精品解析：广东省揭阳市普宁市2025-2026学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2025-2026学年度第一学期期终九年级教学质量监测 数学科试题卷 全卷共8页，满分120分，考试用时为120分钟 说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上指定的栏目填写自己的监测号、姓名、监测室号和座位号，用2B铅笔在每张答题卡的“监测室号”栏、“座位号”栏相应位置填涂自己的监测室号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，答题卡交回，试卷自己保存． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项．） 1. 砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形，且能够看到的线用实线，看不到的线用虚线画出是解题关键．根据俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】解：从上面看到的图形是正方形中有一个圆，且正方形和圆不相切，如图所示： 故选：C． 2. 小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．通过因式分解法解一元二次方程，利用零乘积性质求根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 即或． 小聪只得到，故被漏掉的根是． 故选：B． 3. 已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是，则在如图所示的电路中，在一定时间段内，之间电流能够正常通过的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率．如图所示的电路为并联电路，两个电子元件至少有一个正常工作，则电流就能通过．解题的关键是掌握：树状图法适合于两步或两步以上完成的事件、概率计算的公式为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件概率是， 则该电子元件不正常工作的概率为， 画树状图如下： 共有种等可能性，之间电流能够正常通过的有种情况， ∴之间电流能够正常通过的概率是． 故选：D． 4. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形中求角度，涉及矩形性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ， 故选：B． 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解题意是解决本题的关键． 由题意可得，则，把，代入求解即可． 【详解】解：∵交点C恰好是线段的黄金分割点， ∴， ， ∵， ， ， 或（舍去）． 故选：A． 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. tanB＝ 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的定义求解，最后对各选项一一判断即可得出答案． 【详解】在△ABC中， ∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， ∴由勾股定理得， BC＝＝5， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝， 故选B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义.熟练求出锐角三角函数值是解题的关键． 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足条件． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，根据菱形的性质及正方形的判定是解题的关键． 8. 如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 三角形中位线定理 C. 平行线分线段成比例 D. 相似三角形的对应边成比例 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式大于或等于零，列不等式求解． 【详解】解：∵方程有实数根， ∴判别式， 其中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故t的取值范围是． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴． ∴四边形是矩形 ∴ ∵菱形，对角线轴 ∴ ∵菱形的面积为， ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．设月平均增长率为x，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为x，则八月份销售额为万元，九月份销售额为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 13. 一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，即概率为，根据概率公式计算总球数，再求白球数n，即可作答． 【详解】解：由题意知，摸到红球的概率为，红球有4个， 因此袋中球的总个数约为（个）， ∴袋中白球的个数． 故答案为：16． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 15. 如图，以为顶点分别作等腰直角，； 连接，当时，延长交相交于点，交于点，若，则的长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个三角形全等的判定定理证明，再利用全等三角形的性质得到，进而确定四边形是正方形，由勾股定理列方程求出正方形边长，再由得到，可得，代值求解即可解决问题． 详解】解：与均是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，在中，，，则由勾股定理可得，即，解得或（负值舍去）， 由正方形中， ， ， ， ，即，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似形综合题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得， ① 两边同时除以3得， ② 配方得， ③ 即， 或 ④ ， ⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是________________________． （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）②，两边同时除以3，右边没有除以3 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程的基本步骤，进行判定即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：错在步骤②，错误的原因是两边同除以3，右边没有除以3； 【小问2详解】 解： 移项得， 两边同时除以3得， 配方得， 即， ∴或， ∴，． 17. 如图，在中，，分别是、的中点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质． 根据证明四边形是平行四边形，根据分别是、的中点证明是的中位线，得到，根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 18. 某校七、八两个年级计划在星期一至星期五期间，利用连续两天（例如：星期一、星期二；星期二、星期三等）时间开展社会实践活动． （1）七年级选择星期二、星期三两天进行社会实践活动的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法求七、八年级同时选择星期四、星期五两天进行社会实践活动的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意得，七年级随机选择连续的两天可能出现结果有4种，其中选择星期二、星期三两天的结果有1种，根据概率公式可得答案； （2）列表得出所有等可能的结果，以及七、八年级同时选择星期四、星期五两天的结果，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：七年级同学随机选择连续两天，共有4种等可能结果，分别是：（周一，周二），（周二，周三），（周三，周四），（周四，周五）， 其中周二、周三连续两天的结果有1种， 所以七年级选择星期二、星期三两天进行社会实践活动的概率是； 【小问2详解】 解：分别用字母A，B，C，D表示（周一，周二），（周二，周三），（周三，周四），（周四，周五），表格如下所示： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 由上可得，一共有16种等可能结果，其中同时选择（周四，周五）的只有一种， 所以七、八年级同时选择星期四、星期五两天进行社会实践活动的概率是． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为． （1）长方形信封的长和宽分别是多少？ （2）能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请说明理由． 【答案】（1）长方形信封的宽为，长为． （2）不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（利用长方形面积公式列方程）、算术平方根的计算（求正方形边长和长方形长、宽），熟练掌握根据实际问题列方程求解，以及通过边长比较判断图形能否放入的方法是解题的关键． （1）设长方形信封的长为，宽为，列方程求解即可； （2）由（1）通过比较即可求解． 【小问1详解】 解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意得：， 解得：，（负值舍去）， ∴，， 所以长方形信封的宽为，长为． 【小问2详解】 解：∵， ∴正方形贺卡边长为， ∵，而， ∴， 答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中． 20. 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； （2）图2中，在线段上画一个点P，使． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置． 勾股定理， （1）延长到使，延长到使，点与点重合，连接； （2）取格点、，连接交于点P． 【小问1详解】 解：如图，延长到使，延长到使，点与点重合，连接， 设正方形网格中的小正方形的边长为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴点和点是格点， ∵，， ∴， 又∵点、、三点共线，点、、三点共线， ∴和位似，位似比为且以为位似中心， 则即为所作； 【小问2详解】 解：点P即为所求， ∵， ∴，， ∴， ∴． 21. 某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”后，开展测量本市某地标性建筑的高度的实践活动，甲、乙两组分别设计了不同的方案： 课题：测量本市某地标性建筑的高度 甲组方案 乙组方案 测量示意图 测量方案与测量结果 如图1，小组成员在点D处用距离地面高度为的测角仪测出该建筑顶端A的仰角． 如图2，在地面上点O处水平放一面镜子，小组成员站在点D的位置，通过镜子反射刚好看到该建筑顶端A处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到该建筑的距离，． 参考数据 （1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一组的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为哪组测量方案存在问题？并提出修改建议； （2）乙组的测量方案能计算出地标建筑的高吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到；若不能，请说明理由． 【答案】（1）甲组的测量方案存在问题，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及仰角、俯角知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． （1）甲的测量报告只有和无法求出的高，故甲的测量报告存在问题，应知道的距离才能用锐角三角函数求解； （2）根据入射角=反射角，可知，在中，可以利用正切求出，在中，可以利用正切求出，进一步根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：甲组的测量方案存在问题． 修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与该建筑的距离______”． 【小问2详解】 解：能． 由题意，知，，． 设． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 解得． 答：该地标建筑的高约为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题背景】 如图1，矩形的顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合），反比例函数的图象经过点E且与边交于点F，连接，沿着将矩形折叠使A、D两点重合，连接对角线． 【构建联系】 （1）①点E坐标是______（用含有k的代数式表示）； ②请探究与位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）存在的最小值，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①首先得到点E的纵坐标为3，然后将代入求解即可； ②首先求出，然后表示出，，得到，证明出，即可得到； （2）首先得到点D的轨迹为过点A且与垂直的射线上，根据垂线段最短，得当时，最小，利用勾股定理求出，利用等面积法求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵矩形的顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合）， ∴点E的纵坐标为3， 将代入，得 解得 ∴点E坐标是； ②，理由如下： ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵点F在上， ∴点F的横坐标4， ∵点F在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在的最小值．理由如下： 由②知：， ∵沿着将矩形折叠使A、D两点重合， ∴垂直平分， ∴， ∴点D的轨迹为过点A且与垂直的射线上， 根据垂线段最短，得当时，最小， 即点D落在上时，取得最小值，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 23. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作的延长于H，，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，求出或，由（2）知：，，利用等腰三角形与赼有三角形的性质，以及勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）过点作的延长于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）在上截取，使，连接． ，， ． ∵菱形， ∴， ， ． ． ， ， ． ． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．如图， ，点G为边的三等分点， ∴或， ，或，． ∵菱形， ∴ ∴ ，， 由（2）知， ， ． 或 ∴或． 由（2）知：，， ∴或， ∵，， ∴或， ∵，， ∴ ∴ 由勾股定理，得，即， ∴或． 【点睛】此题考查菱形性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟悉菱形性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期终九年级教学质量监测 数学科试题卷 全卷共8页，满分120分，考试用时为120分钟 说明：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上指定的栏目填写自己的监测号、姓名、监测室号和座位号，用2B铅笔在每张答题卡的“监测室号”栏、“座位号”栏相应位置填涂自己的监测室号和座位号． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束时，答题卡交回，试卷自己保存． 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项．） 1. 砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 已知电流在一定时间段内正常通过某一个电子元件的概率是，则在如图所示的电路中，在一定时间段内，之间电流能够正常通过的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（ ） A. B. C. D. 5. 黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（ ）cm． A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. tanB＝ 7. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 三角形中位线定理 C. 平行线分线段成比例 D. 相似三角形的对应边成比例 9. 关于x的一元二次方程有实数根，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：_____． 12. 国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为__________． 13. 一个不透明的口袋中装有n个白球，妙妙为了估计白球的个数，向口袋中加入4个红球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则n的值为_____． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 15. 如图，以为顶点分别作等腰直角，； 连接，当时，延长交相交于点，交于点，若，则的长是____________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题． 解：移项得， ① 两边同时除以3得， ② 配方得， ③ 即， 或 ④ ， ⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤______（填序号），错误的原因是________________________． （2）请你写出正确的解答过程． 17. 如图，在中，，分别是、的中点，．求证：四边形是菱形． 18. 某校七、八两个年级计划在星期一至星期五期间，利用连续两天（例如：星期一、星期二；星期二、星期三等）时间开展社会实践活动． （1）七年级选择星期二、星期三两天进行社会实践活动的概率是______； （2）请用列表或画树状图方法求七、八年级同时选择星期四、星期五两天进行社会实践活动的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为． （1）长方形信封的长和宽分别是多少？ （2）能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请说明理由． 20. 如图，在正方形网格中，点A，B，C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹） （1）图1中，以C为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到，请画出； （2）图2中，在线段上画一个点P，使． 21. 某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”后，开展测量本市某地标性建筑的高度的实践活动，甲、乙两组分别设计了不同的方案： 课题：测量本市某地标性建筑的高度 甲组方案 乙组方案 测量示意图 测量方案与测量结果 如图1，小组成员在点D处用距离地面高度为的测角仪测出该建筑顶端A的仰角． 如图2，在地面上点O处水平放一面镜子，小组成员站在点D位置，通过镜子反射刚好看到该建筑顶端A处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到该建筑的距离，． 参考数据 （1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一组的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为哪组测量方案存在问题？并提出修改建议； （2）乙组的测量方案能计算出地标建筑的高吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到；若不能，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【问题背景】 如图1，矩形顶点B，C分别在x轴和y轴上，点A的坐标为，E是边上的一个动点（不与C，A重合），反比例函数的图象经过点E且与边交于点F，连接，沿着将矩形折叠使A、D两点重合，连接对角线． 【构建联系】 （1）①点E坐标是______（用含有k代数式表示）； ②请探究与的位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 23. 【问题提出】： 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，（），交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】： （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数 （2）再探究一般情形，如图1，求的度数：（用含的代数式表示） 【问题拓展】： （3）如图3，当，时，若点G为边的三等分点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $