号左右两边的展开式中的系数相等， 右边展开式中的系数为， 而左边即为， 故左边的系数为， 故，故D正确． 故选：BCD. 10．（6分）（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】利用赋值法判断ABC；对两边同时求导，再令，判断D. 【解答过程】令得，所以A错误； 令得，所以B正确； 令得 ， 显然都是正数，都是负数， 所以 ，所以C正确； 对两边同时求导， 得， 取得-2025，所以D正确. 故选：BCD. 11．（6分）（24-25高二下·四川成都·期中）某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（    ） A．若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B．若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D．若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 【答案】ACD 【解题思路】A计算每次使用法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；B先将7件法宝分成3组，每组至少2件，再进行分配；C先排列其余5件法宝，再利用插空法排列即可；D利用倍缩法解决定序问题即可． 【解答过程】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝， 对于A，每次使用法宝有种， 因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种， 则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误； 对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种， 再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中， 则不同的使用法宝的方法有种，故C正确； 对于D，先将7件法宝排列共有种， 再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确. 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是 ． 【答案】 【解题思路】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【解答过程】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·北京·期中）现有5名教师带领3个兴趣小组（生物、人文、经济）外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至少一人至多两人，张老师是年轻教师，学校要求他不能单独带队，不同的教师带队方案有 种.（用数字作答） 【答案】72 【解题思路】教师人数的安排为2,2,1，先安排张老师，选择1人和张老师为一组，并安排一个兴趣小组，然后再考虑其他3人，结合排列组合知识进行求解. 【解答过程】教师人数的安排为2,2,1， 先从除张老师剩余的4名教师中选择1人和张老师为一组，有种， 再从3个兴趣小组中选择1个安排给张老师这组，有种， 再将剩余3人分为2组，安排到另外2个兴趣小组，有种， 综上，不同的教师带队方案有种. 故答案为：72. 14．（5分）（24-25高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种． 【答案】72 【解题思路】根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 【解答过程】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，区域和，和，和，和每对的颜色都不相同. 那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色. 由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，所以同色的区域一定是和，或者和. 如果这两对区域都是同色的，那么和，以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，且颜色不能相同，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，所以此时的情况数有种； 如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种. 综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种. 而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【解题思路】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值. （2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程. （3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值. 【解答过程】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 16．（15分）（24-25高二下·河北邢台·月考）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【解题思路】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【解答过程】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 17．（15分）（24-25高二下·河南郑州·期末）已知 . (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. 【答案】(1) (2)3 (3) 【解题思路】（1）令，得到，令，得到，两式相加除以2即可 （2）将代入化简并展开即可得出答案 （3）两边同时对求导，令即可 【解答过程】（1）令，有， 令，有， 即， 两式相加除以2，得. （2）当时， ， 所以被4除后的余数为3. （3）因为， 等式两边同时对求导可得 ， 令，可得. 18．（17分）（24-25高二下·海南·期中）有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求： (1)位同学站成一排，甲、戊相邻有多少种不同的排法？ (2)位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）相邻问题用捆绑法； （2）先将甲乙捆绑与戊排列，再用插空法排列丙丁，根据分步乘法计数原理计算即可； （3）分两步，第一步，先将5人分为三组，分两类讨论，第二步再将这三组分配给三个班，根据分类加法和分步乘法计数原理计算即可． 【解答过程】（1）因为甲、戊相邻，故把甲、戊捆绑，与其余人全排列， 所以有种不同的排法； （2）首先将甲乙两人捆绑，与戊一起排，有种排法， 此时，共有3个空，丙、丁两人插空排列，共有种排法， 所以共有种不同的排法． （3）分步进行分析： 将位同学分成组， 若分成、、的三组，有种分法， 若分成、、的三组，有种分法， 则一共有种分组方法； 将分好的三组对应三个班，有种情况， 则一共有种不同的分配方法． 19．（17分）（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】(1) (2)存在，且这三个数为，， (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【解答过程】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $