第四单元 圆柱和圆锥（知识清单）数学冀教版六年级下册

第四单元 圆柱和圆锥 单元知识清单讲义 知识点一：认识圆柱、圆柱的组成部分 1.圆柱的形成:圆柱是以长方形的一条边为轴旋转得到的;也可以由长方形卷起来得到。 2.圆柱各部分的名称及其特征: (1)圆柱的上、下两个面都是圆形的,大小相同,叫做底面。 (2)圆柱周围的面是曲面,我们叫它侧面。 (3)圆柱两底之间的距离叫做高,一个圆柱有无数条高,它们都相等。 知识点二：圆柱的侧面以及侧面积的求法 1.圆柱的侧面展开图及其形状: (1)沿着高展开,展开图是长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高;当底面周长和高相等时(h=2πr),侧面展开图为正方形。 (2)如果不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形。 (3)无论如何展开都得不到梯形。 2.圆柱的侧面展开后各个部分与圆柱的关系: 展开后长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高。 3.圆柱的侧面积=底面的周长×高,即S侧=Ch=πd×h=2πr×h。 知识点三：圆柱的表面积的计算 1.圆柱的侧面积加上两个底面的面积就是圆柱的表面积。 2.圆柱的表面积=2×底面积+侧面积,即S表=S侧+S底×2=2πr×h+2πr2。 3.圆柱的切割引起表面积的变化: (1)横切:切面是圆,表面积增加2个底面积,即S增=2πr2。 (2)竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2r,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh。 知识点四：圆柱表面积的计算在实际生活中的应用 在实际生活中,有时需要计算圆柱的表面积,如制作水桶时,不要上底面;制作圆柱形通风管时,不需要两个底面,这时需要计算圆柱的侧面积。 知识点五：圆柱的体积以及计算公式的推导 1.圆柱的体积:圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。 2. (1)圆柱切拼成近似的长方体,分的份数越多,拼成的图形越接近长方体。 (2)长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为V柱=Sh=πr2h。 知识点六：容积的意义 容器的容积:容器所能容纳物体的多少叫做容器的容积。 知识点七：容积与体积的区别 1.意义不同:体积是指物体所占空间的大小。容积是指容器(杯子、盒子、油桶等)所能容纳物体的大小(即内部体积)。 2.度量方法不同:计算体积时是从物体的外面去测量。例如:计算用玻璃做成的长方体鱼缸的体积,就要从外面去分别测量出长方体鱼缸的长、宽、高;如果要计算这个长方体鱼缸的容积(或容量),就必须从鱼缸的里面去测量,因为做鱼缸的玻璃是有一定厚度的。 3.计量单位不同:计算物体的体积,必须使用体积单位“立方米、立方分米、立方厘米”等。计算容积一般使用容积单位“升、毫升”;但计算较大物体的容积时,也拿体积单位“立方米”来通用,因为升和毫升只限于计量液体,如桶装的汽油、小瓶装的药水。 知识点八：圆锥的认识、圆锥体积的计算 　　 1.圆锥的认识: (1)底面:圆锥的底面是一个圆。 (2)侧面:圆锥的侧面是一个曲面,展开图是扇形。 (3)高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高,圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积:一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。 3.一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的。根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h),得出圆锥体积公式:V=Sh。 4.圆柱与圆锥的关系: (1)与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。 (2)体积和高都相等的圆锥与圆柱,圆锥的底面积是圆柱的3倍。 5.计算组合图形的体积时,一般先分别求出基本图形的体积,再相加求和。 题型1：圆柱的表面积 【例1】压路机的滚筒滚动一周，压路的面积是多少平方米？是求（    ）。 A．滚筒的表面积B．滚筒的侧面积 C．滚筒的体积 D．滚筒的底面积 【答案】B 【分析】压路机的滚筒是圆柱体，滚动一周时，只有侧面与地面接触，因此压路面积是圆柱的侧面积。 【详解】据分析可知，压路机滚筒滚动一周，压路面积等于滚筒的侧面积。所以是求滚筒的侧面积。 故答案为：B 【练1】有一个圆柱，底面直径是4厘米，若高减少4厘米，则表面积减少（    ）平方厘米。 A．12.56 B．16 C．32 D．50.24 【答案】D 【分析】当圆柱的高减少时，表面积减少的部分仅来自侧面积的减少。侧面积的计算公式为底面周长×高。底面周长为π×直径，即3.14×4＝12.56厘米，用底面周长乘高减少的4厘米，即可求出减少的表面积。 【详解】 （平方厘米） 表面积减少50.24平方厘米。 故答案为：D 【练2】这个圆柱（如图所示）是由下面（    ）长方形纸卷成的。 A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，用一张长方形纸卷成一个底面直径是2cm、高是3cm的圆柱，那么圆柱的底面周长等于长方形的长，圆柱的高等于长方形的宽；根据圆的周长公式C＝πd求出圆柱的底面周长；再从四个选项中找出符合条件的长方形即可。 【详解】长方形的长：3.14×2＝6.28（cm） 长方形的宽：3cm； 这个圆柱是由长6.28cm、宽3cm的长方形纸卷成的。 故答案为：B 题型2：圆柱的体积 【例1】不计算，估算下面第（    ）个圆柱的体积最大。 A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积分别计算出每个选项的体积，再比较。在计算的过程中可以不需要将π算出。 【详解】A． ＝ ＝ ＝（dm2） B． ＝ ＝ ＝（dm2） C． ＝ ＝ ＝（dm2） D． ＝ ＝ ＝（dm2） 故答案为：C 【练1】圆柱的底面积扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的（    ）。 A．6倍 B．4倍 C．12倍 D．5倍 【答案】A 【分析】设原来圆柱的底面积和高都是1，则扩大后圆柱的底面积是1×2；高是1×3；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出原来圆柱和扩大后圆柱的体积，再相除，即可求出体积扩大到原来的几倍。 【详解】设原来圆柱的底面积和高都是1。 则扩大后圆柱的面积是1×2＝2，高是1×3＝3。 （2×3）÷（1×1） ＝6÷1 ＝6 圆柱的底面积扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的6倍。 故答案为：A 【点睛】本题考查圆柱的体积计算公式的灵活运用，用赋值法，直接求出原来圆柱和扩大后圆柱的体积，更直观。 【练2】把一个圆柱削成最大的长方体，圆柱的体积和长方体的体积比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个圆柱削成一个最大的长方体，长方体的底面是正方形，圆柱的高等于长方体的高；圆柱的底面直径是长方体的底面（正方形）的对角线；设圆柱的底面半径为r，高为h，则长方体的底面积为2r2，再根据圆柱的体积公式：圆柱体积＝底面积×高；长方体的体积公式：长方体体积＝底面积×高，分别求出圆柱体积和长方体的体积，再进行比，即可解答。 【详解】设圆柱的半径为r，高为h；则长方体的底面积为2r2。 圆柱体积∶长方体体积： π×r2×h∶2r2×h ＝π∶2 故答案选：B 【点睛】本题考查圆柱体积公式、长方体体积公式的应用，比的意义；关键明确圆内画最大图形时正方形面积最大。 题型3：容积 【例1】去福建省游玩，除了鼓浪屿等必去的地方之外，厦门的温泉也是很值得体验的。李叔叔他们旅行团去的一个圆柱形温泉池的容积是18.84立方米，温泉池的底面直径是4米，则温泉池的深度是（    ）。 A．2米 B．1.5米 C．3米 D．0.375米 【答案】B 【分析】根据题意，求温泉池的深度就是求圆柱的高。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，据此先求出圆柱的底面积，再用容积除以底面积即可求出圆柱的高。 【详解】3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 18.84÷12.56＝1.5（米） 则温泉池的深度是1.5米。 故答案为：B 【点睛】本题考查圆柱容积的应用。掌握并灵活运用圆柱的容积公式是解题的关键。 【练1】修一个底面直径是4米，深是2.4米（内部量）的圆柱形蓄水池，这个蓄水池最多可蓄水（    ）立方米。 A．30.144 B．12.56 C．25.12 D．50.24 【答案】A 【分析】根据圆柱的容积公式：底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×2.4 ＝3.14×4×2.4 ＝12.56×2.4 ＝30.144（立方米） 故答案为：A 【点睛】本题考查圆柱的容积公式的应用，关键是熟记公式。 【练2】王阿姨新买了一支净含量100ml洗面奶，洗一次脸用2ml，一天用两次洗面奶，这支洗面奶可以用（    ）天。 A．30 B．20 C．10 D．25 【答案】D 【解析】用净含量除以一天的用量得可以用的天数。 【详解】100÷2÷2 ＝50÷2 ＝25（天） 故选D。 【点睛】本题考查学生对容积在生活中应用的掌握。 题型4：圆锥 【例1】一个圆锥和一个圆柱的底面半径之比是，高的比是，则圆柱和圆锥的体积比是（    ）。 A．2∶3 B．6∶1 C．3∶2 D．1∶6 【答案】C 【分析】圆柱体积公式：V＝πr2h（r是圆柱底面半径，h是圆柱的高）。圆锥体积公式：V＝πr2h（r是圆锥底面半径，h是圆锥的高）。 圆锥和圆柱的底面半径之比是，高的比是。把圆锥的底面半径和高分别看作2和1，圆柱的底面半径和高分别看作1和2，把数据代入圆锥和圆柱的体积公式计算后再相比即可。 【详解】把圆锥的底面半径和高分别看作2和1，圆柱的底面半径和高分别看作1和2。 圆柱体积： π×12×2 ＝π×1×2 ＝2π 圆锥体积： ×π×22×1 ＝×π×4×1 ＝×π×4 ＝π 2π∶π ＝（2π÷π）∶（π÷π） ＝（2×）∶（×） ＝3∶2 圆柱和圆锥的体积比是3∶2。 故答案为：C 【练1】一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，如果圆锥的底面积是4.5cm2，那么圆柱的底面积是（    ）cm2。 A．1.5 B．4.5 C．9 D．13.5 【答案】A 【分析】圆柱的体积＝圆锥的体积，即圆柱的底面积×高＝圆锥的底面积×高×，高也相等，即圆柱的底面积＝圆锥的底面积×，据此求出圆柱的底面积。 【详解】4.5×＝1.5（cm2） 一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，如果圆锥的底面积是4.5cm2，那么圆柱的底面积是1.5cm2。 故答案为：A 【练2】一个圆柱和一个圆锥的底面积和高都相等，圆锥的体积比圆柱的体积少36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．18 B．54 C．72 D．108 【答案】B 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，根据差倍问题的解题方法，圆柱和圆锥的体积差÷（倍数－1）＝圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。 【详解】36÷（3－1）×3 ＝36÷2×3 ＝54（立方分米） 这个圆柱的体积是54立方厘米。 故答案为：B 题型4：组合图形的体积 【例1】陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 【答案】C 【分析】从图中可知，陀螺的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个陀螺的体积。 【详解】π×（6÷2）2×6＋×π×（6÷2）2×3 ＝π×32×6＋×π×32×3 ＝π×9×6＋×π×9×3 ＝54π＋9π ＝63π（立方厘米） 这个陀螺的体积大约是63π立方厘米。 故答案为：C 【练1】把下图的直角梯形以边所在的直线为轴，旋转一周，得到的立体图形的体积是（    ）。（单位：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直角梯形以边所在的直线为轴，旋转一周，上半部分得到一个圆锥，下半部分得到一个圆柱。圆锥的底面半径等于边的长，为，圆锥的高为，圆柱的底面半径等于边的长，为，圆柱的高等于边的长，为，据此求出圆柱和圆锥的体积，加起来即可。 【详解】圆锥的体积为 圆柱的体积为 上、下两部分的体积相加得到立体图形的体积为 故答案为：B 【点睛】关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高×。 【练2】一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24cm2，原来这个物体的体积是（　　）。 A．200.96cm3 B．226.08cm3 C．301.44cm3 D．401.92cm3 【答案】A 【分析】根据题意可知：如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米，表面积增加的两个底面的面积，由此可以求出底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝sh，圆锥的体积公式：V＝sh，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可。 【详解】50.24÷2＝25.12（平方厘米） 25.12×6×25.12×（12﹣6） ＝150.72＋×25.12×6 ＝150.72＋50.24 ＝200.96（立方厘米） 答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米。 故答案为：A 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积应用。 一、选择题 1．将一个圆柱形铝块熔铸成一个圆锥，它的（    ）不变。 A．侧面积 B．表面积 C．体积 D．容积 【答案】C 【分析】将圆柱体铝块熔铸成圆锥，铝块的形状发生变化，但是铝块所占空间的大小不变。 【详解】则将一个圆柱形铝块熔铸成一个圆锥，它的体积不变。 故答案为：C 2．体积和底面积都相等的圆柱和圆锥，圆柱高6厘米，圆锥高（    ）。 A．2厘米 B．6厘米 C．12厘米 D．18厘米 【答案】D 【分析】因为圆柱的高＝体积÷底面积，圆锥的高＝体积×3÷底面积，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍，据此解答。 【详解】6×3＝18（厘米） 圆锥高18厘米。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式、圆锥的体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 3．以下面三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到圆锥体的体积最大是（    ）。    A．113.4cm3 B．37.68cm3 C．150.72cm3 D．50.24cm3 【答案】D 【分析】三角形的直角边分别是3cm和4cm，根据圆锥的体积公式：V＝Sh，要使得到的圆锥的体积最大，也就是以直角三角形的直角边（3cm）为轴旋转，得到的圆锥的底面半径是4cm，高是3cm，把数据代入公式即可得解。 【详解】×3.14×42×3 ＝×3.14×16×3 ＝3.14×16 ＝50.24（cm3） 得到圆锥体的体积最大是50.24cm3。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 4．圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，则圆柱的侧面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】假设出原来圆柱的底面半径和高，利用圆柱的侧面积公式“C＝2πrh”表示出原来和现在圆柱的侧面积，再用除法求出圆柱的侧面积扩大的倍数，据此解答。 【详解】假设原来圆柱的底面半径为r，高为h，扩大后的半径为3r。 2π×（3r）×h÷（2πrh） ＝6πrh÷2πrh ＝3 所以圆柱的侧面积扩大到原来的3倍。 故答案为：A 【点睛】掌握圆柱的侧面积计算公式是解答题目的关键。 5．奇思用一张长方形纸片（如图）沿两边围成不同的圆柱形纸筒，并给这两个纸筒都配上两个底面，下面说法正确的是（    ） A．甲、乙圆柱的体积相等 B．甲、乙圆柱的表面积相等 C．甲圆柱体积大于乙圆柱体积 D．乙圆柱表面积大于甲圆柱表面积 【答案】C 【分析】因为这个长方形的纸围成圆柱形就是这个圆柱的侧面积，所以这两个圆柱的侧面积相等，但是底面半径不同，所以表面积不相等。 假设长方形的长是a，宽是b，那么甲的体积是：，乙的体积是： 所以甲乙的体积跟长方形的长和宽有关，因为a大于b，所以甲的体积大于乙的体积。 【详解】A．根据分析甲体积要大，所以A选项错误； B．因为两个圆柱的侧面积相等，但是底面积不相等，所以表面积不相等，B选项错误； C．因根据分析可知甲的体积大于乙的体积，所以C选项正确； D．因为甲圆柱的底面积大于乙圆柱的底面积，所以甲的表面积大于乙的表面积，所以D选项错误； 故答案为：C 【点睛】本题中两个圆柱的侧面积是相等的。 二、填空题 6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积大24dm3，圆柱的体积是( )dm3，圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 36 12 【分析】等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份。所以圆柱体积比圆锥体积多的份数为：3－1＝2（份）。已知圆柱的体积比圆锥的体积大24dm3，且多的体积对应的是2份，所以1份的体积（圆锥体积）为：24÷2＝12（dm3）。因为圆柱体积是3份，所以圆柱体积为：12×3＝36（dm3）。 【详解】等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份。 3－1＝2（份） 24÷2＝12（dm3） 12×3＝36（dm3） 圆柱的体积是36dm3，圆锥的体积是12dm3。 7．把一个圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积增加100平方分米，若圆柱的高是10分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】785 【分析】将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，拼成的长方体表面积比圆柱多了左右两个长方形的面积，这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径；已知圆柱的高是10分米，表面积增加了100平方分米，先用增加的表面积除以2计算出1个长方形的面积，再除以高就是圆柱的底面半径；最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h计算出圆柱的体积。 【详解】100÷2÷10 ＝50÷10 ＝5（分米） 3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝78.5×10 ＝785（立方分米） 那么圆柱的体积是785立方分米。 8．笑笑要把高为10厘米，底面半径为2厘米的圆柱形橡皮泥捏成高为3厘米，底面半径为2厘米的圆锥，能捏( )个。 【答案】10 【分析】先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱、圆锥的体积，再用圆柱的体积除以圆锥的体积，即可求出能捏的个数。 【详解】3.14×22×10 ＝3.14×4×10 ＝125.6（立方厘米） ×3.14×22×3 ＝×3.14×4×3 ＝12.56（立方厘米） 125.6÷12.56＝10（个） 能捏10个。 9．如图所示，把一个高是10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。拼成后的长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了80平方厘米，原来圆柱的侧面积是( )平方厘米。 【答案】251.2 【分析】根据题意，拼组后表面积增加两个以圆柱的底面半径和高为边长的长方形的面积，由此先求出圆柱的底面半径，再利用圆柱的侧面积公式：侧面积＝圆柱底面周长×高，代入数据，即可解答。 【详解】底面半径为：80÷2÷10 ＝40÷10 ＝4（厘米） 侧面积为： 3.14×4×2×10 ＝12.56×2×10 ＝251.2（平方厘米） 故原来圆柱的侧面积是251.2平方厘米。 10．一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是3∶5，高的比是4∶3，则体积的最简整数比是( )。 【答案】12∶5 【分析】圆柱和圆锥底面积的比是3∶5，可以把圆柱的底面积看作3，圆锥的底面积看作5；高的比是4∶3，可以把圆柱的高看作4，圆锥的高看作3。根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据计算，分别求出圆柱和圆锥的体积。最后写出它们的体积比。 【详解】通过分析可得： （3×4）∶（5×3×）＝12∶5 则体积的最简整数比是12∶5。 11．圆柱的上、下两个面是( )形，叫做圆柱的( )面。圆柱的侧面是一个( )面。圆柱两底之间的距离叫做圆柱的( )，一个圆柱有( )条高。 【答案】 圆 底 曲 高 无数 【分析】根据对圆柱的认识可知：圆柱有两个底面和一个侧面，上、下底面是两个完全相同的圆，侧面是一个曲面，侧面沿着高展开是一个长方形；圆柱上下两个底面之间的距离叫作高，因为圆柱上、下两个底面是平行的，所以上、下两个底面之间的距离处处相等，即一个圆柱有无数条高，据此解答。 【详解】圆柱的上、下两个面是圆形，叫做圆柱的底面。圆柱的侧面是一个曲面。圆柱两底之间的距离叫做圆柱的高，一个圆柱有无数条高。 12．甲圆柱与乙圆柱的高相等，甲圆柱的底面半径是乙圆柱底面半径的2倍。甲圆柱的体积是乙圆柱体积的( )倍。 【答案】4 【分析】根据题意，甲圆柱与乙圆柱的高相等，设高为h；甲圆柱的底面半径是乙圆柱底面半径的2倍，设乙圆柱的底面半径为r，则甲圆柱的底面半径为2r，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，分别求出甲圆柱的体积与乙圆柱的体积，再用甲圆柱的体积除以乙圆柱的体积，即可解答。 【详解】设乙圆柱的底面半径为r，则甲圆柱的底面半径为2r，甲圆柱与乙圆柱的高相等，设高为h。 [π×（2r）2×h]÷（πr2h） ＝[4πr2h]÷（πr2h） ＝4 甲圆柱与乙圆柱的高相等，甲圆柱的底面半径是乙圆柱底面半径的2倍。甲圆柱的体积是乙圆柱体积的4倍。 13．将一个圆柱的侧面展开，展开图的长是15.7厘米，宽是3厘米。这个圆柱的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 86.35平方厘米/86.35cm2 58.875立方厘米/58.875cm3 【分析】根据题意可知，圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S底＝πr2，以及圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出它的表面积和体积。 【详解】圆柱的底面半径： 15.7÷3.14÷2 ＝5÷2 ＝2.5（厘米） 圆柱的表面积： 15.7×3＋3.14×2.52×2 ＝15.7×3＋3.14×6.25×2 ＝47.1＋39.25 ＝86.35（平方厘米） 圆柱的体积： V＝3.14×2.52×3 ＝3.14×6.25×3 ＝19.625×3 ＝58.875（立方厘米） 这个圆柱的表面积是86.35平方厘米，体积是58.875立方厘米。 14．把一个圆柱形木料（如下图）加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的( )，是削去废料体积的( )。 【答案】 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的；把圆柱的体积看作单位“1”，则圆锥的体积，削去废料的体积是1－，求出削去废料的体积，再用圆锥的体积除以削去废料的体积，即可求出圆锥的体积是削去废料体积的几分之几，据此解答。 【详解】把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的。 ÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的，是削去废料体积的。 15．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽3米，直径2米。前轮转动一周，向前行驶( )米，压路的面积是( )平方米。 【答案】 6.28 18.84 【分析】根据圆周长公式：C＝πd，用3.14×2即可求出滚动一圈的长度；再根据圆柱的侧面积公式：S＝Ch，用3.14×2×3即可求出压路的面积。 【详解】3.14×2＝6.28（米） 6.28×3＝18.84（平方米） 前轮转动一周，向前行驶6.28米，压路的面积是18.84平方米。 【点睛】本题主要考查了圆周长公式以及圆柱侧面积公式的应用，要熟练掌握公式。 16．如图，圆柱的底面直径是( )cm，一个底面的面积是( )cm2，圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 4 12.56 25.12 【分析】根据直径与半径的关系，d＝2r，圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】2×2＝4（cm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12.56×2＝25.12（cm3） 圆柱的底面直径是4cm，一个底面的面积是12.56cm2，圆柱的体积是25.12cm3。 【点睛】本题主要考查了圆柱的体积和圆的面积的计算方法的灵活运用。 17．将一根6m长的圆柱形木料截成3段圆柱，表面积增加了44dm这根木料的底面积是( )dm2，分割后3段木料的体积一共是( )dm3。 【答案】 11 660 【分析】将一根6m长的圆柱形木料截成3段圆柱，表面积增加了圆柱的4个底面的面积，据此用增加的面积除以4，求圆柱底面积；利用圆柱体积公式：V＝Sh计算体积即可。 【详解】6m＝60dm 44÷4＝11（dm2） 11×60＝660（dm3） 这根木料的底面积是11dm2，分割后3段木料的体积一共是660dm3。 【点睛】本题主要考查圆柱体积公式的应用。 三、判断题 18．如果圆锥的高扩大为原来的16倍，底面半径缩小为原来的，则圆锥的体积不变。( ) 【答案】× 【分析】圆锥体积公式为（r为半径，h为高）。当高扩大为原来的16倍，半径缩小为原来的时，圆锥的体积为：，然后进行计算比较即可。 【详解】圆锥原体积： 变化后体积： ＝ ＝ 因此，体积缩小为原来的，原说法错误。 故答案为：× 19．圆柱与圆锥体积的比是3∶1。( ) 【答案】× 【分析】在等底等高的圆柱和圆锥中，圆锥的体积是圆柱体积的，即圆柱与圆锥的体积比是3∶1。但题目中未明确说明圆柱和圆锥是等底等高。因此该说法不一定准确。 【详解】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱与圆锥的体积比是3∶1。题目未说明“等底等高”这一条件，因此体积比可能因底面积或高的不同而变化。例如：若圆柱底面积是圆锥的2倍且高相等，则圆柱与圆锥的体积比为。原说法错误。 故答案为：× 20．一支圆柱形铅笔长20厘米，把它截成同样长的两小段圆柱后，表面积增加了30平方厘米，则原来这支铅笔的体积是3立方厘米。( ) 【答案】× 【分析】把圆柱形铅笔截成两段后，表面积增加的部分是两个底面的面积。先根据增加的表面积求出圆柱的底面积，再结合圆柱的长度（高），利用圆柱体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高）计算体积，判断原说法是否正确。 【详解】求圆柱的底面积： 把铅笔截成两段后，表面积增加了30平方厘米，增加的是2个底面的面积。 所以一个底面的面积S＝30÷2＝15（平方厘米）。 求铅笔的体积： 已知铅笔长20厘米，即圆柱的高h＝20厘米。 根据圆柱体积公式V＝Sh，可得体积V＝15×20＝300（立方厘米）。 故答案为：× 21．等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的2倍。( ) 【答案】× 【分析】等底等高的圆柱和圆锥底面积相等，高也相等，由公式和可知，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 【详解】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，原题说法错误。 故答案为：× 22．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的2倍，那么这个圆柱的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。( ) 【答案】× 【分析】可以设圆柱的底面半径是1，高是1，即半径扩大原来的3倍，高扩大原来的2倍，则扩大后圆柱的半径就是3，高是2。根据圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面积×2＝和圆柱的体积，分别计算出扩大前后的表面积和体积，再比较即可。 【详解】设圆柱的底面半径是1，高是1。 圆柱的表面积： ＝ ＝ 圆柱的体积： 扩大后的半径：1×3＝3 扩大后的高：1×2＝2 扩大后的表面积： ＝ ＝ 扩大后的体积： ＝ ＝ 表面积变化： 体积变化： 则这个圆柱的表面积扩大到原来的7.5倍，体积扩大到原来的18倍。 故答案为：× 四、计算题 23．计算圆锥的体积。 【答案】1436.03cm³ 【分析】由图可知圆锥的底面直径，用直径除以2，求出底面半径，又已知圆锥的高，因此根据圆锥的体积公式，代入数值计算即可。 【详解】14÷2＝7（cm） ≈1436.03（cm³） 24．计算下图的表面积。 【答案】251.2cm2 【分析】从图中可知，小圆柱和大圆柱有重合部分，把小圆柱的上底面向下平移到重合处，补给大圆柱的上底面，这样大圆柱的表面积是完整的，而小圆柱只需计算侧面积； 组合图形的表面积＝小圆柱的侧面积＋大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积；根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】小圆柱的侧面积： 3.14×4×2＝25.12（cm2） 大圆柱的侧面积： 3.14×8×5＝125.6（cm2） 大圆柱的2个底面积： 3.14×（8÷2）2×2 ＝3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝100.48（cm2） 组合图形的表面积： 25.12＋125.6＋100.48＝251.2（cm2） 组合图形的表面积是251.2cm2。 五、解答题 25．木工张师傅将一根圆木锯成相同的两块，其中一块木料的表面积是多少？ 【答案】8.7264平方米 【分析】将圆木锯成相同的两块后，其中一块木料的表面积由三部分组成：圆柱侧面积的一半、一个圆的面积（两侧的半圆合成一个完整的圆）、一个长方形的面积。 已知圆柱的底面直径是0.8米，高是4米，根据圆柱的侧面积公式S＝πdh计算出圆柱的侧面积，再除以2计算出侧面积的一半； 已知圆柱底面直径是0.8米，计算出底面半径是0.8÷2＝0.4米，根据圆的面积公式计算出圆的面积； 长方形的长相当于圆木的长4米，宽相当于圆木的直径0.8米，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积； 最后将三部分相加即可。 【详解】3.14×0.8×4÷2 ＝2.512×4÷2 ＝10.048÷2 ＝5.024（平方米） 3.14×（0.8÷2）2 ＝3.14×0.42 ＝3.14×0.16 ＝0.5024（平方米） 4×0.8＝3.2（平方米） 5.024＋0.5024＋3.2 ＝5.5264＋3.2 ＝8.7264（平方米） 答：其中一块木料的表面积是8.7264平方米。 26．一根方钢的高是50厘米，底面是边长为12厘米的正方形，如果把它锻造成高是80厘米的圆柱形钢材，这根钢材的底面面积是多少？ 【答案】 90平方厘米 【分析】已知方钢的底面是边长为12厘米的正方形，高为50厘米，根据“长方体体积＝长 ×宽×高”计算出该方钢的体积；因为锻造前后方钢和圆柱形钢材的体积相等，所以圆柱形钢材的体积就是方钢的体积；已知圆柱形钢材的高是80厘米，然后根据“圆柱体积＝底面积×高”，用圆柱形钢材的体积除以高计算出这根钢材的底面积。据此解答。 【详解】12×12×50 ＝144×50 ＝7200（立方厘米） 7200÷80＝90（平方厘米） 答：这根钢材的底面面积是90平方厘米。 27．在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中，放入一个底面直径是10厘米的圆锥形零件，水面上升了2厘米，这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】水面上升的体积等于圆锥形零件的体积，圆柱形水槽底面直径是20厘米，则半径为20÷2＝10厘米，水面上升了2厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为水面上升的高度），把数据代入公式计算后得出水面上升的体积（即圆锥体积）。根据圆锥体积公式：V＝πr2h，则h＝V÷÷（πr2），圆锥底面直径10厘米，那么半径为10÷2＝5厘米。把圆锥体积和底面半径代入公式计算即可解答。 【详解】20÷2＝10（厘米） 3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝628（立方厘米） 10÷2＝5（厘米） 628÷÷（3.14×52） ＝628÷÷（3.14×25） ＝628÷÷78.5 ＝628×3÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：这个圆锥形零件的高是24厘米。 28．一个圆锥形麦堆，底面周长是12.56米，高1.8米，每立方米的小麦约重735千克，这堆小麦大约有多少千克？ 【答案】5538.96千克 【分析】已知一个圆锥形麦堆的底面周长是12.56米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥形麦堆的底面半径； 根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这堆小麦的体积，再乘每立方米小麦的重量，即可求出这堆小麦的总重量。 【详解】麦堆的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 小麦的体积： ×3.14×22×1.8 ＝×3.14×4×1.8 ＝7.536（立方米） 小麦的总重量： 735×7.536＝5538.96（千克） 答：这堆小麦大约有5538.96千克。 29．有一个铁皮制成的礼品盒，用塑料绳捆扎，打结处用去的绳子长18厘米。 （1）一共需要塑料绳多少厘米？ （2）做这个礼品盒至少要用多少铁皮？ （3）这个盒子的体积是多少？ 【答案】（1）298厘米 （2）3768平方厘米 （3）15700立方厘米 【分析】（1）观察可知，捆扎的塑料绳上下面是4条直径，侧面是4条高，所以用4条直径加4条高再加打结处的绳长即可得解。 （2）由题意可知，要求的是圆柱的表面积，根据，圆柱的侧面积公式，圆柱的底面积公式，代入数据计算即可。 （3）根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【详解】（1） （厘米） 答：一共需要塑料绳298厘米。 （2）（厘米） （平方厘米） 答：做这个礼品盒至少要用3768平方厘米铁皮。 （3） （立方厘米） 答：这个盒子的体积是15700立方厘米。 24 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆柱和圆锥 单元知识清单讲义 知识点一：认识圆柱、圆柱的组成部分 1.圆柱的形成:圆柱是以长方形的一条边为轴旋转得到的;也可以由长方形卷起来得到。 2.圆柱各部分的名称及其特征: (1)圆柱的上、下两个面都是圆形的,大小相同,叫做底面。 (2)圆柱周围的面是曲面,我们叫它侧面。 (3)圆柱两底之间的距离叫做高,一个圆柱有无数条高,它们都相等。 知识点二：圆柱的侧面以及侧面积的求法 1.圆柱的侧面展开图及其形状: (1)沿着高展开,展开图是长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高;当底面周长和高相等时(h=2πr),侧面展开图为正方形。 (2)如果不沿着高展开,展开图形是平行四边形或不规则图形。 (3)无论如何展开都得不到梯形。 2.圆柱的侧面展开后各个部分与圆柱的关系: 展开后长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高。 3.圆柱的侧面积=底面的周长×高,即S侧=Ch=πd×h=2πr×h。 知识点三：圆柱的表面积的计算 1.圆柱的侧面积加上两个底面的面积就是圆柱的表面积。 2.圆柱的表面积=2×底面积+侧面积,即S表=S侧+S底×2=2πr×h+2πr2。 3.圆柱的切割引起表面积的变化: (1)横切:切面是圆,表面积增加2个底面积,即S增=2πr2。 (2)竖切(过直径):切面是长方形(如果h=2r,切面为正方形),该长方形的长是圆柱的高,宽是圆柱的底面直径,表面积增加两个长方形的面积,即S增=4rh。 知识点四：圆柱表面积的计算在实际生活中的应用 在实际生活中,有时需要计算圆柱的表面积,如制作水桶时,不要上底面;制作圆柱形通风管时,不需要两个底面,这时需要计算圆柱的侧面积。 知识点五：圆柱的体积以及计算公式的推导 1.圆柱的体积:圆柱所占空间的大小,叫做这个圆柱的体积。 2. (1)圆柱切拼成近似的长方体,分的份数越多,拼成的图形越接近长方体。 (2)长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高,用字母表示为V柱=Sh=πr2h。 知识点六：容积的意义 容器的容积:容器所能容纳物体的多少叫做容器的容积。 知识点七：容积与体积的区别 1.意义不同:体积是指物体所占空间的大小。容积是指容器(杯子、盒子、油桶等)所能容纳物体的大小(即内部体积)。 2.度量方法不同:计算体积时是从物体的外面去测量。例如:计算用玻璃做成的长方体鱼缸的体积,就要从外面去分别测量出长方体鱼缸的长、宽、高;如果要计算这个长方体鱼缸的容积(或容量),就必须从鱼缸的里面去测量,因为做鱼缸的玻璃是有一定厚度的。 3.计量单位不同:计算物体的体积,必须使用体积单位“立方米、立方分米、立方厘米”等。计算容积一般使用容积单位“升、毫升”;但计算较大物体的容积时,也拿体积单位“立方米”来通用,因为升和毫升只限于计量液体,如桶装的汽油、小瓶装的药水。 知识点八：圆锥的认识、圆锥体积的计算 　　 1.圆锥的认识: (1)底面:圆锥的底面是一个圆。 (2)侧面:圆锥的侧面是一个曲面,展开图是扇形。 (3)高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高,圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积:一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。 3.一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的。根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h),得出圆锥体积公式:V=Sh。 4.圆柱与圆锥的关系: (1)与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。 (2)体积和高都相等的圆锥与圆柱,圆锥的底面积是圆柱的3倍。 5.计算组合图形的体积时,一般先分别求出基本图形的体积,再相加求和。 题型1：圆柱的表面积 【例1】压路机的滚筒滚动一周，压路的面积是多少平方米？是求（    ）。 A．滚筒的表面积B．滚筒的侧面积 C．滚筒的体积 D．滚筒的底面积 【练1】有一个圆柱，底面直径是4厘米，若高减少4厘米，则表面积减少（    ）平方厘米。 A．12.56 B．16 C．32 D．50.24 【练2】这个圆柱（如图所示）是由下面（    ）长方形纸卷成的。 A．B．C． D． 题型2：圆柱的体积 【例1】不计算，估算下面第（    ）个圆柱的体积最大。 A． B．C． D． 【练1】圆柱的底面积扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的（    ）。 A．6倍 B．4倍 C．12倍 D．5倍 【练2】把一个圆柱削成最大的长方体，圆柱的体积和长方体的体积比是（    ）。 A． B． C． D． 题型3：容积 【例1】去福建省游玩，除了鼓浪屿等必去的地方之外，厦门的温泉也是很值得体验的。李叔叔他们旅行团去的一个圆柱形温泉池的容积是18.84立方米，温泉池的底面直径是4米，则温泉池的深度是（    ）。 A．2米 B．1.5米 C．3米 D．0.375米 【练1】修一个底面直径是4米，深是2.4米（内部量）的圆柱形蓄水池，这个蓄水池最多可蓄水（    ）立方米。 A．30.144 B．12.56 C．25.12 D．50.24 【练2】王阿姨新买了一支净含量100ml洗面奶，洗一次脸用2ml，一天用两次洗面奶，这支洗面奶可以用（    ）天。 A．30 B．20 C．10 D．25 题型4：圆锥 【例1】一个圆锥和一个圆柱的底面半径之比是，高的比是，则圆柱和圆锥的体积比是（    ）。 A．2∶3 B．6∶1 C．3∶2 D．1∶6 【练1】一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，如果圆锥的底面积是4.5cm2，那么圆柱的底面积是（    ）cm2。 A．1.5 B．4.5 C．9 D．13.5 【练2】一个圆柱和一个圆锥的底面积和高都相等，圆锥的体积比圆柱的体积少36立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．18 B．54 C．72 D．108 题型4：组合图形的体积 【例1】陀螺在我国最少有四、五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。小刚有一个木制陀螺（如下图），这个陀螺的体积大约是（    ）立方厘米。 A．9π B．54π C．63π D．81π 【练1】把下图的直角梯形以边所在的直线为轴，旋转一周，得到的立体图形的体积是（    ）。（单位：） A． B． C． D． 【练2】一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24cm2，原来这个物体的体积是（　　）。 A．200.96cm3 B．226.08cm3 C．301.44cm3 D．401.92cm3 一、选择题 1．将一个圆柱形铝块熔铸成一个圆锥，它的（    ）不变。 A．侧面积 B．表面积 C．体积 D．容积 2．体积和底面积都相等的圆柱和圆锥，圆柱高6厘米，圆锥高（    ）。 A．2厘米 B．6厘米 C．12厘米 D．18厘米 3．以下面三角形的一条直角边为轴旋转一周，得到圆锥体的体积最大是（    ）。    A．113.4cm3 B．37.68cm3 C．150.72cm3 D．50.24cm3 4．圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的3倍，则圆柱的侧面积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．18 5．奇思用一张长方形纸片（如图）沿两边围成不同的圆柱形纸筒，并给这两个纸筒都配上两个底面，下面说法正确的是（    ） A．甲、乙圆柱的体积相等 B．甲、乙圆柱的表面积相等 C．甲圆柱体积大于乙圆柱体积 D．乙圆柱表面积大于甲圆柱表面积 二、填空题 6．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱的体积比圆锥的体积大24dm3，圆柱的体积是( )dm3，圆锥的体积是( )dm3。 7．把一个圆柱平均分成若干份，拼成一个近似的长方体，表面积增加100平方分米，若圆柱的高是10分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 8．笑笑要把高为10厘米，底面半径为2厘米的圆柱形橡皮泥捏成高为3厘米，底面半径为2厘米的圆锥，能捏( )个。 9．如图所示，把一个高是10厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。拼成后的长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了80平方厘米，原来圆柱的侧面积是( )平方厘米。 10．一个圆柱和一个圆锥，它们底面积的比是3∶5，高的比是4∶3，则体积的最简整数比是( )。 11．圆柱的上、下两个面是( )形，叫做圆柱的( )面。圆柱的侧面是一个( )面。圆柱两底之间的距离叫做圆柱的( )，一个圆柱有( )条高。 12．甲圆柱与乙圆柱的高相等，甲圆柱的底面半径是乙圆柱底面半径的2倍。甲圆柱的体积是乙圆柱体积的( )倍。 13．将一个圆柱的侧面展开，展开图的长是15.7厘米，宽是3厘米。这个圆柱的表面积是( )，体积是( )。 14．把一个圆柱形木料（如下图）加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的( )，是削去废料体积的( )。 15．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽3米，直径2米。前轮转动一周，向前行驶( )米，压路的面积是( )平方米。 16．如图，圆柱的底面直径是( )cm，一个底面的面积是( )cm2，圆柱的体积是( )cm3。 17．将一根6m长的圆柱形木料截成3段圆柱，表面积增加了44dm这根木料的底面积是( )dm2，分割后3段木料的体积一共是( )dm3。 三、判断题 18．如果圆锥的高扩大为原来的16倍，底面半径缩小为原来的，则圆锥的体积不变。( ) 19．圆柱与圆锥体积的比是3∶1。( ) 20．一支圆柱形铅笔长20厘米，把它截成同样长的两小段圆柱后，表面积增加了30平方厘米，则原来这支铅笔的体积是3立方厘米。( ) 21．等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的2倍。( ) 22．圆柱的底面半径扩大到原来的3倍，高扩大到原来的2倍，那么这个圆柱的表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。( ) 四、计算题 23．计算圆锥的体积。 24．计算下图的表面积。 五、解答题 25．木工张师傅将一根圆木锯成相同的两块，其中一块木料的表面积是多少？ 26．一根方钢的高是50厘米，底面是边长为12厘米的正方形，如果把它锻造成高是80厘米的圆柱形钢材，这根钢材的底面面积是多少？ 27．在一个底面直径是20厘米的圆柱形水槽中，放入一个底面直径是10厘米的圆锥形零件，水面上升了2厘米，这个圆锥形零件的高是多少厘米？ 28．一个圆锥形麦堆，底面周长是12.56米，高1.8米，每立方米的小麦约重735千克，这堆小麦大约有多少千克？ 29．有一个铁皮制成的礼品盒，用塑料绳捆扎，打结处用去的绳子长18厘米。 （1）一共需要塑料绳多少厘米？ （2）做这个礼品盒至少要用多少铁皮？ （3）这个盒子的体积是多少？ 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $