精品解析：山东省东营市利津县高级中学2025-2026学年高二上学期1月质量检测数学试题

利津县高级中学高二质量检测 数学试题 2026.01 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解的值. 【详解】因为向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面，则存在实数使得， 即， 所以，即. 故选：B 2. 已知直线过点，且与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入直线求出，再由两条直线平行列方程求，从而可求的值. 【详解】因为直线过点， 所以，解得. 因为直线与直线平行， 所以，即，解得， 所以. 故选：B. 3. 已知，若，则自然数（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】赋值法可得方程进而求解, 【详解】令，得， 令，得， 所以，. 故选：B. 4. 小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对立事件及条件概率公式即可求解． 【详解】由题可知，小明能闯关成功的概率为， 此游戏被闯关成功的概率为， 则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为， 故选：B． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得， 由展开式的通项公式可得， 当时，展开式中的系数为； 当时，展开式中的系数为， 则的系数为，故C正确. 6. 设，分别是椭圆E的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由求出，由求出， 由求出，由得到，在中，由勾股定理得，代入数值计算得到，在中，由勾股定理得，代入数值计算得到，利用公式求出离心率. 【详解】设，，，， ，，， ，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得， 故，，， 在中，由勾股定理得：， 则，解得，故. 故选：B. 7. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设出点，，利用椭圆的定义及圆与相切得出线段之间的关系即可求解. 【详解】 由题知，， 设，，与圆分别切于点D，E，H，，， 则， 又， 因为，则， 所以， 由切线性质可知，，， 所以 ， 所以， 又点H与点M的横坐标相同，所以点P与点M的横坐标之比为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是 （ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】每封信均有3种投法，计算可判断A；从5人中选3人，计算可判断B；分3种情况，即1男3女，2男2女，3男1女，计算可判断C；利用插空法求得方法数判断D. 【详解】对于A，将5封信投入3个邮筒，每封信均有3种投法，故不同的投法共有种，故A 正确； 对于B，参观券相同，只需从5人中选出3人即可，方法数为种，故B错误； 对于C，从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女， 包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即有种选法，故C正确； 对于D，先将丙、丁两人全排列有种，排好后有3个空位， 再将甲、乙两人安排到两人（丙、丁）的空位中有种， 由分步计数原理可得总的方法数为种，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：利用空间向量共面定理判断；对于C：举反例分析判断；对于D：根据空间向量共面的推论判断. 【详解】对于A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于B：由空间向量共面定理可知，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C：例如满足，由，可知， 即共线同向，即与的夹角为，故C错误； 对于D：因，且， 根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ） A. 若G为线段AE的中点，则平面CEF B. C. 的最小值为48 D. 点B到平面CEF的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得平面ABCD，由线面垂直的性质可得，，又，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线、线面的位置关系和求解点到平面的距离，结合空间向量线性运算的坐标表示求出，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为BDEF是矩形，所以， 又矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD相交于BD， 且平面BDEF，所以平面ABCD， 而AD，平面ABCD，所以，， 而ABCD是正方形，所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，，， 当G为线段AE的中点时，，得， 设平面CEF的一个法向量为， 有， 因为，平面CEF，则平面CEF，故A正确； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，设，则， 得有最小值44，故C错误； 对于D，，， 所以点B到平面CEF的距离为，故D正确. 故选：ABD.. . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程． 【详解】由抛物线，可得， 抛物线的准线方程为， 故答案为：． 13. 若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离大于且小于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆上恰有两个点到直线的距离为， 则使得圆心到直线的距离大于且小于，即， 解得或， 又，所以， 即正实数的取值范围为. 故答案为： 14. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，此时的使得最小，据此即可求解. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点， 任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系，如图， 则， 因为E，F分别为的三等分点，所以， 又点F距平面的距离为1，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： （1）这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; （2）这袋垃圾存在违规混投的概率; （3）若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设相应事件，结合计算求解即可； （2）根据全概率公式可得，代入计算即可； （3）根据条件概率公式，结合计算即可. 【小问1详解】 设垃圾来自早、中、晚时段分别为事件 A， B，；垃圾违规混投为事件V ， 由题意可知：，，  可得， 所以这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率为. 【小问2详解】 由题意可得： ， 所以这袋垃圾存在违规混投的概率为. 【小问3详解】 由题意可得：， 所以已知该垃圾违规混投，它来自晚上时段投放的概率为 16. 已知圆心为的圆经过这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的一般式方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案； （2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案. 【小问1详解】 设圆的标准方程为， 因为过， 所以，解得， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，其方程为， 由，解得或， 所以直线被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为10，所以， 即，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的一般式方程为或. 17. 在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开式中前三项的二项式系数和为，可得出关于的方程，结合可求得的值； （2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，展开式中前三项的二项式系数之和为， 整理可得，因为，解得. 【小问2详解】 解：的展开式通项为， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为，解得， 由不等式组，解得. 因为，所以，， 因此，展开式中系数最大的项为. 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：连接BE， 在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴，∴，， 即，，且，平面POB，平面POB， ∴平面PBO． （2）存在；Q为线段PB中点，理由如下： 由（1）可知四边形ABCD为菱形，∴，在等腰梯形ABCD中， ∴正三角形，∴，同理． ∵，∴，∴． 由（1）可知，，O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 由题意得，各点坐标为，，，，， ∴，，，, 设， ， 设平面AEQ的一个法向量为， 则，即， 取得，，得，所以， 设直线PC与平面AEQ所成角为，，则， 即，化简得，解得． 即Q为线段PB中点． 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直即可由线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解线面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利津县高级中学高二质量检测 数学试题 2026.01 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知直线过点，且与直线平行，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知，若，则自然数（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 设，分别是椭圆E的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为M，则点P与点M的横坐标之比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是 （ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. ，，若，则与的夹角为锐角 D. 对空间任意一点O和不共线三点，，，若，则，，，共面 11. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ） A. 若G为线段AE的中点，则平面CEF B. C. 的最小值为48 D. 点B到平面CEF的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的准线方程为______． 13. 若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为______. 14. 如图，棱长为3的正方体中，P为正方体表面上的一个动点，E，F分别为的三等分点，则的最小值为__________________． 四、解答题：本题共5小题，共71分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某社区实施垃圾分类投放，居民主要在早、中、晚三个时间段投放垃圾，且早、中、晚三个时间段垃圾投放量占比分别为、、.环保部门监测发现，各时段因监管力度不同，出现垃圾混投情况：在已知垃圾是早上投放的条件下，违规混投的概率为是中午投放的条件下，违规混投的概率为是晚上投放的条件下，违规混投的概率为现随机抽查一袋垃圾，求： （1）这袋垃圾来自中午时段且违规混投的概率; （2）这袋垃圾存在违规混投的概率; （3）若已知该垃圾违规混投，求它来自晚上时段投放的概率. 16. 已知圆心为的圆经过这三个点． （1）求圆的标准方程； （2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的一般式方程． 17. 在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于. （1）求的值； （2）若展开式中的常数项为，试求展开式中系数最大的项. 18. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $