精品解析：湖南省株洲市天元区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题

2025下学期八年级数学学科期末考试试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. “夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易在《夜雪》里描写雪的诗句，从语句中体会到雪也是有重量的．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 3，4，5 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两个锐角的和是钝角 C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D. 同旁内角互补 5. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 6. 如图，点 在 的平分线上，于，于，若 ，则 的长度为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 6 7. 如图所示， ，，，则判定与全等的依据是（ ） A. HL B. SAS C. ASA D. AAS 8. 如图， 是的一个外角，若，，则 的度数（ ） A. B. C. D. 9. “武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于 长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请任意写出一个能使有意义的m值：_____． 12. 分解因式：________． 13. 计算____________． 14. 如图，在中，， 分别是边，的垂直平分线， ，则的周长___________．     15. 如图，在中，和 的平分线交于点，过点作 交于，交于，若，，则线段的长为________． 16. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于_____． 三、解答题：本题共8小题，解答应写出必要的文字说明，解答过程或证明步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. （1）分解因式：； （2）解方程：． 20. 如图，已知，点A，E，C，F在一条直线上，， ，． （1）求证： ； （2）若，，求的长． 21. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 22. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1） 的有理化因式是___________；化简___________； （2）比较与的大小，并说明理由． 23. 如图，四边形ABCD, AB//DC, ∠B=55 ,∠1=85 ,∠2=40 (1)求∠D的度数： (2)求证：四边形ABCD是平行四边形 24. 如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当是 的角平分线时， ①求证：； ②直接写出 _______°． （2）依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025下学期八年级数学学科期末考试试题卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. “夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易在《夜雪》里描写雪的诗句，从语句中体会到雪也是有重量的．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：B． 2. 下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理“三角形三边满足（其中c为最大边），则该三角形为直角三角形”即可求解． 【详解】解：选项A：， ， ， 故选项A不符合题意； 选项B：，， ， 故选项B不符合题意； 选项C：，， ， 故选项C不符合题意； 选项D：，， ， 故选项D符合题意． 故选：D． 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：∵， 故选：A． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两个锐角的和是钝角 C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D. 同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查真命题的判断，平行线的性质和判定，同旁内角，锐角和钝角，掌握相关知识是解决问题的关键．需根据平行线的性质、锐角和钝角的概念、垂直的性质等知识逐一分析选项． 【详解】解： A、两直线平行，同位角相等，这是正确的，是真命题； B、 两个锐角的和可能是锐角或直角，不一定是钝角，原命题错误，是假命题； C、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，原命题缺少“在同一平面内”，是假命题； D、同旁内角只有在两直线平行时才互补，原命题错误，是假命题． 故选：A． 5. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式不成立，不符合题意； 故选C． 6. 如图，点在 的平分线上，于，于，若 ，则 的长度为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可得． 【详解】解：∵点在 的平分线上，于，于，且 ， ∴， 故选：C． 7. 如图所示， ，，，则判定与全等的依据是（ ） A. HL B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】HL指的是：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此可得出答案． 此题主要考查了三角形全等的判定方法，掌握判定方法是解题关键． 【详解】解：，， ， 在 和中， ， 故选： 8. 如图，是的一个外角，若，，则 的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 【详解】解：，， ． 故选：B． 9. “武当文化节”期间，小明家打算包租一辆商务车前去旅游，商务车的租金为180元，出发时又增加了两名朋友，结果每个成员比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的人数有x人，则所列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，找出等量关系列出方程是解题的关键． 设原来参加游览的人数有x人，根据“每个成员比原来少摊了3元钱车费”即可列出方程． 【详解】解：设原来参加游览的人数有x人，根据题意，得 ． 故选：D 10. 如图，在中，，，点在边上，按照下列步骤作图：①以点为圆心，小于长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，与②中所作的弧相交于点，作射线交于点则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，由作图可知，所以，得，然后通过三角形内角和定理求出 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，， ∴， ∴， ∵，，, ∴ ， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 请任意写出一个能使有意义的m值：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得 ． 因此，任意取 的一个值即可，例如． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解—公式法的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 13. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的减法运算，同分母分式相减，分母不变，分子相减，再约分化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在中，， 分别是边，的垂直平分线， ，则的周长___________．     【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵， 分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵ ， ∴的周长为8． 故答案为：8 15. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作 交于，交于，若，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和平行线性质，此题关键是证明和为等腰三角形．先利用两直线平行，内错角相等得，，再因为和的平分线交于点，得，，通过等量代换，，得出和为等腰三角形最后运用等腰三角形性质即可求得结论． 【详解】解：∵ ， ∴，． ∵ 平分，平分， ∴，， ∴，， ∴和为等腰三角形， ∴，． ∵，， ∴． 故答案为：． 16. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．如图所示，弦图由四个边长分别为a，b，的全等的直角三角形围成一个中间镂空的大正方形，若弦图中小正方形和大正方形的面积分别是1和9，则的值等于_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式和勾股定理的结合，根据正方形的面积求出 ，再根据直角三角形的面积和完全平方公式求出即可． 【详解】解：小正方形和大正方形的面积分别是1和9， ， ，负值舍去， 个直角三角形的面积和为， ， ， ∵， ， ． 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，解答应写出必要的文字说明，解答过程或证明步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是掌握相应的运算法则．先计算算术平方根，然后利用零指数幂、负整数指数幂的意义和绝对值的意义化简，最后计算加减． 【详解】解：原式. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先把括号里面式子进行通分，再把除法化为乘法，同时对分式的分子或分母进行因式分解，然后约分，最后代入进行计算即可．能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 19. （1）分解因式：； （2）解方程：． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查因式分解、解分式方程： （1）利用提公因式法进行因式分解； （2）先去分母，将分式方程变形为整式方程，求出解后代入检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 化为整式方程，得：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得：， 当时，， 因此是原分式方程的解． 20. 如图，已知，点A，E，C，F在一条直线上，， ，． （1）求证： ； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）利用“边角边”证明，可得，即可求证； （2）求出，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元； （2）若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】（1）A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 （2）800件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品800件． 22. 先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： （1） 的有理化因式是___________；化简___________； （2）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了有理化因式，平方差公式. （1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）把分母都看成1，然后第一个式子的分子分母同时乘以，第二个式子分子分母同时乘以，然后比较所得结果的大小可得答案． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式是； ； 故答案为：，； 【小问2详解】 ， 理由如下： ， ， ， ， 所以． 23. 如图，四边形ABCD, AB//DC, ∠B=55 ,∠1=85 ,∠2=40 (1)求∠D的度数： (2)求证：四边形ABCD是平行四边形 【答案】（1）55º；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和为180°，可得结果； （2）根据平行线性质求出∠ACB=85°，由∠ACB=∠1=85°得AD∥BC．两组对边平行的四边形是平行四边形. 【详解】（1）解∵∠D+∠2+∠1=180°， ∴∠D=180°-∠2-∠1=180°-40°-85°=55°． （2）证明：∵AB∥DC， ∴∠2+∠ACB+∠B=180°． ∴∠ACB=180°-∠B-∠2 =180°-55°-40°=85°． ∵∠ACB=∠1=85°， ∴AD∥BC． 又∵AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题主要考查三角形内角和性质；平行线性质；平行四边形判定，解题关键：根据所求，算出必要的角的度数，由角的特殊关系判定边的位置关系.此题比较直观，属基础题. 24. 如图，在中，，，是边上的高，点E是边上的一动点（不与点A，B重合），连接交于点F，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当是的角平分线时， ①求证：； ②直接写出 _______°． （2）依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①证明：∵在中，，， ∴ ， ∵是边上的高， ∴ ． ∵是的角平分线， ∴ ． ∵ ， ． ∴ ． ∴． ②45； （2） 解：依题意补全图形． 数量关系： ． 证明：过点C作 于点C，交的延长线于点M． ∵ ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【解析】 【分析】（1）①利用等腰直角三角形 ，再由角平分线的定义得 ．然后由三角形外角性质得 ， ，从而得 ，即可由等角对等边得出结论； ②过点C作 于点C，交的延长线于点M．则 ，即可得 ，再证明 ．即可得 ． （2）过点C作 于点C，交的延长线于点M．由可证得 ．则 ．再证明 ，得 ，即可由 ．得出结论 ． 【小问1详解】 ①略 ②过点C作 于点C，交的延长线于点M． ∵ ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $