精品解析：广东省东莞市长安实验中学2025-2026学年上学期九年级数学期末考试卷

2025－2026（上）九年级数学期末自查 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，解关于的方程即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 4. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 5. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至多有1个球是黑球 C. 至少有1个球是红球 D. 至少有1个球是黑球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球， ∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球， A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不符合题意； B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； C．至少有1个球是红球，是必然事件，符合题意； D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不符合题意； 故选：C． 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越大解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点为，，， ∴与对称轴的距离分别为， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解；由题意得，， ∴劣弧的长为千米， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为2、．所写的一元二次方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的是掌握一元二次方程根与系数的关系，进行解答，即可． 【详解】设一元二次方程为：， ∵二次项系数为，两根分别为2和， ∴，， 则，， ∴一元二次方程为：． 故答案为：． 12. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及勾股定理的应用，解题的关键是明确圆锥的母线长、底面半径与高构成直角三角形，通过勾股定理求出母线长，再代入侧面积公式计算． 由底面直径求半径；用勾股定理求母线长；代入侧面积公式得结果． 【详解】圆锥的侧面积公式为（其中r为底面半径，l为圆锥的母线长）． 由底面直径为，得底面半径； 圆锥的高，母线长l、底面半径r与高h构成直角三角形（母线为斜边），由勾股定理：； 因此，侧面积为． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，由旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则， ， ∵点的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∴点对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的性质，由正切的定义可得，设，则，结合，得出，表示出矩形的面积，再由二次函数的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，为， 故答案为：． 三．解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴， 17. 如图，已知点、、． （1）将绕点逆时针旋转得，画出． （2）画出关于原点成中心对称的图形． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查作图能力，掌握轴对称的性质和中心对称的性质是解题的关键， （1）根据旋转的性质确定点，顺次连线即可； （2）根据中心对称的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． （1）利用，，即可证明； （2）由相似三角形的性质可得，代入，计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）． 19. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 0.982 0.983 （1）求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是______（精确到0.01）； （2）如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ （3）这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 【答案】（1）0.983，0.98 （2）49000顶 （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用树状图求概率，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可；由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一顶头盔是合格品的概率为； （2）用5000乘以合格品的概率求解即可． （3）列树状图求解即可． 【小问1详解】 解：， 由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动，所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 答：估计这批头盔中合格品的有49000顶头盔． 【小问3详解】 解：如图，画出树状图 根据树状图可知，共有6种可能情况，刚好一人取到蓝色，一人取到红色有2种可能情况， 刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率． 20. 如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，． （1）判断直线与的位置关系．并说明理由； （2）若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 与相切，理由如下： 如图，连接、， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）先求出，，再由计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点， ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、等边三角形的性质、扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米﹒ （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2-ax+25a-150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 【答案】(1)4a2-320a+6000；(2) 通道的宽为5米；(3) 318000元．   【解析】 【详解】分析：(1)、用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；(2)、根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；(3)、根据方程有两个相等的实数根求得a的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可． 详解：(1)、由图可知，花圃的面积为（100-2a）（60-2a）=4a2-320a+6000； (2)、由已知可列式：100×60-（100-2a）（60-2a）=×100×60， 解得：a1=5，a2=75（舍去），所以通道的宽为5米； (3)、∵方程x2-ax+25 a-150=0有两个相等的实根， ∴△=a2-25a+150=0，解得：a1=10，a2=15， ∵5≤a≤12， ∴a=10． 设修建的花圃的造价为y元，y=55.625S； 当a=10时，S花圃=80×40=3200（m2）；y花圃=3200×55.625=178000（元）， S通道=100×60-80×40=2800（m2）；y通道=2800×50=140000（元）， 造价和：178000+140000=318000（元）．   点睛：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 23. 【问题情境】如图1，图2，图3，四边形为正方形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转到，点的对应点为点，连接． 【特例】（1）如图1，当点位于边上，时，若，则______（用含的代数式表示）； 【探究】（2）若点位于射线上，射线与射线交于点． ①如图2，当点位于边上时，求证：； ②若，当时，求的长； 【拓展】（3）如图3，若，正方形的边长为8，则的最大值为______． 【答案】（1）； （2）①证明：当点位于边上时， 由题意可得：为等腰直角三角形，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②或； （3） 【解析】 【分析】（1）当点位于边上，由题意可得为等腰直角三角形，，，由正方形的性质可得，从而得出、、在一条直线上，证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （2）①当点位于边上时，由题意可得为等腰直角三角形，，，先证明，再结合，即可得出；②当点位于边上时，由正方形的性质可得，由①可得，由相似三角形的性质可得，设，则，代入计算得出；当点位于的延长线上时，证明；得出，设，则，代入计算得出，即可得出结果； （3）连接，证明，得出，从而可得，即可得出点在以点为圆心，为半径的圆上，再由当点在的延长线上时，取得最大值，求出结果． 【详解】解：（1）当点位于边上， 由题意可得：为等腰直角三角形，，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴、、在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②当点位于边上时， ∵四边形为正方形， ∴， 由①可得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 当点位于的延长线上时，如图： ， 由题意可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 设，则， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，的长为或； （3）如图，连接， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意可得，为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在的延长线上时，取得最大值，为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026（上）九年级数学期末自查 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至多有1个球是黑球 C. 至少有1个球是红球 D. 至少有1个球是黑球 6. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ） A. （千米） B. （千米） C. （千米） D. （千米） 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 写一个一元二次方程，使它的二次项系数为1，且两个根分别为2、．所写的一元二次方程为____________． 12. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 13. 小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为______．（结果保留） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______． 15. 一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 三．解答题（每小题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 如图，已知点、、． （1）将绕点逆时针旋转得，画出． （2）画出关于原点成中心对称的图形． 18. 如图，在中，是上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 500 1000 1500 2000 3000 4000 合格品数 490 984 1470 1966 2946 3932 合格品频率 0.980 0.984 0.980 0.982 0.983 （1）求出表中______，估计这批头盔中任意抽取一顶头盔是合格品的概率是______（精确到0.01）； （2）如果该厂生产的一批头盔共有50000顶，请估计这批头盔中合格的有多少顶？ （3）这批头盔共有红、白、蓝三种颜色，小明的妈妈把这三种颜色的头盔各买了一个．周末，小明和姐姐出门玩，随机各取了一个，请用列表或画树状图的方法求出刚好一人取到蓝色，一人取到红色的概率是多少？ 20. 如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，． （1）判断直线与的位置关系．并说明理由； （2）若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 21. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米﹒ （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2-ax+25a-150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 23. 【问题情境】如图1，图2，图3，四边形为正方形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转到，点的对应点为点，连接． 【特例】（1）如图1，当点位于边上，时，若，则______（用含的代数式表示）； 【探究】（2）若点位于射线上，射线与射线交于点． ①如图2，当点位于边上时，求证：； ②若，当时，求的长； 【拓展】（3）如图3，若，正方形的边长为8，则的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $