精品解析：四川省达州市渠县东安雄才学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

渠县东安雄才学校2025 秋季期末考试 九年级数学试题 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 3. 如图所示的电路图，各电器元件完好无损，额定电压下，同时闭合任意两个开关能使灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 1 4. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，与相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某工地有一块长方形空地，长比宽多米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面（拐弯处是直角），路面的面积恰好是平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 定义新运算例如：．则函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示，连接并延长交于点，延长交于点．若，则与的比值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点，是边的中点，连结，，分别交于点，过点作交的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③若的面积为8，则正方形的面积为； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 台灯下数学书的影子是 _______投影．（填“平行”或“中心”） 12. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 13. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，分别与对角线交于点、，，若，则的长为________． 14. 在菱形中，、交于点，点为的中点，点在边上，连接、、，若，，，则菱形的边长为________． 15. 在平面直角坐标系中，记反比例函数的图象为，将沿轴翻折得到（如图所示）．若点在上，将线段绕点顺时针方向旋转后，点恰好落在上点的位置，则___________________ ． 三、解答题（本题共计10小题，共计90分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）作出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使与的相似比为2，并写出与的关系． 18. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）． 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 良好 45 c 优秀 32 图1 学生体质健康统计表 （1）图1中________，________，________； （2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 19. 综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． （1）请画出两竹竿在灯光下的影长； （2）经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 20. 如图，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 21. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 22. 参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，因为，即所以我们对比函数来探究． 列表 1 2 3 4 1 2 4 2 3 5 0 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点．（如图所示） （1）连线：画出函数的图象． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而　　．（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向　　平移　　个单位而得到． ③图象关于点　　中心对称．（填点的坐标） 23. 某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． （1）求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：_____； ②求该茶商每天的最大利润． 24. 如图，为正方形的边的中点是上的一点．，于点，连接，．求证： （1）； （2）； （3） 25. 如图，动点在函数的图像上，过点分别作轴和平行线，交函数 的图像于点、，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点的坐标为． ①直线的函数表达式为______； ②当 时，的取值范围是______； ③点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； （2）连接、，求证：的面积是个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县东安雄才学校2025 秋季期末考试 九年级数学试题 一、单选题（本题共计10小题，每题4分，共计40分） 1. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】从上面看易得上面一层有2个正方形，下面左边有1个正方形． 故选：A． 2. 下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 菱形的四个角相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质，根据相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，所以A项错误，不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，所以B项错误，不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，所以C项错误，不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确，符合题意． 故选：D． 3. 如图所示的电路图，各电器元件完好无损，额定电压下，同时闭合任意两个开关能使灯泡发光的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：列树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中使灯泡发光的有共6种结果数， ∴同时闭合任意两个开关能使灯泡发光的概率是， 故选：C． 【点睛】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 5. 如图，在四边形中，，与相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 先证明，再由推出，再由共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6. 某工地有一块长方形空地，长比宽多米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面（拐弯处是直角），路面的面积恰好是平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列方程解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．空地的宽为米，则长为米． 铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米． 路面的面积等于整个区域面积减空地面积． 【详解】解：∵ 空地的宽为米，长为米， ∴ 空地面积平方米， ∵ 路面宽2米，四周铺设， ∴ 整个区域宽米，长米， ∴ 整个区域面积平方米， ∴ ． 故选D． 7. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的综合；观察图象，一次函数图象位于反比例函数图象下方的自变量的取值范围即是不等式的解集． 【详解】解：由图象知，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方， 故不等式的解集为：或； 故选：C． 8. 定义新运算例如：．则函数的图象大致是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义和反比例函数的图象，正确理解题意并结合反比例函数图象与系数的关系是解题关键． 按照题干给的新定义运算法则，对x的符号进行分类讨论，判断每种情况下，反比例函数的图象所在象限即可． 【详解】解：当时，，其图象在第一象限； 当时，，其图象在第二象限． 故选：B． 9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示，连接并延长交于点，延长交于点．若，则与的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，令，，根据全等三角形的性质及正方形的性质可得，，，进而可得，，求得，，由可知，列出比例式，即可求解． 【详解】解：由，令，， ∵四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形， 则：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， 又∵， ∴， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 10. 如图，在正方形中，对角线，交于点，是边的中点，连结，，分别交于点，过点作交的延长线于点．下列结论： ①； ②； ③若的面积为8，则正方形的面积为； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，，根据条件证明即可证明①；设正方形边长为1，结合是边的中点，即可证明②；可证，由是边的中点，可得，则由的面积为8，可知，则正方形面积可求；可证，得，通过证明，可得，则即可证明④． 【详解】解：过点作于I，于H，如图， ， ∵四边形是正方形， ，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，故②正确； 设正方形边长为1， 是边的中点， ， ， ， ， ；故①正确； ∵， ， 是边的中点， ∴， ， ∴， 的面积为8， ， ∵ ， ，故③错误； 四边形是正方形， ， ， ， ∵，，， ∴， ， 又∵， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本题共计5小题，每题4分，共计20分） 11. 台灯下数学书的影子是 _______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 根据光线发出的形式，由一点发出的光线，形成的投影是中心投影． 【详解】解：由于光源是由一点发出的，因此台灯下数学书的影子是中心投影， 故答案为：中心． 12. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再展开所求表达式并代入计算．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：方程 中，，，， 由根与系数的关系，得 ，， ∴ ． 故答案为：2025 13. 如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接、，分别与对角线交于点、，，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数值． 由正方形的性质，可得，结合已知可得，证明，可得，即可得的长． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 14. 在菱形中，、交于点，点为的中点，点在边上，连接、、，若，，，则菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．由四边形为菱形可得，又E为的中点，由斜边中线定理可知，故，．延长交的延长线于点G，证明，设，则，由平行可证明，故得，求出y的值，从而得出结果 【详解】解：四边形为菱形， ，即， 又点为的中点，由斜边中线定理可知， ， 如图，延长交的延长线于点G， ． 又， ． 设，则， ， ， ， ， ， 由 可得，即， 解得：， ， 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，记反比例函数的图象为，将沿轴翻折得到（如图所示）．若点在上，将线段绕点顺时针方向旋转后，点恰好落在上点的位置，则___________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合题，此题涉及到了翻折变换、坐标与图象变化一旋转、反比例函数的性质，解答本题的关键是表示出B的坐标． 作轴于，作轴，交延长线于，通过证得，表示出的坐标，然后根据得到关于的方程解方程求得的值，即可得到的坐标，进而即可求得的值． 【详解】解：作轴于，作轴，交延长线于，如图， 因为点在上， 所以， 根据题意的函数关系式为，， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以，， 所以， 所以点在上，点在上， 所以， 所以， 整理得：， 解得，， 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 三、解答题（本题共计10小题，共计90分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）将方程整理后，运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 开方，得， 所以； 【小问2详解】 解：， 整理，得， 因式分解，得， 所以或， 所以，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）． （1）作出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在原点另一侧画出，使与的相似比为2，并写出与的关系． 【答案】（1） 解：所作如图所示： （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与轴对称及位似，熟练掌握坐标与轴对称及位似的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据位似的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由位似可知，， ， ，且． 18. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）．并绘制出不完整的条形统计图（如图2）． 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 良好 45 c 优秀 32 图1 学生体质健康统计表 （1）图1中________，________，________； （2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率． 【答案】（1）；20； （2） 补全条形统计图，如图： 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； （3）选取的2名学生均为“良好”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． （1）用“优秀”等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；再分别求得的值； （2）根据（1）的结果，可补全条形统计图，利用样本估计总体可求解； （3）用列表法表示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人均为“良好”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：样本容量为， 则， ， ， 故答案为：；20；； 【小问2详解】 解：（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人； 【小问3详解】 解：设3名“良好”分别用A、B、C表示，1名“优秀”用D表示，列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有种， ∴选取的2名学生均为“良好”的概率为． 19. 综合实践活动课是数学新课标的新增内容．学习了相似三角形后，老师让同学们测量校园某一灯柱（是灯源处，灯杆忽略不计）的高度．一个学习小组成员准备了两根高米的竹竿，，并和灯柱插在同一条直线上，且两竹竿，相距米，如图所示． （1）请画出两竹竿在灯光下的影长； （2）经测量，竹竿的影长为米，竹竿的影长是米，求灯柱的高． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）灯柱的高为米 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的性质与判定； （1）连接 并延长交地面于，连接并延长交地面于则为竹竿的影长，为竹竿的影长； （2）依题意，，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，进而解比例式即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 依题意，，米， ∴， ∴，， 设米， ∴，， 解得， 答：灯柱的高为米． 20. 如图，四边形是矩形，的平分线交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的性质推知∠E＝∠1＝∠2，则BE＝BD，所以在直角△ABD中，利用勾股定理求得AB的长度即可． 【详解】解：如图，∵四边形是矩形， ∴．∴． 又∵的平分线交的延长线于点， ∴．∴．∴． ∵，∴． 在中，，， 则由勾股定理知，，即． 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，此题难度不大，关键是推出等式BD＝BE＝10−AB． 21. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， . ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，由对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形是平行四边形，结合，即可由一个角为直角的平行四边形是矩形，证得结论； （2）先由平分，结合等角对等边得到，，然后由勾股定理求得，即可根据相似三角形的性质求得，进而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：平分，， ， ， 在中， 四边形是平行四边形， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键． 22. 参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质，因为，即所以我们对比函数来探究． 列表 1 2 3 4 1 2 4 2 3 5 0 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点．（如图所示） （1）连线：画出函数的图象． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而　　．（填“增大”或“减小”） ②的图象是由的图象向　　平移　　个单位而得到． ③图象关于点　　中心对称．（填点的坐标） 【答案】（1） 函数图象如图所示： （2）①增大；②上，1；③ 【解析】 【分析】(1)用光滑的曲线顺次连接即可． (2)①利用图像即可求解．②利用图像平移规律左加右减变x上加下减变y即可求解．③根据中心对称性质取图像上两点即可求出对称中心． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①当时，图像呈上升趋势，所以随的增大而增大； ②∵可变为， ∴的图象是由的图象向上平移1个单位而得到； ③∵，在图像上， ∴， ∴图象关于点中心对称． 【点睛】本题考查反比例函数图像的性质、中心对称的性质等知识，灵活运用所学知识是解题关键． 23. 某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． （1）求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：_____； ②求该茶商每天的最大利润． 【答案】（1） （2） ①；② 1250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）、二次函数的实际应用（利润最值），解题的关键是根据数量关系建立方程或函数模型． （1） 设平均增长率，根据2023和2025年游客人次列一元二次方程求解； （2） ①根据单价增加量与销量减少的关系，列出销量与的函数式；②根据利润公式建立二次函数，配方求最大值． 【小问1详解】 解∶设平均增长率为， 由题意得 解得， 即（舍去负根）， 故 平均增长率为． 【小问2详解】 ① 单价每增加元，销量减少斤， 故． 故答案为：． ② 设每天利润为元，每斤利润为元， 销量为， 则∶ 当时，取得最大值1250元． 24. 如图，为正方形的边的中点是上的一点．，于点，连接，．求证： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） 解：设正方形的边长为，即， ∴ ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 证明：由（1）有， ， ， ，即 ， ， ， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）设正方形的边长为，即，证明，结合得到，因此，又，从而，即可得证； （2）由得到，由同角的余角相等得到，因此，根据相似三角形的性质即可证明； （3）由（1）有，则，进而得到，从而，再证，即可得证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，动点在函数的图像上，过点分别作轴和平行线，交函数 的图像于点、，作直线，设直线的函数表达式为． （1）若点的坐标为． ①直线的函数表达式为______； ②当 时，的取值范围是______； ③点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标； （2）连接、，求证：的面积是个定值． 【答案】（1）①；②或；③或 （2） 证明：延长分别交x轴于G，交y轴于H，设， ∴，， ∴ ， ∴的面积是个定值． 【解析】 【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线的函数表达式为，解方程即可；②首先求出直线与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；③设，分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案； （2）延长分别交x轴于G，交y轴于H，设，表示出的面积即可． 【小问1详解】 解：①当时，则，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 故答案为：； ②当时，， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； ③设， 当为对角线时， ， ∴ ， ∴， 当为对角线时，， ∴， 此时点B、C、D、E共线，故舍去， 当为对角线时，， ∴， ∴， 综上，或； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $