精品解析：安徽省淮北市杜集区树人初级中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 5，7，9 C. 2，8，10 D. 3，5，9 2. 已知点B的坐标为，直线轴，那么点A的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A＝30°，∠B＝60° B. ∠A＝40°，∠B＝80° C. ∠A＝50°，∠B＝65° D. ∠A＝60°，∠B＝70° 5. 如图，在中，，分别是，边上的高，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个三角尺的一条直角边分别在，上，当时，另两条直角边相交于点C，作射线，可证得，从而得是的平分线．在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 7. 周六上午，小颖从家出发前往早餐店用餐，随后前往图书馆阅读，最后回家．她离家的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小颖从家到早餐店用时 B. 小颖在图书馆阅读了 C. 小颖从图书馆出发回家的平均速度是 D. 点表示小颖出发时离家的距离为 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若点，且，，则点位于第______象限． 12. “有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是_____． 13. “三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为______度 ． 14. 定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题： （1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为______； （2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若，，．求证：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出将向左平移5个单位长度后得到的，并写出点，的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 18. 在平面直角坐标系中，直线与直线平行且经过点． （1）求与x之间的函数表达式； （2）当时，求函数值的最小值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知是锐角三角形，． （1）用不带刻度的直尺和圆规，试求作一点P，使得点P到点B，C的距离相等，并且到边，的距离也相等； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： （1）直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； （2）在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 如图，平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求直线与的表达式； （2）若点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． （1）分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； （2）去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? （3）小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 已知是等边三角形，D是直线左侧一点且位于直线上方． （1）如图1，平分，连接，．求证：； （2）如图2，若，点G是延长线上一点，连接交于点E． ①求的度数； ②若E为的中点，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 5，7，9 C. 2，8，10 D. 3，5，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，判断时，只需验证两条较短线段之和是否大于最长线段，即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意； B、，能组成三角形，符合题意； C、，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意； 故选B． 2. 已知点B的坐标为，直线轴，那么点A的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，掌握与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征是解题的关键； 根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同解答． 【详解】直线轴， 点与点的横坐标相同， 点A的横坐标为， 结合选项可知，点A的坐标可能为． 故选：D． 3. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意: D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 4. 下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A. ∠A＝30°，∠B＝60° B. ∠A＝40°，∠B＝80° C. ∠A＝50°，∠B＝65° D. ∠A＝60°，∠B＝70° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据等角对等边进行求解即可 【详解】解：A、∠C＝180°−∠A−∠B＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项不符合题意； B、∠C＝180°−∠A−∠B＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，B选项不符合题意； C、∠C＝180°−∠A−∠B＝65°，则∠B=∠C，是等腰三角形，C选项符合题意； D、∠C＝180°−∠A−∠B＝50°，没有相等的角，则不是等腰三角形，，D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理和三角形内角和公式，理解等腰三角形的判定定理是关键． 5. 如图，在中，，分别是，边上的高，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，由已知可得，即得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，两个三角尺的一条直角边分别在，上，当时，另两条直角边相交于点C，作射线，可证得，从而得是的平分线．在上述过程中，判定两个三角形全等的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．依题意得和都是直角三角形，由，可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， 判定和全等的方法是“”． 故选：A． 7. 周六上午，小颖从家出发前往早餐店用餐，随后前往图书馆阅读，最后回家．她离家的距离（单位：）与所用时间（单位：）之间的关系如图所示，根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小颖从家到早餐店用时 B. 小颖在图书馆阅读了 C. 小颖从图书馆出发回家的平均速度是 D. 点表示小颖出发时离家的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从图象中获取信息，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：A、由图可知，小颖从家到早餐店是段，用时为，该选项错误，不符合题意； B、由图可知，小颖在图书馆阅读是段，用时为，该选项错误，不符合题意； C、由图可知，小颖从图书馆出发回家是段，平均速度是，该选项错误，不符合题意； D、由图可知，点表示小颖出发时离家的距离为，该选项正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握是解题的关键．根据垂直平分，得，证明垂直平分，得，，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， ，且点为线段的中点， 垂直平分，， ， ， ， 故选：D． 9. 一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若点，且，，则点位于第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据已知，可得，再根据各象限内点的坐标特征解答即可．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵， ∴， 点M在第二象限， 故答案为：二． 12. “有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是_____． 【答案】等腰三角形的两个底角相等 【解析】 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【详解】解：因为原命题的题设是：“有两个角相等的三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”， 所以命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是“等腰三角形的两个底角相等”． 故答案为：等腰三角形的两个底角相等． 【点睛】本题考查了命题与定理，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 13. “三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则为______度 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握好三角形外角的性质是解题关键． 设，根据等腰三角形的性质可得，，．由三角形外角的性质可得，，，计算出x的值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∵是的外角， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 定义：在函数中，我们把关于x的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题： （1）一次函数的对称函数在y轴上的截距为______； （2）若一次函数的对称函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为8，则k的值为______． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，难度不大，解题的关键是理解题目中对称函数的概念． （1）先根据对称函数的定义写出一次函数的对称函数的解析式，再令，求出对应的y值即可； （2）先求出的对称函数，再求出的长度，利用三角形面积公式列出等式，即可求解． 【详解】解：（1）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数是， 当时，， 一次函数在轴上的截距为， 故答案为：； （2）根据对称函数的定义， 可知一次函数的对称函数为， 当时，， 点坐标为， ， ， 当时，， 点坐标为， ， 三角形的面积为8， ， 解得或（舍， 故答案为：8． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，若，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴即 在和中 （已知） （已知） （已证） ∴（）． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题思路是通过线段和差推导得，再结合已知两角，利用证明全等；解题关键是由推出，易错点是忽略线段和差的推导直接默认边相等． 【详解】略 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出将向左平移5个单位长度后得到的，并写出点，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析，， 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，作图平移变换，解题的关键是熟练掌握轴对称性质对称轴垂直平分对应点连线． （1）根据轴对称性质对称轴垂直平分对应点连线找到，，即可得到答案； （2）根据平移找到，，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据轴对称性质：对称轴垂直平分对应点连线找到，，分别连接起来如图所示， 【小问2详解】 解：根据平移找到，，，分别连接起来如图所示， 根据图象可得：，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，，． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识． （1）利用三角形的外角以及三角形的内角和定理计算即可． （2）利用三角形内角和定理构建方程求出即可解决问题． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 18. 在平面直角坐标系中，直线与直线平行且经过点． （1）求与x之间的函数表达式； （2）当时，求函数值的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由平行得到，然后将代入求解即可； （2）首先判断出随的增大而增大，然后将代入即可求出最小值． 【小问1详解】 解：直线与直线平行， ，则， 把点代入，得， 解得． 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在一次函数中，， 随的增大而增大， 当时，的值最小，最小值为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知是锐角三角形，． （1）用不带刻度的直尺和圆规，试求作一点P，使得点P到点B，C的距离相等，并且到边，的距离也相等； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）结合角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，先作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点，则点即为所求． （2）由题意得，为的平分线，则，．根据，可得，求出． 【小问1详解】 解：如图所示，点P即为所求． 【小问2详解】 解：点到、两点的距离相等， ， ． 点到、两边的距离相等， 为的平分线， ． ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： （1）直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； （2）在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2）；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【小问1详解】 解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 六、（本题满分12分） 21. 如图，平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点． （1）求直线与的表达式； （2）若点P为直线上一动点，当时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，得出，设点，根据三角形面积公式得出，求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：； 把代入解析式得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：， ． 设点． 则有， 解得或， 或． 七、（本题满分12分） 22. 某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． （1）分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； （2）去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样?费用是多少? （3）小马准备去该体育馆办理套餐，请你利用函数知识帮助小马选择哪种套餐划算?请说明理由． 【答案】（1）套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分类讨论：当，，时，分别算出对应的健身的次数，再进行作答即可． 【小问1详解】 解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； 【小问3详解】 解：由（2）得当时，解得， 即去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； 当时， 解得， 即去体育馆健身超过10次时，选择套餐二； 当时， 即去体育馆健身小于10次时，选择套餐一． 八、（本题满分14分） 23. 已知是等边三角形，D是直线左侧一点且位于直线上方． （1）如图1，平分，连接，．求证：； （2）如图2，若，点G是延长线上一点，连接交于点E． ①求的度数； ②若E为的中点，，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）证明即可； （2）①在上截取，连接，先证明，再证明为等边三角形即可； ②在上取点H，使，连接，先证明，然后证明，再由等角对等边得到，则，故． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ． 平分， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：①在上截取，连接，如图． 是等边三角形， ，． ，， ， ，， ， 为等边三角形， ； ②． 理由：在上取点H，使，连接，如图， 为的中点， ． ，， ， ，， ． 由①知，，为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $