单元练4 (范围7.4～7.5)-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第三册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

单元练4　(范围:7.4~7.5) 1.已知随机变量X~N(2,σ2),且P(X≥3)=0.2,则P(X>1)=(　　) A.0.2　　　　　　　　　 B.0.3 C.0.7 D.0.8 解析:因为X~N(2,σ2),所以P(X≤1)=P(X≥3)=0.2,所以P(X>1)= 1-P(X≤1)=0.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 2.已知随机变量X服从二项分布X~B,则P(X=2)等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:因为随机变量X服从二项分布X~B, 所以P(X=2)=··=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 3.在15个村庄中,有7个村庄交通不太方便,现从中任意选10个村庄,用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄数,下列概率中等于的是(　　) A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 解析:由题可知,X服从超几何分布,所以P(X=2)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 4.设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),给出下列结论: ①P(X≤x)=P(X≥2μ-x);②P(X≤x)-P(X≤2μ-x)=1;③P(x1≤X≤x2)=P(X≤x2)+P(X≥2μ-x1).其中正确的有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 解析:根据正态曲线的特点可知P(X≤x)=P(X≥2μ-x),①正确; P(X≤x)+P(X≤2μ-x)=1,②不正确;P(x1≤X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≥2μ-x1),③不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.从装有6个白球,2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出1个红球得2分,每取出1个白球得1分. 按照规则从容器中任意抽取2个球,所得分数的期望为(　　) A. B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 解析:设得分为X,根据题意X可以取4,3,2. 则P(X=4)==,P(X=3)===,P(X=2)==, 则X分布列为 所以得分期望为E(X)=4×+3×+2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X 4 3 2 P 6.设随机变量X~B(10,p),且满足D(X)=2.1,P(X=4)<P(X=6),则p=(　　) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 解析:因为随机变量X~B(10,p),则D(X)=10p(1-p)=2.1,即p2-p+0.21=0,解得p=0.7或p=0.3, 由P(X=4)<P(X=6),得p4(1-p)6<,即(1-p)2<p2,解得<p<1,所以p=0.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(多选)如图是一块高尔顿板示意图,在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为0,1,2,3,…,10,用X表示小球落入格子的号码,则(　　) A.P(X=9)= B.P(X=2)= C.E(X)=10 D.D(X)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 AD 解析:设A=“向右下落”,=“向左下落”, 则P(A)=P()=, 因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数,而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次, 所以X~B, 则P(X=2)=×=,P(X=9)=×=, E(X)=10×=5,D(X)=10××=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(多选)小明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时36 min,样本方差为36;骑自行车平均用时35 min,样本方差为4,假设坐公交车用时X(单位:min)和骑自行车用时Y(单位:min)都服从正态分布,正态分布N(μ,σ2)中的参数μ用样本均值估计,参数σ用样本标准差估计,则(　 　) A.P(X≤25)<P(X≥30) B.P(X<24)>P(Y>41) C.P(Y≤30)<P(Y≥45) D.若某天只有35 min可用,小明应选择骑自行车 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ABD 解析:随机变量X的均值为E(X)=36,方差为D(X)=36,则X~N(36,36),μ1=36,σ1=6, 随机变量Y的均值为E(Y)=35,方差为D(Y)=4, 则Y~N(35,4),μ2=35,σ2=2, 所以P(X≤25)<P(X≤36)=0.5<P(X≥30),故A正确; P(X<24)=P(X<36-2×6)=×[1-P(μ1-2σ1<X<μ1+2σ1)], P(Y>41)=P(Y>35+3×2)=×[1-P(μ2-3σ2<Y<μ2+3σ2)], 因为P(μ1-2σ1<X<μ1+2σ1)<P(μ2-3σ2<Y<μ2+3σ2), 所以P(X<24)>P(Y>41),故B正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 P(Y≤30)=P(Y≥40)>P(Y≥45),故C错误; 因为P(X≤35)<P(X≤36)=0.5=P(Y≤35),所以选择骑自行车,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9.厂家在产品出厂前,需对产品检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品检验,以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.则该 商家拒收这批产品的概率是　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析:依题意,这20件产品中有20-3=17件合格品,所以该商家接收这批产品的概率为P===,故商家拒收这批产品的概率为1-P=1-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.元旦前夕某市一中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动,灯谜题目中逻辑推理占20%,传统灯谜占50%,一中文化占30%,小伟同学答对逻辑推理,传统灯谜,一中文化的概率分别为0.2,0.6,0.7,若小伟同学任意抽取一道题目作答,则答对题目的概率为　　　　,若小伟同学抽到的5道题都是逻辑推理题,则这5道题目中答对题目个数X的数学期望为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.55 1 解析:设事件A=“小伟同学任意抽取一道题目作答,答对题目”, 则P(A)=0.2×0.2+0.5×0.6+0.3×0.7=0.55. 由题意小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答,则答对题目的概率为0.2, 根据二项式分布知X~B(5,0.2),所以E(X)=5×0.2=1,即X的数学期望为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.某企业生产一种零部件,其质量指标介于(49.6,50.4)的为优品.技术改造前,该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.16);技术改造后,该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布N(50,0.04).那么,该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为　　　 　.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ)=0.682 7, P(|X-μ|<2σ)=0.954 5,P(|X-μ|<3σ)=0.997 3)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.271 8 解析:技术改造前,易知μ1=50,σ1=0.4, 则其优品率为P(49.6<X<50.4)=P(μ1-σ1<X<μ1+σ1)=P(|X-μ1|<σ1)=0.682 7; 技术改造后,其中μ2=50,σ2=0.2, 则其优品率为P(49.6<X<50.4)=P(μ2-2σ2<X<μ2+2σ2)=P(|X-μ1|<2σ2)= 0.954 5, 所以优品率之差为0.954 5-0.682 7=0.271 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.袋子中有7个大小相同的小球,其中4个白球,3个黑球,从袋中随机地取出小球,若取到一个白球得2分,取到一个黑球得1分,现从袋中任取4个小球. (1)求得分X的分布列及均值; (2)求得分大于6的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:(1)由题意可知,随机变量X的取值为5,6,7,8, 所取小球为1白3黑时,P(X=5)==, 所取小球为2白2黑时,P(X=6)==, 所取小球为3白1黑时,P(X=7)==, 所取小球为4白时,P(X=8)==, 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以,随机变量X的分布列为 随机变量X的均值为E(X)=×5+×6+×7+×8=. 13 14 X 5 6 7 8 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)根据X的分布列,可得到得分大于6的概率为 P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=. 13 14 13.某大学毕业生参加某公司的笔试,共有5个问题需要解答,该毕业生答对每个问题的概率均为,且每个问题的解答互不影响. (1)求该毕业生答对问题的个数X的数学期望和方差; (2)设答对一个问题得10分,否则扣1分,求该毕业生得分Y的数学期望和方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 解:(1)由题意知,该毕业生答对问题的个数X服从二项分布,即X~B, ∴E(X)=5×=,D(X)=5××=. (2)由题意知,该同学的得分Y=10X+(5-X)×(-1)=11X-5, ∴E(Y)=E(11X-5)=11E(X)-5=11×-5=, D(Y)=D(11X-5)=112D(X)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.某药厂生产的一种药品,声称对某疾病的有效率为80%.若该药对患有该疾病的病人有效,病人服用该药一个疗程,有90%的可能性治愈,有10%的可能性没有治愈;若该药对患有该疾病的病人无效,病人服用该药一个疗程,有40%的可能性自愈,有60%的可能性没有自愈. (1)若该药厂声称的有效率是真实的,利用该药治疗3个患有该疾病的病人,记一个疗程内康复的人数为X,求随机变量X的分布列和期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)一般地,当n比较大时,离散型的二项分布可以近似地看成连续型的正态分布,若X~B(n,p),则X可以近似看成随机变量Y,Y~N(μ,σ2),其中μ=np,σ2=np(1-p),对整数k1,k2(k1<k2),P(k1≤X≤k2)≈P(k1-0.5<Y≤k2+0.5).现为了检验此药的有效率,任意抽取100个此种病患者进行药物临床试验,如果一个疗程内至少有k人康复,则此药通过检验.现要求:若此药的实际有效率为80%,通过检验的概率不低于0.977 2,求整数k的最大值.(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<X≤ μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.997 4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解:(1)记“一个患有该疾病的病人服用该药一个疗程康复”为事件A,则 P(A)=0.8×0.9+0.2×0.4=0.8, 因此X~B(3,0.8),X=0,1,2,3, P(X=0)=(0.8)0(0.2)3=0.008, P(X=1)=(0.8)1(0.2)2=0.096, P(X=2)=(0.8)2(0.2)1=0.384, P(X=3)=(0.8)3(0.2)0=0.512, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 则X的分布列为 X的数学期望E(X)=3×0.8=2.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 (2)若该药品的有效率为80%,由(1)得,一个疗程内,使用该药后的康复率也为80%, 记康复的人数为随机变量X1,则X1~B(100,0.8), 设μ=100×0.8=80,σ2=100×0.8×0.2=16,则Y~N(80,42), 所以P(X≥k)≈P(Y>k-0.5)≥0.977 2. 因为P(Y≥μ-2σ)≈1-=0.977 2, 所以k-0.5≤μ-2σ=80-2×4=72,即k≤72.5, 所以整数k的最大值为72. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$