精品解析：云南省昆明市东川区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年上学期期末检测八年级数学试题卷 （本试卷共三个大题27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 小篆是我国古代汉字的一种重要字体，其字形匀净修长、结构对称优美．“气壮山河”这个成语的正方小篆体书写如下，其中可以看成是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 纳米是长度单位，它在芯片制造、新材料研发等领域应用广泛．已知某新型纳米材料颗粒的直径为5纳米米．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，没有运用三角形稳定性的是（ ） A. 自动伸缩门 B. 自行车车架 C. 房屋屋顶 D. 钢架桥 4. 有长度分别为，，,的四条线段，任选其中的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点D在上，点E在上，，要判定，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 13. 某新能源汽车电池生产车间计划加工800块电池．车间引入新型生产技术后，每天可以比原来多加工20块电池，最终，这批电池的生产时间比原计划缩短了4天，则原计划每天加工多少块电池？设原计划每天加工块电池，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 15. 如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：和都是等腰三角形；的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 17. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 18. 对于任意实数，定义一种新运算：，例如．若，则___________． 19. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为___________． 三、解答题（共8大题，共62分，解答时写出必要的说明、证明过程和演算步骤） 20. 计算： （1） （2） 21. 解下列方程： （1） （2） 22. 先化简，再求值： （1），其中 （2），其中 23. 如图，已知，求证： 24. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是 （1）画出关于轴对称的图形； （2）求出的面积； （3）在轴上画出点，使的值最小（保留作图痕迹）. 25. 某商场购进件数相同的甲乙两种商品，甲种商品共用了3000元，乙种商品共用了3600元．已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价共88元，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 26. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助几何图形的面积计算可以表示一些代数恒等式．数学活动课上，老师用图1中的1张边长为的正方形纸片、1张边长为的正方形纸片和2张长、宽分别为和的长方形纸片拼成了图2中的大正方形．观察图形并解答下列问题： （1）写出由图1和图2得到的等式：___________（用含的式子表示）； （2）若___________； （3）图1中再给一张边长为的正方形纸片，请用第（1）问的方法直接写出表示图3的等式： 27. 一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． （1）如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． （2）当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． （3）当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． （4）如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期期末检测八年级数学试题卷 （本试卷共三个大题27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 小篆是我国古代汉字的一种重要字体，其字形匀净修长、结构对称优美．“气壮山河”这个成语的正方小篆体书写如下，其中可以看成是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．掌握轴对称图形的概念准确寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌ ‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；    B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；    故选：C． 2. 纳米是长度单位，它在芯片制造、新材料研发等领域应用广泛．已知某新型纳米材料颗粒的直径为5纳米米．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，科学记数法的表现形式为，其中，n为负整数，据此作答即可，正确确定a和n的值是解题的关键． 【详解】解： 故选D． 3. 下列图形中，没有运用三角形稳定性的是（ ） A. 自动伸缩门 B. 自行车车架 C. 房屋屋顶 D. 钢架桥 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性是解题关键． 根据三角形的特性：三角形具有稳定性，逐一判断即可． 【详解】解：A．伸缩门，没有利用三角形稳定性，故符合题意； B．自行车的三角形车架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意； C．屋顶三角形钢架，利用了三角形的稳定性，故不符合题意； D．钢架桥，利用了三角形的稳定性，故不符合题意． 故选：A． 4. 有长度分别为，，,的四条线段，任选其中的三条线段，不能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系；在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据“三角形中较短的两边之和大于第三边”对各选项进行判断． 【详解】解：A、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵，∴该三边不能组成三角形，故此选项符合题意； C、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 【详解】 解：∵关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数 ∴关于x轴对称点的坐标是． 故选：D． 6. 下列各数中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义，负指数幂和0指数幂的法则分别计算各选项的值，再比较大小，即可得解． 本题主要考查了绝对值的定义，负指数幂和0指数幂的法则，以及比较有理数的大小，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ∵， 故选：C． 7. 如图，在中，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质．在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．据此求解即可． 【详解】解：在中，，，， ． 故选：C． 8. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，分别根据积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项法则、幂的乘方，进行求解即可． 【详解】解：选项A: ，故错误； 选项B: ，故错误； 选项C: ，故错误； 选项D: ，故正确； 故选：D． 9. 如图，在中，，D是的中点，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 由知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵D为边的中点， ∴，平分， 故选项A、B、D正确， 不一定成立， 故选：C． 10. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构是解题的关键，平方差公式要求两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数．选项C中两个二项式整体互为相反数，不符合公式条件． 【详解】解：选项A∶ ，a相同，b与相反，∴可用公式． 选项B∶ ，相同，b与相反，∴可用公式． 选项C∶，不符合平方差公式“一项相同，另一项互为相反数”的结构特点，∴不能用公式． 选项D∶ ，b相同，a与相反，∴可用公式． ∴不能用平方差公式的是C． 故选C． 11. 下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 12. 如图，点D在上，点E在上，，要判定，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴当时，，故A正确； ∴当时，，故B正确； ∴当时，不能证明，故C错误； ∴当时，，故D正确； 故选：C． 13. 某新能源汽车电池生产车间计划加工800块电池．车间引入新型生产技术后，每天可以比原来多加工20块电池，最终，这批电池的生产时间比原计划缩短了4天，则原计划每天加工多少块电池？设原计划每天加工块电池，所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系． 根据题意，原计划每天加工x块电池，总工作量为800块，原计划时间为天；新技术每天多加工20块，即每天加工块，新时间为天；时间缩短4天，即原时间减新时间等于4，即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天加工块电池， 由题意得， 故选：A． 14. 如图，在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，已知，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．根据折叠的性质求出，，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质求出，， 则． 故选：B． 15. 如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：和都是等腰三角形；的周长等于；③；④．其中一定正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，三角形内角和定理，由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边得出，，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，与的平分线交于点M， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴和都是等腰三角形，故①正确； ∴的周长，故②正确； ∵和不一定相等， ∴不一定等于，故③错误； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共个， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零计算即可． 【详解】解：要使分式 有意义，则分母 ， 即 ． 故答案为 ． 17. 分解因式：a2﹣4b2=_____． 【答案】（a+2b）（a﹣2b） 【解析】 【详解】首先把4b2写成（2b）2，再直接利用平方差公式进行分解即可． 解：a2－4b2=a2-（2b）2=（a+2b）（a－2b）， 故答案为（a+2b）（a－2b）． 18. 对于任意实数，定义一种新运算：，例如．若，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法和代数式的求值，根据新定义得出代数式是解决问题的关键． 由新定义得，再把代入求值即可． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴． 故答案为：1 19. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式（的次数由大到小的排列，的次数由小到大的排列）的系数规律（两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方左右两个数之和） 根据上面的规律，的展开式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 根据图形中的“杨辉三角”的数字规律得出即可求出的展开式． 【详解】解：“杨辉三角”的数字规律可知：对应行的数字（即展开式的系数）分别为1，5，10，10，5，1，每一项的次数为5， 故， 故答案为 三、解答题（共8大题，共62分，解答时写出必要的说明、证明过程和演算步骤） 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以单项式，幂的乘方，再合并同类项即可； （2）利用多项式除以单项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程是解分式方程的关键；解分式方程不要忘记检验． 按照解分式方程的步骤：去分母、解整式方程、检验即可求解． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得 检验：时， 所以，原分式方程的解为 【小问2详解】 解：方程两边同乘以 检验：当时， 所以，原分式方程的解为 22. 先化简，再求值： （1），其中 （2），其中 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式和分式的化简求值， （1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算乘法，再合并同类项即可化简，然后代入已知求值即可， （2）先计算分式除法，再计算分式减法即可化简，然后代入已知求值即可． 【小问1详解】 解： 把代入，原式 【小问2详解】 解： 把代入，原式 23. 如图，已知，求证： 【答案】 证明： 即， 在和中 （） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，根据已知条件证，进而可得，由全等三角形的对应角相等即可得出结论． 【详解】略． 24. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是 （1）画出关于轴对称的图形； （2）求出的面积； （3）在轴上画出点，使的值最小（保留作图痕迹）. 【答案】（1） 作图如图所示： （2） （3） 点的位置如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）连接交轴于点，可得，则，当、、共线时，的和最小为，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 略 25. 某商场购进件数相同的甲乙两种商品，甲种商品共用了3000元，乙种商品共用了3600元．已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价共88元，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 【答案】甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为48元． 【解析】 【分析】本题考查的是列分式方程解应用题，掌握找相等关系列方程是解题关键．设甲种商品的进价为每件元，乙种商品的进价为每件元，由商场购进件数相同的甲乙两种商品，甲种商品共用了3000元，乙种商品共用了3600元，列出方程求解即可． 【详解】解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品的进价为每件元， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为， 则乙种商品每件的进价为：（元）， 答：甲种商品每件的进价为40元，乙种商品每件的进价为48元． 26. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助几何图形的面积计算可以表示一些代数恒等式．数学活动课上，老师用图1中的1张边长为的正方形纸片、1张边长为的正方形纸片和2张长、宽分别为和的长方形纸片拼成了图2中的大正方形．观察图形并解答下列问题： （1）写出由图1和图2得到的等式：___________（用含的式子表示）； （2）若___________； （3）图1中再给一张边长为的正方形纸片，请用第（1）问的方法直接写出表示图3的等式： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式及多项式乘多项式是解题的关键． （1）分别表示出图1，图2的面积即可解答； （2）将变形为，进而得到，再将整体代入计算即可； （3）根据多项式乘多项式得出结论即可． 【小问1详解】 解：图1的面积为，图2的面积为， 则由图1和图2得到的等式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题意，得． 27. 一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． （1）如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． （2）当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． （3）当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． （4）如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 证明： 在和中 ，， （3） （4） 成立，理由如下： 在和中 【解析】 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【小问1详解】 证明：， 在和中 ，， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 同理（2）可得： ，， ． 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $