精品解析：四川省南充市仪陇县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度上期教学质量监测 八年级数学试题 注意：1.数学试题满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算或变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. 20 B. 80 C. 100 D. 120 8. 关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 如图，在中，，以为腰向外部作等腰，，，于F，交AB于点E，连接CE．下列四个结论：①；②DE平分；③；④若，则为等边三角形．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 我们通常用成语“薄如蝉翼”来形容某物很薄，蝉翼的厚度大约为米，将这个数用科学记数法表示为______米． 12. 如图，小睿和小智玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，与地面的夹角，则上下可转动的最大角度的度数为______． 13. 若是一个完全平方式，则m的值为________． 14. 已知，则的值为_______． 15. 如图，在等边中，点D为上一点，过点D作，交的延长线于点E，交于点F，若，，则的长为_______． 16. 如图，在中，，，点D是的中点，点P，Q分别是边，上的动点．当的周长取得最小值时，的度数是______． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 当时，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，直线（直线上各点的纵坐标都为1）． （1）在图中作出关于直线的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）若点是内部一点，请直接写出它关于直线的对称点的坐标． 20. 分解因式： （1）； （2）． 21. 如图，，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求的度数； （2）若，求的值． 22. 随着全民健身意识的提高和科技的发展，智能健身设备逐渐受到健身爱好者的喜爱．小慧准备购买一台智能跑步机，在A、B两款智能跑步机之间犹豫．小慧通过线上线下调查，获取了以下信息： 信息一：若两款健身设备均运行m小时，A款智能跑步机需要消耗电能7.5千瓦时，B款智能跑步机需要消耗电能5千瓦时，电费为0.6元/千瓦时； 信息二：在运行能耗上，A款智能跑步机每小时比B款智能跑步机多花费0.25元电费．根据以上信息解决下列问题： （1）A、B两款智能跑步机每小时运行电能费用分别是多少元？ （2）若A、B两款智能跑步机每年的其它费用分别为900元和1000元，则每年运行时长为多少小时，买B款智能跑步机的年费用更低？并帮小慧给出购买建议．（备注：年费用年运行费用＋年其它费用） 23. 项目学习 项目背景 某学校内有一池塘，在数学综合实践活动课上，老师要求学生利用三角形有关知识测量池塘A、B两端（两点均在地面上，但无法直接测量）的距离． 项目主题 距离的测量与计算 测量小组 甲组 乙组 丙组 测量示意图 测量方案 如图①，设A、B两点所在直线为东西方向，沿点A南偏东方向作射线，沿点B南偏东的方向作射线，交于点C，最后测量的长即可． 如图②，过点B作射线，过点A作于C，以A为顶点作，边交射线于D，最后测量的长即可． 如图③，在地面上取一个可以直接到达A，B两端的点O，连接并延长到C，使，连接并延长到D，使，连接，最后测量的长即可． （1）甲、乙、丙三个小组的方案中可行的是_______组；（填“甲”、“乙”或“丙”） （2）请你选择一个可行的方案，并说明可行的理由； （3）对于（1）中不可行的方案，请只改变或添加某一个条件使该方案可行，并说明理由；或你自己利用三角形有关知识另外设计一个新的可行方案，画出示意图，写出测量方案，并说明理由． 24. 【阅读理解】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：∵，易知， ∴．∴．① ∴②． ∴． 像这种将等式两边取倒数的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下列问题： （1）第②步运用了______公式；（填“平方差”或“完全平方”） 【类比运用】 （2）已知：，求的值； 【拓展探究】 （3）已知：，，，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，以线段为腰向右作等腰，，，点始终在第一象限． （1）如图①，求点的坐标；(用含的式子表示) （2）如图②，过点作轴，使，连接交于点．当点在轴负半轴上运动时，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图③，点是延长线上的一点，过点作轴于，且，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上期教学质量监测 八年级数学试题 注意：1.数学试题满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡规定的位置上； 3.选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 4.填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，关键需要理解轴对称图形的定义：在平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义逐一分析选项： 选项A：故宫博物院的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形； 选项B：四川博物院的图案沿中间竖直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 选项C：昆明市博物馆的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形； 选项D：衡水市博物馆的图案沿任意直线折叠后，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形． 故选：B． 2. 下列各式计算或变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、添括号法则、零指数幂和平方差公式，选项A、B、C均正确，选项D的左边利用平方差公式展开后为，与右边不相等． 【详解】解：A、，正确； B、左边 ，与右边相等，正确； C、任何非零数的零次幂等于1，，所以，正确； D、左边，而右边为，两者不相等，故错误． 故选：D． 3. 如果一个三角形的两边长分别为和，则第三边长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴三角形三边关系可得：， 解得：， ∴选项符合题意， 故选：． 4. 如图，一轮船在海上向正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余角性质，三角形内角和计算即可． 本题考查了方向角的计算，熟练掌握方向角的意义，三角形内角和是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，得，， 故， 故选：A． 5. 已知，是等腰的两个内角，若，则的度数可能是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，等腰三角形有两个角相等，需考虑是顶角或底角的情况，分别计算的可能值． 【详解】解：∵是等腰三角形，且， 分以下两种情况讨论： 情况1：当是顶角时， 则底角相等，即， ∴； 情况2：当是底角时， 此时分两种情形：若也是底角，则； 若是顶角，则另一底角，故． 综上，可能为或或． 6. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于同样长为半径作弧，两弧交于点D，作射线，交于点E，过点E作于F．则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，角平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，由作图可知，射线平分，即可判断选项A；根据角平分线的性质可得，即可判断选项B；根据等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质推出，即可判断选项C；根据含30度角的直角三角形的性质推出，再根据，即可判断选项D． 【详解】解：由作图可知，射线平分， ∴， 故选项A正确，不符合题意； ∵即，， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项C正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 20 B. 80 C. 100 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是灵活运用完全平方公式． 将表达式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式． 故选：C． 8. 关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0． 先解分式方程，得到x关于k的表达式，根据解为正数且分母不为零，确定k的取值范围． 【详解】解：， ∴， 去分母得， 即， ∴， ∵原方程的解为正数， ∴，即，∴， 又∵分母不为零， ∴且， 即且， ∴，， ∴且， 故选：A． 9. 如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况． 【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形， ∴正方形的边长可以为：，，，四种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用8张） 即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； ，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； ，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意； ，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； ，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； 故选：B． 10. 如图，在中，，以为腰向外部作等腰，，，于F，交AB于点E，连接CE．下列四个结论：①；②DE平分；③；④若，则为等边三角形．其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，关键是通过全等三角形的对应角、对应边相等，结合角的关系推导结论，证明，可判断①；当平分时，证明，得到，则可证明，而为等边三角形，不一定成立，据此可判断②；证明，即可判断③；证明，即可判断④． 【详解】解：在和中， ，，， ， ，故①正确； 若平分，则， 在和中，， ， ， 又∵， ∴， ∴为等边三角形，不一定成立，故不一定平分．故②错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形，故④正确． 综上可知，正确的结论为①③④，共有3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 我们通常用成语“薄如蝉翼”来形容某物很薄，蝉翼的厚度大约为米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键． 12. 如图，小睿和小智玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，与地面的夹角，则上下可转动的最大角度的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．根据，易得，根据三角形的外角的性质，即可得解． 【详解】解： 由题意，可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴上下可转动的最大角度的度数为， 故答案为：． 13. 若是一个完全平方式，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征． 根据完全平方公式，将给定的式子与公式对比，确定的值． 【详解】解：因为是一个完全平方式，而． 根据完全平方公式，这里， 所以中间项， 则，所以． 故答案为：． 14. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，利用同底数幂相乘的法则，将原式转化为以2为底的指数形式，再根据已知条件求出指数值，最后计算负整数指数幂． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在等边中，点D为上一点，过点D作，交的延长线于点E，交于点F，若，，则的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，添加平行线构造全等三角形是解题关键． 如图，过点作的平行线，交于点，根据等边三角形性质得出，，证明，是等边三角形，得出，再证明，从而证出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 16. 如图，在中，，，点D是的中点，点P，Q分别是边，上的动点．当的周长取得最小值时，的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径问题、三角形的内角和定理，构造辅助线求解的周长最小值是解题的关键． 首先根据轴对称构造辅助线，得到当点，P，三点共线时，的周长取得最小值为，在此情况下求解结合三角形的内角和定理得到，即可求解的度数． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q， ∵点D关于的对称点，关于的对称点， ∴， ∴， ∴当点，P，三点共线时，的周长取得最小值为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由轴对称可得：，， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可； （2）先根据多项式与多项式的乘法、完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 当时，求的值． 【答案】－0.3 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键． 根据分式的混合运算法则进行化简,再代入求解即可． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，直线（直线上各点的纵坐标都为1）． （1）在图中作出关于直线的对称图形，并写出点，，的坐标； （2）若点是内部一点，请直接写出它关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，，，； （2） 【解析】 【分析】此题考查了坐标与图形变化—轴对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）分别作出点的对称点，顺次连接即可得到，写出点的坐标即可； （2）根据（1）中的规律写出点的坐标即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，主要运用了提公因式法、平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解； （2）先将整体看作平方差形式分解，再对其中的完全平方式进一步分解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求的度数； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，再根据垂直平分线的性质，推出，则，即可求出的度数； （2）根据垂直平分线的性质，得出，，由（1）可知：，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵垂直平分，， ∴，． 由（1）可知：， ∴． ∴． 22. 随着全民健身意识的提高和科技的发展，智能健身设备逐渐受到健身爱好者的喜爱．小慧准备购买一台智能跑步机，在A、B两款智能跑步机之间犹豫．小慧通过线上线下调查，获取了以下信息： 信息一：若两款健身设备均运行m小时，A款智能跑步机需要消耗电能7.5千瓦时，B款智能跑步机需要消耗电能5千瓦时，电费为0.6元/千瓦时； 信息二：在运行能耗上，A款智能跑步机每小时比B款智能跑步机多花费0.25元电费．根据以上信息解决下列问题： （1）A、B两款智能跑步机每小时运行电能费用分别是多少元？ （2）若A、B两款智能跑步机每年的其它费用分别为900元和1000元，则每年运行时长为多少小时，买B款智能跑步机的年费用更低？并帮小慧给出购买建议．（备注：年费用年运行费用＋年其它费用） 【答案】（1）A款智能跑步机和B款智能跑步机每小时运行费用分别是0.75元，0.5元． （2）当每年运行时长大于400小时，买B款智能跑步机的年费用更低． 购买建议： 若小慧预计每年使用跑步机的时间超过400小时，购买B款智能跑步机更经济； 若每年使用时间少于400小时，购买A款智能跑步机更经济； 若每年使用时间恰好等于400小时，两款年费用相同，可任意选择． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得到A款智能跑步机运行时，每小时的电费为元，B款智能跑步机运行时，每小时的电费为元，再根据A款智能跑步机每小时比B款智能跑步机多花费0.25元电费列出分式方程求解并检验即可； （2）设每年运行时长为x小时，结合（1）中结果得到A款智能跑步机每年的费用为元，B款智能跑步机每年的费用为元，根据B款智能跑步机的年费用更低建立一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：． 整理得：， 解得． 经检验，是原分式方程的根． ∴． A款智能跑步机：（元）； B款智能跑步机：（元）． 答：A款智能跑步机和B款智能跑步机每小时运行费用分别是0.75元，0.5元． 【小问2详解】 解：设每年运行时长为x小时， 根据题意可得：， 解得． 所以当每年运行时长大于400小时，买B款智能跑步机的年费用更低． 购买建议略． 23. 项目学习 项目背景 某学校内有一池塘，在数学综合实践活动课上，老师要求学生利用三角形有关知识测量池塘A、B两端（两点均在地面上，但无法直接测量）的距离． 项目主题 距离的测量与计算 测量小组 甲组 乙组 丙组 测量示意图 测量方案 如图①，设A、B两点所在直线为东西方向，沿点A南偏东方向作射线，沿点B南偏东的方向作射线，交于点C，最后测量的长即可． 如图②，过点B作射线，过点A作于C，以A为顶点作，边交射线于D，最后测量的长即可． 如图③，在地面上取一个可以直接到达A，B两端的点O，连接并延长到C，使，连接并延长到D，使，连接，最后测量的长即可． （1）甲、乙、丙三个小组的方案中可行的是_______组；（填“甲”、“乙”或“丙”） （2）请你选择一个可行的方案，并说明可行的理由； （3）对于（1）中不可行的方案，请只改变或添加某一个条件使该方案可行，并说明理由；或你自己利用三角形有关知识另外设计一个新的可行方案，画出示意图，写出测量方案，并说明理由． 【答案】（1）甲和丙 （2） 解：①甲组方案：由题意得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故测量的长即可； ②丙组方案：在和中， ， ∴， ∴， 故测量的长即可； （3） 解：①改变一个条件（答案不唯一）： 将改为． 理由如下：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴； ②添加一个条件（答案不唯一）： 添加．理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．即为等边三角形， ∴； ③设计新方案：（答案不唯一） 测量方案：如图，以B为顶点作， 过点A作于C， 测量出的长，最后计算即可． 理由：∵在中，，， ∴， ∴， 故测量出的长，最后计算即可． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）分析三种方法看能否求出即可； （2）①甲组方案：证明，得到，故测量的长即可； ②丙组方案：证明，得到，故测量的长即可； （3）①将改为．则是的垂直平分线，得到； ②添加．证明即为等边三角形，得到； ③设计新方案：以B为顶点作，过点A作于C，测量出的长，最后计算即可． 【小问1详解】 解：甲、乙、丙三个小组的方案中可行的是甲和丙组， 故答案为：甲和丙； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 【阅读理解】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：∵，易知， ∴．∴．① ∴②． ∴． 像这种将等式两边取倒数的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下列问题： （1）第②步运用了______公式；（填“平方差”或“完全平方”） 【类比运用】 （2）已知：，求的值； 【拓展探究】 （3）已知：，，，求的值． 【答案】（1）完全平方；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）仿照例题计算即可； （3）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解． 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：完全平方． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵，，， ∴a，b，c均不为0， ∴，，． ∴，，． ∴， ∴， ∴． ∴． 25. 在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，以线段为腰向右作等腰，，，点始终在第一象限． （1）如图①，求点的坐标；(用含的式子表示) （2）如图②，过点作轴，使，连接交于点．当点在轴负半轴上运动时，的长度是否会发生变化？若不变，求出的长度；若变化，请说明理由； （3）如图③，点是延长线上的一点，过点作轴于，且，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 不会发生变化；理由如下： 如图，过点作轴于． 由（1）可知：，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 即的长度是定值，不会发生变化． （3） ；理由如下： 如图，在上取一点，使， ∵轴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题结合平面直角坐标系中的图形特征综合考查全等三角形的判定与性质，通过“构造辅助线(作垂线、截长补短)”转化几何条件、证明全等． （1）过点作轴于，将点的坐标问题转化为求(横坐标)和(纵坐标)的长度，同时构造出与全等的直角三角形； （2）过作轴于，由（1）知、；用证，推导线段关系即可； （3）采用截长补短构造辅助线：在上取点，使，将“”转化为“”，目标证明；第一次用证，得、；然后角度计算推导等角：；第二次证全等，得；线段和差得到结论． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴于，则． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴点的横坐标为， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $