精品解析：广东省广州市仲元中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试卷

2025-2026学年广东省广州市仲元中学高一（上）月考数学试卷（1月份） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知全集，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，满足 ，则值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 7. 已知、，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知三个锐角满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 在其定义域上是增函数 10. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 在上不单调 D. ，有4个零点 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为0 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为__________. 13. 若不等式在恒成立，则的取值范围是__________. 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则__________.（注：） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：的值； （2）计算的值； （3）若，求的值. 16. 已知函数. （1）求的图象的对称轴、单调递增区间； （2）当时，求的最值，以及取得最值时的取值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 18. 已知函数，，当时，恒有． （1）求的表达式及定义域； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程的解集为，求实数的取值范围． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求实数的值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数证明：有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省广州市仲元中学高一（上）月考数学试卷（1月份） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知全集，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数的性质求出集合B，再结合交集的概念求解可得答案. 【详解】因为，所以解得， 则，而，则，故C正确. 故选：C 2. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性和特殊点的函数值符号，可排除干扰项. 【详解】由可知，，即，，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，图象关于原点对称，所以排除BD两项； 又，所以排除A. 又C选项的图象满足函数的性质． 故选：C 3. 已知平面直角坐标系中点位于第三象限，且，则角为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得到为第二象限角，得到，结合，即可求解. 【详解】由点位于第三象限，可得且，可得为第二象限角， 则，可得 当为奇数时，可得为第三象限角，可得，不满足题意； 当为偶数时，可得为第一象限角，满足， 综上可得为第一象限角. 故选：A. 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵函数的定义域为 ∴(25)x−4⋅5x+m>0且(25)x−4⋅5x+m≠1， 即,且， 令, ∴ 又即 ∴m>5. ∴实数m的取值范围是(5,+∞). 故选A. 5. 已知，满足 ，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用，结合两角和的正弦公式求出，再根据，展开后即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 而，故， 故， 故选：B 6. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点第一次到达最高点需要20秒 B. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 7. 已知、，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】令，其中，分析函数的单调性与奇偶性，将不等式变形为，结合函数的单调性判断可得出结论. 【详解】令，其中，该函数的定义域关于原点对称， 因为，即函数为奇函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，即， 则，即， 所以，“”“”， 所以，是的充要条件. 故选：A. 8. 已知三个锐角满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意分别求出，再根据同角三角函数的平方关系求出、的关系，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为三个锐角满足 所以， 则， ∴ 所以， 整理得， 即 解得或 又，于是， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 在其定义域上是增函数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正切型函数性质判断各项正误. 【详解】A：由正切型函数性质知的最小正周期为，对； B：由正切函数知，可得，错； C：，则，可得，对； D：由正切函数单调性知：在上递增，但在定义域上不单调，错. 故选：AC 10. 已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是周期函数 C. 在上不单调 D. ，有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项. 【详解】对于A，易得的定义域为. ， 所以是偶函数，故A正确； 对于B，因为 ，所以的一个周期是，故B正确； 对于C，看成由，和复合而成， 又，单调递增且，单调递减， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D，同理可得在上单调递增，易得简图如下： 又的最大值为 ，所以，与有4个交点， 故选项D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为0 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断；对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断；对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断；对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可． 【详解】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确； 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次， 每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B错误； 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误； 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的周长为8，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的弧长及面积公式计算求出，最后计算求出圆心角即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 所以， 所以，所以，， 所以这个扇形圆心角的弧度数为. 故答案为：2. 13. 若不等式在恒成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断的符号，再去绝对值化简得：，故问题转化为在上恒成立问题，再根据函数性质求解即可得答案. 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 不等式在恒成立 ∴ ， ∴. 故的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的性质，三角函数的符号等，考查运算呢管理，是中档题. 14. 定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则__________.（注：） 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，计算出、、、的值，结合函数的周期性以及并项求和法可求得所求代数式的值. 【详解】因为，令，则， 所以，函数的图象关于直线对称，则， 因为函数的图象关于点对称， 设，则， 即，即， 令，则，故函数为奇函数， 所以，则， 故函数是周期为的周期函数， 则，当时，，则，可得， 即当时，，所以，，， ，， 所以， . 故答案为：. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）计算：的值； （2）计算的值； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式与两角的正弦公式可求值. （2）利用两角和的正切公式进行化简求值. （3）利用二倍角的正余弦公式化为齐次式，然后弦化切可求值. 【详解】（1） （2）由于， 所以， 所以. （3）因为，所以的终边不在坐标轴上，所以， 所以. 16. 已知函数. （1）求的图象的对称轴、单调递增区间； （2）当时，求的最值，以及取得最值时的取值； （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）对称轴，增区间为； （2）当时，取最小值，当时，取最大值2； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质求解. （2）由，确定，结合正弦函数的最值求解. （3）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意，， 令，解得， 所以函数的对称轴方程为； 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，则， 当，即时，函数取得最小值； 当，即时，函数取得最大值2， 所以当时，取最小值；当时，取最大值2. 【小问3详解】 依题意，当时，有解， 而，即当时，有解， ，当时，令， 函数在上单调递减，当时，，即，而， 所以实数的取值范围是. 17. 某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且． （1）求实数a，b，c的值； （2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润． 【答案】（1） （2）项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元 【解析】 【分析】（1）由结合解析式可得答案； （2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得 表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案. 【小问1详解】 由， 可得，解得 故； 【小问2详解】 设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则 ，其中. 则 . 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元． 18. 已知函数，，当时，恒有． （1）求的表达式及定义域； （2）若方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式； （2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围. （3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程 的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案. 【详解】（1）∵当时，． ， 即， 即，． 整理得恒成立，∴， 又，即，从而． ∴， ∵，∴，或， ∴的定义域为． （2）方程有解，即， ∴，∴，∴， ∴，或， 解得或， ∴实数的取值范围． （3）方程的解集为， ∴，∴， ∴， 方程的解集为，故有两种情况： ①方程无解，即，得， ②方程有解， 两根均在内，， 则解得． 综合①②得实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题. 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求实数的值； （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数证明：有且只有一个零点，且． 【答案】（1）4 （2） （3） 由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为 所以根据零点存在定理，使得 故在上有且只有一个零点． ②当时，因为单调递增，单调递减， ，所以， 所以在上不存在零点； ③当时，因为单调递增，，因为 所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且 因为，所以， 所以 在上单调递减，，所以． 【解析】 【分析】（1）由三角函数周期计算公式可得答案. （2）由题可得零点表达式，要使最小，则，n均为零点，据此可得答案； （3）由题可得，由单调性，正负情况结合零点存在性定理可得零点情况，然后由单调性可完成证明. 【小问1详解】 的最小正周期为 ． 【小问2详解】 当时，令，解得 ，则或， 则或，.要使最小，则均为零点. 若，则大于的7个零点为：， 得，则此时，； 若，则大于的7个零点为：，， 得，则此时，，因， 则的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：对于函数零点问题，可利用数形结合思想，转化为函数图像与x轴交点横坐标，也可利用零点存在性定理结合函数单调性研究零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $