第三单元 正比例 反比例（知识清单）数学冀教版六年级下册

第三单元 正比例　反比例单元知识清单讲义 知识点一：正比例的量(正比例关系) 1.变化的量:生活中存在着大量互相依存的变量,一种量变化,另一种量也随着变化。 2.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。 3.正比例关系两种相关联的量的变化规律: 一种量扩大(缩小),另一种量也同时扩大(缩小) 知识点二：判断两种量是否成正比例 运用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量,虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例,如被减数与差;正方形的面积与边长。总价随着数量的变化而变化,总价和数量的比值(单价)是一定的,我们就说,总价和数量是成正比例的量。 知识点三：反比例的量(反比例关系) 1.反比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。 2.反比例关系两种相关联的量的变化规律: 一种量扩大(缩小),另一种量缩小(扩大) 知识点四：判断两种量是否成反比例 判断两种量是否成反比例的方法:关键是看这两个相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定,如果乘积一定,就成反比例。 例如:长方形的长×宽=长方形的面积(一定),长和宽是成反比例的量;每本的页数×装订的本数=纸的总页数(一定),每本的页数和装订的本数是成反比例的量。 知识点五：正、反比例的字母表达式 1.用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示一定的量,那么成正比例的关系可以写成:=k(一定)。 2.用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示一定的量,那么成反比例的关系可以写成:x×y=k(一定)。 3.正比例和反比例有什么相同点和不同点? (1)相同点:正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系,即一种量变化,另一种量也随着变化。 (2)不同点:正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值(商)一定;反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定。 4.根据关系式,说出哪种量一定,哪两种量成正比例或反比例。 当a×b=c(a、b、c 为三种量,且均不为0)时,若c一定,a与b成反比例;a一定时,b与c成正比例;b一定时,a与c成正比例。 题型1：正比例反比例的意义及辨析 【例1】如果，（a、b均不为0），那么和b（    ）。 A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 D．无法判断 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此把等式变形为，即可判断。 【详解】因为 所以（一定），比值一定，因此和成正比例。 故答案为：B 【练1】正方形的周长一定，边长和边长（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】C 【分析】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【详解】根据正方形的周长＝边长×边长可知，正方形的周长一定，那么正方形的边长就一定，边长和边长就是两个定量，不是变量，所以正方形的周长一定，边长和边长不成比例。 故答案为：C 【练2】下面关于正比例和反比例的四个说法，正确的是（    ）。 ①正比例的图像是一条直线。 ②《我们爱科学》的单价一定，订阅的费用和订阅的数量成正比例。 ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系。 ④路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】正比例：两个相关联的量的比值一定，则这两个相关联的量成正比例关系；反比例：两个相关联的量乘积一定，则成反比例关系；正比例图像：经过原点的直线，据此即可逐项分析。 【详解】①正比例的图形是经过原点的直线，所以它的图形是一条直线说法正确； ②订阅费用＝单价×数量，即单价＝，由于单价一定，则比值一定，所以订阅的费用和订阅的数量成正比例关系，说法正确； ③圆柱的体积＝底面积×高，即底面积＝，由于底面积一定，则比值一定，圆柱的体积和高成正比例关系，原说法错误； ④路程＝已走的路程＋剩下的路程，两个相关联的量不是乘除法，所以不成比例，原说法正确。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查正比例反比例的意义，熟练掌握它们的辨认方法并灵活运用。 题型2：正比例图象的认识 【例1】有两个相关联的量的关系可以用如图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．教室的面积一定，每块砖的面积和方砖的块数 B．某制衣厂生产一批衬衫，每天生产的数量和所需天数 C．某班已完成课堂练习的人数和未完成课堂练习的人数 D．某科普书的单价一定，购买的数量和所用总钱数 【答案】D 【分析】从图中可以看出，该图像是一条过原点的直线，说明两个相关联的量成正比例关系，即两个量的比值一定。据此分析各选项，进而得出答案。 【详解】A．根据“教室的面积＝每块砖的面积×方砖的块数”，当教室的面积一定时，每块砖的面积越大，所需方砖的块数越少，每块砖的面积和方砖的块数的乘积一定，二者不成正比例关系，不符合图像特征； B．根据“这批衬衫的总数＝每天生产的数量×所需天数”，当衬衫总数一定时，每天生产的数量越多，所需天数越少，每天生产的数量和所需天数的乘积一定，二者不成正比例关系，不符合图像特征； C．根据“班级总人数＝已完成课堂练习的人数＋未完成课堂练习的人数”，已完成课堂练习人数和未完成课堂练习的人数是和的关系，不是比值一定或乘积一定的关系，二者不成比例，不符合图像特征； D．根据“总价＝单价×数量”，当某科普书的单价一定时，总价与数量的比值（单价）一定，购买的数量越多，所用总钱数越多，二者成正比例关系，符合图像特征。 故答案为：D 【练1】如表是某超市工作人员记录买苹果的相关数据统计表。下面四幅图能正确表示它们关系的是（    ）。 数量/千克 1 2 3 4 5 …… 总价/元 5 10 15 20 25 …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。根据表格数据，总价与数量的比值为（一定），所以总价和数量成正比例关系。 正比例关系的图像是一条经过原点的直线。当数量为5千克时，总价为25元。据此分析各选项的图形，进而确定正确答案。 【详解】 A．，与分析不符，不符合正比例关系图像。 B．，与分析不符，不符合正比例关系图像。 C．，图像是经过原点，且当数量为5千克时，总价为25元的直线。 D．，与分析不符，不符合正比例关系图像。 所以能正确表示它们之间的关系的是。 故答案为：C 题型3：正比例的应用 【例1】如表，与成正比例，“△”和“▲”的组合不可能是（    ）。 2 △ ▲ 12 A．2∶12 B．24∶1 C．3∶6 D．3∶8 【答案】C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 如果和成正比例，则▲∶2＝12∶△，根据比例的基本性质把比例式改写成两数相乘的形式，即△×▲＝2×12＝24，因此，△和▲的乘积一定是24； 四个选项中给出了△和▲的比，要求找出△和▲不可能的组合，也就是看哪个选项中△和▲的乘积不等于24即可。 【详解】如果和成正比例，则▲∶2＝12∶△，那么△×▲＝2×12＝24； A．2×12＝24，所以“△”和“▲”的组合可能是2∶12； B．24×1＝24，所以“△”和“▲”的组合可能是24∶1； C．3×6＝18，18≠24，所以“△”和“▲”的组合不可能是3∶6； D．3×8＝24，所以“△”和“▲”的组合可能是3∶8。 故答案为：C 【练1】一种钢筋，30米重75千克，现在称得一捆这样的钢筋重130千克，这捆钢筋长（    ）。 A．2.5米 B．25米 C．62米 D．52米 【答案】D 【分析】根据题意可知，钢筋的总千克数÷总米数＝每米的千克数（一定），则钢筋的总千克数和总米数的比值一定，它们成正比例关系，据此设130千克的钢筋长x米，列比例为130∶x＝75∶30，然后解出比例即可。 【详解】解：设130千克的钢筋长x米。 130∶x＝75∶30 75x＝130×30 75x＝3900 x＝3900÷75 x＝52 这捆钢筋长52米。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了正比例的应用，熟练掌握判断相关的量是正比例的方法是解答本题的关键。 【练2】和成正比例关系，当＝2时，＝；当＝5时，＝（    ）。 A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【详解】5∶＝2∶ 解：2＝5× 2＝ ＝÷2 ＝× ＝ 当＝5时，＝。 故答案为：D 【点睛】根据正比例的意义，列出正比例方程是解题的关键。 题型4：反比例的应用 【例1】爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。根据表格数据，每块地砖面积与所需块数成反比例关系。 根据“每块地砖面积×所需块数＝屋子地面总面积”，结合表格中任意一组数据计算屋子地面总面积。以每块地砖面积0.3m2，所需块数160块为例，可得屋子地面总面积为：0.3×160＝48（m2）。根据“所需块数＝屋子地面总面积÷每块地砖面积”，可得48÷0.6＝80（块）。同理，48÷0.8＝60（块）。用0.6m2的地砖铺地所需块数减去用0.8m2的地砖铺地所需块数即可。 【详解】0.3×160＝48（m2） 48÷0.6＝80（块） 48÷0.8＝60（块） 80－60＝20（块） 爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多20块。 故答案为：A 【练1】已知与成反比例关系，且当时，，则当时，（    ）。 A．12 B．8 C．3 D．2 【答案】A 【分析】两个相关联的量成反比例，则两个相关联的量的乘积一定，即xy的积一定，据此解答。 【详解】4×6÷2 ＝24÷2 ＝12 已知与成反比例关系，且当时，，则当时，12。 故答案为：A 【练2】杠杆原来处于水平位置平衡，杠杆上每个距离相等（如图），当杠杆上的A点挂8个钩码时，C点要挂（    ）个钩码才能使杠杆保持水平位置平衡。 A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】杠杆平衡条件为：动力×动力臂＝阻力×阻力臂，用8×3÷4列式解答。 【详解】8×3÷4 ＝24÷4 ＝6（个） 所以C点要挂6个钩码才能使杠杆保持水平位置平衡。 故答案为：B 一、选择题 1．下列各项中的两种量，成反比例的是（    ）。 A．圆的周长和直径 B．图书室的藏书数量一定，每天借出和还回书的本数 C．步测一段距离，每步的平均长度和走的步数 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断即可。 【详解】A．圆的周长÷直径＝π，商一定，圆的周长和直径成正比例。 B．借出书的本数不一定会随着还回书的本数变化，每天借出和还回书的本数不成比例。 C．每步的平均长度×走的步数＝步测距离，这一段距离一定也就是这两个量的乘积一定，所以每步的平均长度和走的步数成反比例。 故答案为：C 【点睛】本题考查了正比例、反比例的意义和辨识，掌握相关判别方法是解答本题的关键。 2．如果和是两种相关联的量，并且，那么与（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定还是对应的乘积一定；如果是比值一定，那么成正比例关系；如果是乘积一定，则成反比例关系，据此解答。 【详解】x和y是两种相关联的量，并且，则（一定），x与y的比值一定，所以x和y成正比例关系。 故答案为：A 3．y∶x＝8，则x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为y∶x＝8，y和x的比值一定，则它们成正比例。 故答案为：A 【点睛】本题考查了正比例的意义和辨识。 4．甲数是乙数的（甲、乙两数均不为0），甲数与乙数（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】A 【分析】判断两种相关联的量成什么比例，关键看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，则成反比例。 【详解】已知甲数是乙数的，可表示为甲数＝×乙数，那么。这里甲数和乙数是两种相关联的量，随着乙数的变化，甲数也会相应变化，并且它们相对应的数的比值始终是，是一个定值。根据正比例的定义，两种相关联的量，比值一定，就成正比例关系。所以甲数与乙数成正比例关系。 故答案为：A 5．铺地面积一定，每块方砖的（    ）和需要的方砖数量成反比例关系。 A．周长 B．体积 C．面积 【答案】C 【分析】两个相关联的量成反比例，这两个相关联的量的乘积一定，据此解答。 【详解】每块方砖的面积×数量＝铺地面积（一定），所以铺地面积一定，每块方砖的面积和需要的方砖的数量成反比例。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握反比例意义以及应用是解答本题的关键。 二、填空题 6．如果x∶5＝6∶y，那么x和y成( )比例；如果a÷b＝c（a、b、c都不为0），当( )一定时，( )和( )成正比例；当( )一定时，( )和( )也成正比例；当( )一定时，( )和( )成反比例。 【答案】 反 c a b b a c a b c 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；据此解答。 【详解】x∶5＝6∶y 解：xy＝5×6 xy＝30 x和y的乘积一定，则它们成反比例； 如果a÷b＝c（a、b、c都不为0），当c一定时，a和b成正比例； a÷c＝b 当b一定时，a和c成正比例； a＝bc 当a一定时，b和c成反比例。 【点睛】本题主要考查了正比例、反比例的意义和辨识以及比例的基本性质的应用。 7．如果（a、b均不为0），那么a和b成( )比例；如果，那么m和n成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为a＝b，所以a∶b＝∶ a∶b＝∶ ＝÷ ＝×2 ＝ 因此a∶b＝（一定），a和b成正比例。 因为＝，所以mn＝2×4，即mn＝8（一定），m和n成反比例。 如果a＝b（a、b均不为0），那么a和b成正比例；如果＝，那么m和n成反比例。 8．一辆汽车2小时行驶150千米，照这样计算，行驶450千米，需要( )小时。 【答案】6 【分析】一辆汽车2小时行驶150千米，照这样计算，说明汽车行驶的速度不变，即汽车行驶的路程与时间成正比例，设行驶450千米，需要x小时，列出正比例即可解答。 【详解】解：设行驶450千米，需要x小时。 150∶2＝450∶x 150x＝2×450 150x＝900 150x÷150＝900÷150 x＝6 所以行驶450千米，需要6小时。 9．如果a×4＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )。如果a∶8＝0.4∶10，那么a＝( )。 【答案】 5 4 0.32 【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积。a×4＝b×5，把a和4看成外项，b和5看成内项即可。 a∶8＝0.4∶10，10a＝8×0.4，先计算8×0.4，再根据乘数等于积除以另一个乘数，即可得解。 【详解】10a＝8×0.4 解：10a＝3.2 a＝3.2÷10 a＝0.32 如果a×4＝b×5，那么a∶b＝5∶4。如果a∶8＝0.4∶10，那么a＝0.32。 10．A÷B＝，则A与B的最简单的整数比是( )，B是A的( )倍。若A和B是两种相关联的量，且A÷B＝。则A与B成( )比例关系。 【答案】 6∶7 正 【分析】根据除法、分数和比的关系可知，A÷B＝A∶B；＝6∶7，由此求出A与B的最简单的整数比； A÷B＝，B＝A÷，进而求出B＝A；据此求出B是A的多少倍； 判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断A和B 成什么比例。 【详解】A÷B＝ A∶B＝6∶7 A÷B＝ B＝A÷ B＝A× B＝A A÷B＝（一定），A和B成正比例。 A÷B＝，则A与B的最简单的整数比是6∶7，B是A的倍。若A和B是两种相关联的量，且A÷B＝。则A与B成正比例关系。 【点睛】利用除法、分数与比的关系，正比例意义和辨识、反比例意义和辨识进行解答。 11．已知（A，B均不为0），则A∶B＝( )，A与B成( )比例。 【答案】 7∶3 正 【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上7B，原式化为：3A－7B＋7B＝0＋7B，化简即：3A＝7B，再根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，把3A＝7B化成比例的性质；再根据正比例、反比例的判断方法：判断两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例；判断出A 和B 成什么比例，据此解答。 【详解】3A－7B＝0 3A－7B＋7B＝0＋7B 3A＝7B A∶B＝7∶3 A∶B＝（一定），A与B成正比例。 已知3A－7B＝0（A、B均不为0），则A∶B＝7∶3，A与B成正比例。 【点睛】熟练掌握等式的性质、比例的基本性质、正、反比例的判断是解答本题的关键。 12．x、y的对应值如表。若x与y成正比例关系，则m＝( )；若x与y成反比例关系，则m＝( )。 x 4 6 y 16 m 【答案】 24 【分析】两个相关联的量，若成正比例关系，则其比值一定；若成反比例关系，则其乘积一定。 【详解】若x与y成正比例关系，则： 4∶16＝6∶m 4m＝16×6 4m＝96 4m÷4＝96÷4 m＝24 若x与y成反比例关系，则： 6m＝4×16 6m＝64 6m÷6＝64÷6 m＝ 【点睛】本题考查的是根据成哪种比例关系列比例式并解比例，解比例时要根据等式的性质解答。 13．数学绘本15元一本，购买数学绘本的数量和钱数成( )比例，修一条公路，每天修的米数和所需天数成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】两个相关联的量，如果比值一定，就成正比例关系；如果乘积一定，则成反比例关系。 【详解】购买数学绘本钱数÷购买数学绘本的数量＝15，比值一定，所以购买数学绘本的数量和钱数成正比例关系。 每天修的米数×所需天数＝公路总长，乘积一定，每天修的米数和所需天数成反比例。 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 14．一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时行驶了160千米，照这样的速度，剩下的路程还要行驶3小时，剩下的路程为( )千米。根据题中的数量关系，( )和( )是两种相关联的量，( )一定时，这两种量成( )比例。 【答案】 240 路程 时间 速度 正 【分析】用路程除以时间，等于速度，剩下的路程＝求出的速度乘时间，得出剩下的路程。根据正比例的意义辨识，比值一定时，相关联的两种量成正比例。 【详解】160÷2＝80（千米/时） 80×3＝240（千米） 路程÷时间＝速度（一定），路程和时间是两种相关联的量，速度一定时，这两种量成正比例。 【点睛】此题的解题关键是根据正比例的意义来辨识，当比值（或商）一定时，相关联的两种量成正比例。 15．一列磁悬浮列车匀速行驶，路程与时间的关系如下图。按照这样的速度，这列磁悬浮列车15分钟能行驶( )千米。 【答案】105 【分析】因为磁悬浮列车匀速行驶，所以路程和时间成正比例关系，即路程÷时间＝速度（一定）；从图中可以看出，当时间为1分钟时，路程是7千米，设这列磁悬浮列车15分钟能行驶x千米，则可列比例为x∶15＝7∶1，然后根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得x＝15×7＝105，据此解答。 【详解】解：设这列磁悬浮列车15分钟能行驶x千米。 x∶15＝7∶1 x＝15×7 x＝105 所以这列磁悬浮列车15分钟能行驶105千米。 三、判断题 16．如果a＝5b（a、b均不为0），那么a和b成反比例。( ) 【答案】× 【详解】两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系；如果比值一定就成正比例关系。 因为a＝5b（a、b均不为0），可得（定值），a和b是比值一定，不是乘积一定，所以a和b不成反比例。 【分析】判断两个量是否成反比例，需看它们的乘积是否一定。 a＝5b （定值） a与b的比值为定值5，即比值一定，不是乘积一定，不成反比例。原说法错误。 故答案为：× 17．幼儿园小朋友每人分4块糖，小朋友的人数和需要糖的块数成正比例。( ) 【答案】√ 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】糖的块数÷小朋友的人数＝每个小朋友发的块数 当幼儿园小朋友每人分4块糖，比值一定，所以小朋友的人数和需要糖的块数成正比例。原题说法正确。 故答案为：√ 18．已知（x、y均不为0），则y和x成正比例关系。( ) 【答案】× 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】已知（x、y均不为0），所以x×y＝48，是乘积一定，则y和x成反比例。所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 19．一筐桃正好平均分给一些小朋友，小朋友的人数和每个小朋友分到桃的个数成正比例关系。( ) 【答案】× 【分析】根据数量关系判断两个加数的商（比值）一定还是乘积一定，如果商（比值）一定就成正比例，如果乘积一定就成反比例。 【详解】根据题意，小朋友人数×小朋友分到的桃子个数＝一筐桃，乘积一定故成反比例。 故答案为：× 【点睛】此题关键在于懂得正比例和反比例的两个变量数量关系只存在于商和积之间。 20．王师傅8天完成了10天的工作任务，他的工作效率提高了25%。( ) 【答案】√ 【分析】时间比反过来是效率比，用前后效率差÷原来工作效率＝工作效率提高了百分之几。 【详解】（10－8）÷8 ＝2÷8 ＝25% 故答案为：√ 【点睛】差÷较小数＝提高百分之几，此类问题一般用表示单位“1”的量作除数。 四、解答题 21．判断下面各题中的两种量是成正比例，还是成反比例，并说明理由。 （1）每盒铅笔的支数相同，盒数和铅笔的总支数。 （2）教室的面积一定，教室里的学生数和平均每人占的面积。 （3）每人生产的零件个数一定，生产零件的总个数和需要的人数。 （4）电视机厂制造的电视机总台数一定，每天制造的台数和所用的天数。 （5）种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数。 【答案】（1）正比例；理由见详解 （2）反比例；理由见详解 （3）正比例；理由见详解 （4）反比例；理由见详解 （5）反比例；理由见详解 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此解答。 【详解】（1）盒数和铅笔的总支数成正比例。铅笔的总支数÷盒数＝每盒铅笔的支数（一定），每盒铅笔的支数一定，就是盒数和铅笔的总支数的商一定，所以盒数和铅笔的总支数成正比例关系。 （2）教室里的学生数和平均每人占的面积成反比例。教室里的学生数×平均每人占的面积＝教室的面积（一定），教室的面积一定，就是教室里的学生数和平均每人占的面积的积一定，所以教室里的学生数和平均每人占的面积成反比例关系。 （3）生产零件的总个数和需要的人数成正比例。生产零件的总个数÷需要的人数＝每人生产的零件个数（一定），每人生产的零件个数一定，就是生产零件的总个数和需要的人数的商一定，所以生产零件的总个数和需要的人数成正比例关系。 （4）每天制造的台数和所用的天数成反比例。每天制造的台数×所用的天数＝制造的电视机总台数（一定），制造的电视机总台数一定，就是每天制造的台数和所用的天数的积一定，所以每天制造的台数和所用的天数成反比例关系。 （5）每公顷的播种量和播种的公顷数成反比例。每公顷的播种量×播种的公顷数＝种子的总量（一定），种子的总量一定，也就是每公顷的播种量和播种的公顷数的积一定，所以每公顷的播种量和播种的公顷数成反比例关系。 22．东风－41是我国研发的洲际弹道导弹，它的飞行速度非常快，3分钟大约能飞行1500千米。照这样计算，飞行10000千米大约需要多长时间？ 【答案】20分钟 【分析】由题可知，3分钟大约能飞行1500千米，照这样计算，说明洲际弹道导弹的速度一定，即洲际弹道导弹的飞行路程与飞行时间成正比例，设飞行10000千米大约需要x分钟，列正比例方程即可解答。 【详解】解：设飞行10000千米大约需要x分钟。 3∶1500＝x∶10000   1500x＝3×10000 1500x＝30000 1500x÷1500＝30000÷1500 x＝20 答：飞行10000千米大约需要20分钟。 23．每支铅笔的售价是0.60元，铅笔的支数和总价如下表。 铅笔的支数（支） 2 4 9 12 15 总价（元） 1.20 （1）把上表填完整。 （2）铅笔的支数和总价成正比例吗？为什么？ 【答案】（1）见详解 （2）成正比例；理由见详解 【分析】（1）根据总价＝铅笔的售价×铅笔的支数，代入相应数值计算出不同铅笔支数对应的总价，填入表格即可。 （2）判断两种相关联的量是否成正比例的方法：关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的比值是否一定，如果比值一定，就成正比例关系，据此解答。 【详解】（1）0.60×4＝2.40（元） 0.60×9＝5.40（元） 0.60×12＝7.20（元） 0.60×15＝9.00（元） 填表如下： 铅笔的支数（支） 2 4 9 12 15 总价（元） 1.20 2.40 5.40 7.20 9.00 （2）因为1.20÷2＝2.40÷4＝5.40÷9＝7.20÷12＝9.00÷15＝0.60（一定），铅笔的支数和总价这两种相关联的量对应的比值一定，所以铅笔的支数和总价成正比例关系。 答：成正比例。理由是铅笔的支数和总价这两种相关联的量对应的比值一定。 24．打字室张阿姨打一份稿件，每分钟打80个字，3小时能够完成。如果王叔叔打这份稿件，2小时就能完成。 （1）王叔叔每分钟打多少个字？ （2）找出题中相关联的两种量，说明它们成什么比例。 【答案】（1）120个；（2）每分钟打字个数和完成时间，成反比例 【分析】（1）工作效率×工作时间＝工作总量，将张阿姨每分钟打字的数量乘60，求出她1小时打字多少，再乘3，求出这份稿件的总字数。将总字数除以王叔叔的用时，求出王叔叔每小时打多少个字，再除以60求出王叔叔每分钟打多少个字。 （2）根据题意，题中相关联的两个量是打字速度和完成稿件的用时。乘积一定的两个量成反比例。据此解题。 【详解】（1）80×60×3÷2÷60 ＝14400÷2÷60 ＝7200÷60 ＝120（个） 答：王叔叔每分钟打120个字。 （2）答：稿件的总字数一定，每分钟打字个数和完成时间成反比例。 25．一个化肥厂的生产情况如下表，根据表格内容回答问题。 时间（天） 1 2 3 4 5 6 7 … 生产量（吨） 90 180 270 360 450 540 630 … （1）表中有哪两种相关联的量？ （2）写出三组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值。 （3）表中这两种相关联的量成正比例吗？说明判断的理由。 【答案】（1）时间和生产量 （2）90∶1＝90；180∶2＝90；270∶3＝90（答案不唯一） （3）成正比例；理由见详解 【分析】（1）表中有两种量：时间和生产量，因为随着时间变化，生产量也随着变化，所以它们是相关联的量。 （2）由表可知，当时间为1天时，对应的生产量是90吨；当时间为2天时，对应的生产量是180吨；当时间为3天时，对应的生产量是270吨；用生产量比时间写成这两种量中相对应的两个数的比；再用比的前项除以比的后项，求出比值。 （3）根据正比例的意义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个相关联的量对应的比值一定，那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；据此解答。 【详解】（1）表中有时间和生产量两种相关联的量。 答：表中两种相关联的量是：时间和生产量。 （2）三组这两种量中相对应的两个数的比及比值如下： 90∶1＝90；180∶2＝90；270∶3＝90。（答案不唯一） （3）因为90∶1＝180∶2＝270∶3＝90（一定），生产量和时间这两种相关联的量对应的比值一定，所以生产量和时间成正比例关系。 答：成正比例。理由是生产量和时间这两种相关联的量对应的比值一定。 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 正比例　反比例单元知识清单讲义 知识点一：正比例的量(正比例关系) 1.变化的量:生活中存在着大量互相依存的变量,一种量变化,另一种量也随着变化。 2.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。 3.正比例关系两种相关联的量的变化规律: 一种量扩大(缩小),另一种量也同时扩大(缩小) 知识点二：判断两种量是否成正比例 运用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量,虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例,如被减数与差;正方形的面积与边长。总价随着数量的变化而变化,总价和数量的比值(单价)是一定的,我们就说,总价和数量是成正比例的量。 知识点三：反比例的量(反比例关系) 1.反比例的量:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。 2.反比例关系两种相关联的量的变化规律: 一种量扩大(缩小),另一种量缩小(扩大) 知识点四：判断两种量是否成反比例 判断两种量是否成反比例的方法:关键是看这两个相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定,如果乘积一定,就成反比例。 例如:长方形的长×宽=长方形的面积(一定),长和宽是成反比例的量;每本的页数×装订的本数=纸的总页数(一定),每本的页数和装订的本数是成反比例的量。 知识点五：正、反比例的字母表达式 1.用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示一定的量,那么成正比例的关系可以写成:=k(一定)。 2.用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示一定的量,那么成反比例的关系可以写成:x×y=k(一定)。 3.正比例和反比例有什么相同点和不同点? (1)相同点:正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系,即一种量变化,另一种量也随着变化。 (2)不同点:正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值(商)一定;反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定。 4.根据关系式,说出哪种量一定,哪两种量成正比例或反比例。 当a×b=c(a、b、c 为三种量,且均不为0)时,若c一定,a与b成反比例;a一定时,b与c成正比例;b一定时,a与c成正比例。 题型1：正比例反比例的意义及辨析 【例1】如果，（a、b均不为0），那么和b（    ）。 A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例 D．无法判断 【练1】正方形的周长一定，边长和边长（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【练2】下面关于正比例和反比例的四个说法，正确的是（    ）。 ①正比例的图像是一条直线。 ②《我们爱科学》的单价一定，订阅的费用和订阅的数量成正比例。 ③圆柱的底面积一定，体积和高成反比例关系。 ④路程一定，已走的路程和剩下的路程不成比例。 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 题型2：正比例图象的认识 【例1】有两个相关联的量的关系可以用如图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．教室的面积一定，每块砖的面积和方砖的块数 B．某制衣厂生产一批衬衫，每天生产的数量和所需天数 C．某班已完成课堂练习的人数和未完成课堂练习的人数 D．某科普书的单价一定，购买的数量和所用总钱数 【练1】如表是某超市工作人员记录买苹果的相关数据统计表。下面四幅图能正确表示它们关系的是（    ）。 数量/千克 1 2 3 4 5 …… 总价/元 5 10 15 20 25 …… A． B． C． D． 题型3：正比例的应用 【例1】如表，与成正比例，“△”和“▲”的组合不可能是（    ）。 2 △ ▲ 12 A．2∶12 B．24∶1 C．3∶6 D．3∶8 【练1】一种钢筋，30米重75千克，现在称得一捆这样的钢筋重130千克，这捆钢筋长（    ）。 A．2.5米 B．25米 C．62米 D．52米 【练2】和成正比例关系，当＝2时，＝；当＝5时，＝（    ）。 A． B． C．2 D． 题型4：反比例的应用 【例1】爷爷要给屋子重新铺地砖，不同面积的地砖与所需的块数的关系如下。如果爷爷用0.6m2的地砖铺地，所用地砖的块数比用0.8m2的地砖多（    ）块。 每块地砖的面积 0.3 0.4 0.5 … 所需的块数 160 120 96 … A．20 B．60 C．80 D．140 【练1】已知与成反比例关系，且当时，，则当时，（    ）。 A．12 B．8 C．3 D．2 【练2】杠杆原来处于水平位置平衡，杠杆上每个距离相等（如图），当杠杆上的A点挂8个钩码时，C点要挂（    ）个钩码才能使杠杆保持水平位置平衡。 A．3 B．6 C．8 D．12 一、选择题 1．下列各项中的两种量，成反比例的是（    ）。 A．圆的周长和直径 B．图书室的藏书数量一定，每天借出和还回书的本数 C．步测一段距离，每步的平均长度和走的步数 2．如果和是两种相关联的量，并且，那么与（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 3．y∶x＝8，则x和y（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 4．甲数是乙数的（甲、乙两数均不为0），甲数与乙数（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 5．铺地面积一定，每块方砖的（    ）和需要的方砖数量成反比例关系。 A．周长 B．体积 C．面积 二、填空题 6．如果x∶5＝6∶y，那么x和y成( )比例；如果a÷b＝c（a、b、c都不为0），当( )一定时，( )和( )成正比例；当( )一定时，( )和( )也成正比例；当( )一定时，( )和( )成反比例。 7．如果（a、b均不为0），那么a和b成( )比例；如果，那么m和n成( )比例。 8．一辆汽车2小时行驶150千米，照这样计算，行驶450千米，需要( )小时。 9．如果a×4＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )。如果a∶8＝0.4∶10，那么a＝( )。 10．A÷B＝，则A与B的最简单的整数比是( )，B是A的( )倍。若A和B是两种相关联的量，且A÷B＝。则A与B成( )比例关系。 11．已知（A，B均不为0），则A∶B＝( )，A与B成( )比例。 12．x、y的对应值如表。若x与y成正比例关系，则m＝( )；若x与y成反比例关系，则m＝( )。 x 4 6 y 16 m 13．数学绘本15元一本，购买数学绘本的数量和钱数成( )比例，修一条公路，每天修的米数和所需天数成( )比例。 14．一辆汽车从甲地开往乙地，前2小时行驶了160千米，照这样的速度，剩下的路程还要行驶3小时，剩下的路程为( )千米。根据题中的数量关系，( )和( )是两种相关联的量，( )一定时，这两种量成( )比例。 15．一列磁悬浮列车匀速行驶，路程与时间的关系如下图。按照这样的速度，这列磁悬浮列车15分钟能行驶( )千米。 三、判断题 16．如果a＝5b（a、b均不为0），那么a和b成反比例。( ) 17．幼儿园小朋友每人分4块糖，小朋友的人数和需要糖的块数成正比例。( ) 18．已知（x、y均不为0），则y和x成正比例关系。( ) 19．一筐桃正好平均分给一些小朋友，小朋友的人数和每个小朋友分到桃的个数成正比例关系。( ) 20．王师傅8天完成了10天的工作任务，他的工作效率提高了25%。( ) 四、解答题 21．判断下面各题中的两种量是成正比例，还是成反比例，并说明理由。 （1）每盒铅笔的支数相同，盒数和铅笔的总支数。 （2）教室的面积一定，教室里的学生数和平均每人占的面积。 （3）每人生产的零件个数一定，生产零件的总个数和需要的人数。 （4）电视机厂制造的电视机总台数一定，每天制造的台数和所用的天数。 （5）种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数。 22．东风－41是我国研发的洲际弹道导弹，它的飞行速度非常快，3分钟大约能飞行1500千米。照这样计算，飞行10000千米大约需要多长时间？ 23．每支铅笔的售价是0.60元，铅笔的支数和总价如下表。 铅笔的支数（支） 2 4 9 12 15 总价（元） 1.20 （1）把上表填完整。 （2）铅笔的支数和总价成正比例吗？为什么？ 24．打字室张阿姨打一份稿件，每分钟打80个字，3小时能够完成。如果王叔叔打这份稿件，2小时就能完成。 （1）王叔叔每分钟打多少个字？ （2）找出题中相关联的两种量，说明它们成什么比例。 25．一个化肥厂的生产情况如下表，根据表格内容回答问题。 时间（天） 1 2 3 4 5 6 7 … 生产量（吨） 90 180 270 360 450 540 630 … （1）表中有哪两种相关联的量？ （2）写出三组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值。 （3）表中这两种相关联的量成正比例吗？说明判断的理由。 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $