福建省龙海第一中学2025-2026学年高三上学期1月阶段考试数学试题

2025-2026学年龙海一中高三（上）1月阶段考数学试卷 考试时间：120分钟 考试满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. -1 D. -i 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，且，则的最大值是（ ）． A. B. C. D. 5. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 6. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，且其图象关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9 B. 若，，且，则C，D相互独立 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 若样本数据的平均数为4，的平均数为22，则样本数据，9的方差为20 10. 如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 直线与直线所成角的大小为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离为3 11. 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用了这个光学性质.如图，某探照灯的轴截面是抛物线的一部分，其方程为，焦点为，光线从点出发，经抛物线反射，反射光线所在直线为，，若，则所在直线的方程为，为抛物线上的动点.下列选项正确的是（    ） A. 抛物线的方程为 B. 若直线过点，且倾斜角为，且，则的值为3 C. 若直线过点，，则的面积为 D. 若，当取得最大值时，的值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则的最小值为___________． 13. 为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有__________种分法.（用数字作答） 14. 已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时，_____；当时，的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为．已知． （1）若，，求； （2）若，求的值. 16. 甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是，甲投中而丙未投中的概率是，乙投中而丙未投中的概率是. （1）请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由； （2）现将投篮水平较低的两人组成一组（记为），与投篮水平较高的人（记为组）进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求组获胜的概率. 17. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，曲线在处的切线方程为. （1）求，的值： （2）求证：有且只有一个零点； （3）记的零点为，曲线在处的切线与轴交于.若，求的取值范围. 19. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 2025-2026学年龙海一中高三（上）1月阶段考数学试卷 考试时间：120分钟 考试满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】12 【13题答案】 【答案】21 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）丙投篮水平较高， 理由如下： 设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为、、. 依题意，得，解得， 因为，所以，丙投篮水平较高. （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明： 在图①中，由题知四边形为正方形，且； 则在②中，，，且， 又平面，则平面； 又，∴平面， 又平面，∴； 又，且为的中点，则； 又，平面， 则平面，又平面， 可得. （2）存在， 【18题答案】 【答案】（1）， （2）证明：结合（1）知，定义域为， 因为在上恒成立，易知当时，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， 又，， 由零点存在性定理可知有且只有一个零点. （3） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）①证明：当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为； ②证明：，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证.. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $