精品解析：江苏省南通市如东县景安中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷

江苏省南通市如东县景安中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 2. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出的取值范围． 【详解】∵式子在实数范围内有意义， ∴x＋1≥0 ∴x≥﹣1 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为非负数． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、相除、幂的乘方和积的乘方等性质，以及零指数幂和负整数指数幂的计算，熟练掌握各种指数运算法则是关键．根据同底数幂相乘、相除、幂的乘方和积的乘方等性质，以及零指数幂和负整数指数幂的计算法则，逐一验证即可． 【详解】解：A、因为，所以选项 A错误，不符合题意； B、 因为，所以选项B错误，不符合题意； C、 ，所以选项C正确，符合题意； D、 ，所以选项D错误，不符合题意． 故答案为：C． 4. 如图，，，若满足，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定，根据选项选择合适的条件判定全等三角形是解题的关键． 首先已知可得，再由，即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴添加D选项后可用判定两个三角形全等， 添加其余选项条件不能证明全等， 故选：D． 5. 已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取单项式为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，令分别取四个选项中的单项式，再看多项式能否在有理数的范围内分解因式即可得到答案． 【详解】解：当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故A不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故B不符合题意； 当时，多项式不能在有理数范围分解因式，故C不符合题意； 当时，，能在有理数范围分解因式，故D符合题意； 故选：D． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同分母的分式的加减运算﹒先根据同分母分式的加减运算法则计算得，再约分即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故选：C﹒ 7. 如图，在中，，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 8. 如图，四边形的四条边长均为2，，，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点E，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了尺规作垂直平分线以及中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，连接，由作图可知，垂直平分线段，求出，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长． 详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，∠ACB＝110°， ∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°， ∵∠ECD＝15°． ∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°， ∴∠ACH＝∠ACF＝55°， ∴CA平分∠HCF， ∵AF⊥CE，CH⊥AB， ∴AH＝AF， ∴AB＝2AH＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF． 10. 如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，第11～12小题每小题3分，第13～16小题每题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可： 原式， 故答案为：． 12. 日前我国宣布，中国已实现14纳米制程芯片设计、制造、封装测试全产业链自主可控，14纳米毫米，0.000014用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意求出，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当时，阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再分别求出以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积、以为直径的半圆的面积以及的面积，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， 以为直径的半圆的面积， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，平分，相交于点，则_____ 度；若，，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，勾股定理，作出辅助线，求得是解题的关键．过点作于，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质分别求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵平分，平分 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：；． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算和整式的幂运算相关知识点，具体包括二次根式的化简、乘除与加减法则，以及幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法则，同时涉及负指数幂的运算规则，重点检验对根式和整式运算基础公式的掌握与综合运用能力． （）先将各项根式化为最简二次根式，再按“先乘除后加减”的顺序计算，乘法运算中利用化简，最后合并同类二次根式得出结果； （）先根据幂的乘方、积的乘方法则展开各项，将负指数幂转化为正指数幂形式，再按“先乘除”的顺序合并同底数幂(底数不变，指数相加减)，最终化简得到最简整式． 【详解】解：（） ； （） ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． （1）先确定公因式，再提取即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再提公因式即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简：，从，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算进行化简，再选一个使分式有意义的a的值代入求值． 【详解】解： ． 要使原分式有意义，则， ∴且， ∴当时，原式． 20. 已知关于的分式方程的解为正数,求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程，然后根据分式方程解的情况列出不等式即可求出结论． 【详解】解： 解得：x=2＋k ∵关于的分式方程的解为正数， ∴ ∴ 解得：k＞﹣2且k≠﹣1． 【点睛】此题考查的是根据分式方程根的情况求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和增根的定义是解决此题的关键． 21. 如图，点C、D在上，，，，、相交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，得出，，再由等角对等边的性质，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即． 在和中， ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴，， ∴． ∴， 即． 22. 如图，在中，作的平分线． （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． （2）证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． （3）过点D作于E，若，，，求的长． 【答案】（1）②①③ （2）① （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：作的平分线的正确顺序是②①③； 故答案为：②①③； 【小问2详解】 解：能说明的依据是①； 如图所示，连接，． 在和中， ， 故选：①； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点． ，，， ． ， 即， ， 解得． 23. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 24. 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． （2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 【答案】（1）①；②，；③；④17 （2）①；②80 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的几何应用，能正确列代数式表示各个部分的体积和面积是解此题的关键． （1）①根据直角三角形的两边长即可得到结论； ②求出图形的各个部分的面积，即可得出答案； ③根据②的结果，即可得出答案； ④代入求出即可； （2）①求出大正方体的体积和各个部分的体积，即可得出答案； ②代入①中的等式求出即可． 【小问1详解】 解：①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为， 故答案为：； ②图1中阴影部分的面积为或， 故答案为：，； ③由②知：， 即， 故答案为：； ④∵， ∴， 故答案为：17； 【小问2详解】 解：①图形的体积为或， 即， 故答案为：； ②∵ ∴， 解得：． 25. 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是的中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D在线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点D在线段上时，；当点D在线段上时，；当点D在线段的延长线上时，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）证明，根据等角对等边可得结论； （2）如图2，连接，证明和，即可得结论； （3）分三种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上，根据线段的和与差可解答． 【详解】（1）证明：如图，∵等边中，点O是的中点， ∴，． ∵等边， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）证明：如图，连接． ∵和是等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵点O是的中点， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①当点在线段上时，如图3，连接 ， ∵是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 由（2）同理知：， ， ， ； ②当点线段上时，如图2， 由①知：， 由（2）知：， ， ； ②当点在线段的延长线上时，如图4，连接， 由①知：， 由（2）知：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通市如东县景安中学2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 人工智能AI改变着我们的生活．如图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，若满足，可以添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知多项式在有理数范围可以分解因式，则k可取的单项式为（ ） A. 9 B. C. D. 6. 计算结果等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形的四条边长均为2，，，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点E，连接，则的长为（ ） A B. C. D. 4 9. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 10. 如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共6小题，第11～12小题每小题3分，第13～16小题每题4分，共22分．不需要写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 分解因式：_____． 12. 日前我国宣布，中国已实现14纳米制程芯片设计、制造、封装测试全产业链自主可控，14纳米毫米，0.000014用科学记数法表示为_______． 13. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 _______． 14. 如图，中，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则______ ． 15. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当时，阴影部分的面积为_____． 16. 如图，在中，，平分，平分，相交于点，则_____ 度；若，，则_______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 先化简：，从，0，1，2选一个合适的a的值代入求值． 20. 已知关于的分式方程的解为正数,求的取值范围． 21. 如图，点C、D上，，，，、相交于点G． （1）求证：； （2）求证：． 22. 如图，在中，作的平分线． （1）下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． （2）证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． （3）过点D作于E，若，，，求的长． 23. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 24. 2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c． （1）通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式． ①图1中阴影部分小正方形的边长可表示为______； ②图1中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为______、______； ③你能得出的a，b，c之间的数量关系是______（等号两边需化为最简形式）； ④一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______． （2）通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块． ①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______； ②已知，，利用上面的规律求的值． 25. 综合与实践：八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，O是的中点，D是射线上一点（不与点C、B重合），连接，作等边（点E和点C在边的同侧），连接并延长交直线于点F． 【特例分析】（1）如图1，当点D与点O重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】（2）当点D线段上（不与端点重合），在图2中补全图形，并证明； 【推广应用】（3）当点D在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $