精品解析：贵州省遵义市余庆县四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

贵州省遵义市余庆县四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：九年级上册全册 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是中心对称和轴对称定义的熟练掌握．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解:A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则B不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，则D符合题意． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式，识别顶点式中的h和k是解题关键． 对比顶点式，可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为， ∴ 顶点坐标为 ． 故选 C． 3. 已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，点与圆的位置关系由点到圆心的距离d和半径r决定：时点在圆内，时点在圆上，时点在圆外．根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径，， ∴， ∴点P在内． 故选：A 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. （ D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确配方是解题的关键． 使用配方法，将方程化为完全平方形式． 【详解】解：， ， ， 即． 故选：A． 5. 如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 先由圆周角定理得到，然后可得为等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的半径是4， 故选：C． 6. 将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移5个单位长度 B. 向下平移5个单位长度 C. 向左平移5个单位长度 D. 向右平移5个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，通过比较两抛物线的顶点坐标，原顶点与新顶点仅y坐标变化，故为上下平移，据此可解答． 【详解】解：∵原抛物线的顶点为，新抛物线的顶点为 ， ∴顶点纵坐标从变为2，增加了5，横坐标不变， ∴平移过程为向上平移5个单位. 故选：A． 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由旋转可得：，，，进而得到：，，即可求解． 【详解】解：由旋转可得：，，， ，， ， 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有实根，则的最大整数值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式，一元二次方程有实根需满足判别式，且二次项系数，据此列式解答即可． 【详解】解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∵关于的一元二次方程有实根， ∴， 解得：， 又∵， ∴且， ∴m的最大整数值为4， 故选：B． 9. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数大于6 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 将一个正六边形绕它的中心逆时针旋转后，能与原来的正六边形重合 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1至6的点数，抛掷该枚骰子，向上的点数大于6是不可能事件，该选项不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，该选项不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，该选项符合题意； D、将一个正六边形绕它的中心逆时针旋转后，能与原来的正六边形重合是必然事件，该选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意、找到等量关系是解题的关键． 根据“打印区域的面积占纸张总面积的”列出方程即可． 【详解】解：设应设置的页边距为，则打印区域的长为，宽为， ∴打印区域的面积为， ∵打印区域的面积占纸张总面积的， ∴． 故选D． 11. 在矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，不规则图形的面积，根据矩形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：B． 12. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴的另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数的图象上，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，该二次函数的图象的对称轴为，则，即可判断A；根据对称性可求出另一交点，即可判断B；由图象可知，求出，即可判断C；根据点到对称轴越近，函数值越小可判断D，即可求解． 【详解】解：∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数的图象的对称轴为，且图象过点， ∴图象过另一点，故②正确； 由图象可知， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的图象的对称轴为，开口向上， ∴点到对称轴的距离越近，函数值越小 ∵到对称轴的距离； 到对称轴的距离； 到对称轴的距离 ∵, ∴,故④正确， 综上，正确的结论是②③④， 故选：B． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若是关于x的二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为， 因此点的坐标为． 故答案为：． 15. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为__________． 【答案】13米 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，设圆心是O，半径为r米，连接．根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接．则O、D、C三点共线， ∵拱高米， ∴， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 解得：， 即拱桥的半径为13米． 故答案为：13米． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，． 18. 图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． （1）画出将绕点逆时针旋转得到的，在图中对应处写出“”和“”； （2）画出与关于点成中心对称的，在图中对应处写出“”“”和“”． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转和中心对称的性质． （1）根据旋转的性质即可在图中画出绕点逆时针旋转得到的，点B、C的对应点分别为“”和“”； （2）根据中心对称的性质即可在图中画出关于点成中心对称的，点A，B、C的对应点分别为“”“”和“”． 【小问1详解】 解：如图，即所作； 【小问2详解】 解：如图，即为所作． 19. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在该抛物线上，见解析 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把点坐标代入计算即可． 【小问1详解】 解：由题意，得 解得 ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 当时，． ∵， ∴点不在该抛物线上． 20. 小成家和小川家准备今年寒假去旅行，他们都准备在贵州、云南和北京三个地方中随机选择一个游玩． （1）小成家选到北京的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求他们两家同时选到贵州的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）将贵州、云南和北京分别记为A，B，C，列出表格，进行求解即可． 【小问1详解】 解：小成家选到北京概率是； 【小问2详解】 解：将贵州、云南和北京分别记为A，B，C．列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中他们两家同时选到贵州的结果只有1种， ∴他们两家同时选到贵州的概率为． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意： （1）直接利用根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得出不等式组求解即可； 熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键 【小问1详解】 证明：依题意，得， ∵，即， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 ∵方程两根均为负数， ∴， ∴， 解得：， ∴． 22. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 23. 如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论． （2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠EAD， ∴EA∥OD， ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴直线DE与⊙O相切． （2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示： 作，垂足为F，如图2所示： ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了圆与直线相切的判定、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 24. 某商店销售一种成本为40元／件的玩具，若按50元／件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的售价每涨1元，则月销售量就减少10件．设售价为元／件，月销售量为件，月销售利润为元． （1）与的函数解析式为__________，与的函数解析式为__________．（不用写的取值范围） （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元／件？ （3）当销售价定为多少元／件时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】（1）； （2）60元/件 （3）销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用和一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意找准等量关系正确列出函数关系式． （1）根据月销售量（定价-50），月销售利润=每件利润×销售数量，根据以上所列等量关系可得函数解析式； （2）根据月销售利润达到8000元列方程求解即可； （3）将w关于x的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵售价为x元/件，，且当时，，售价每涨1元，销量减少10件 ∴月销售量； 月销售利润 ∴y与x的函数解析式为，w与x的函数解析式为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：令，则， 整理得， 整理得， 解得或。 ∵要尽量让利给顾客。 ∴销售价应定为60元/件。 答：销售价应定为60元/件； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴当时，w有最大值9000， 答：当销售价定为70元/件时会获得最大利润9000元． 25. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； 【小问2详解】 解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省遵义市余庆县四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 考试范围：九年级上册全册 注意事项： 1．答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答． 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法判断 4. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. （ D. 5. 如图，点A，B，C在上，，，则的半径是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6. 将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移5个单位长度 B. 向下平移5个单位长度 C. 向左平移5个单位长度 D. 向右平移5个单位长度 7. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若点、、在同一条直线上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的一元二次方程有实根，则的最大整数值是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数大于6 B. 任意画一个三角形，其内角和为 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 将一个正六边形绕它的中心逆时针旋转后，能与原来的正六边形重合 10. 如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 在矩形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数图象上，则． 其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 若是关于x的二次函数，则______． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点B的坐标是____________． 15. 设，是方程的两个实数根，则的值为________． 16. 如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为__________． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上． （1）画出将绕点逆时针旋转得到的，在图中对应处写出“”和“”； （2）画出与关于点成中心对称的，在图中对应处写出“”“”和“”． 19. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 20. 小成家和小川家准备今年寒假去旅行，他们都准备在贵州、云南和北京三个地方中随机选择一个游玩． （1）小成家选到北京的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求他们两家同时选到贵州的概率． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两根均为负数，求实数的取值范围． 22. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 23. 如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O切线； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长． 24. 某商店销售一种成本为40元／件的玩具，若按50元／件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的售价每涨1元，则月销售量就减少10件．设售价为元／件，月销售量为件，月销售利润为元． （1）与的函数解析式为__________，与的函数解析式为__________．（不用写的取值范围） （2）商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元／件？ （3）当销售价定为多少元／件时会获得最大利润？求出最大利润． 25. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． （1）求线段的长； （2）若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $