精品解析：湖南省株洲市天元区建宁实验中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年建宁秋八年级数学期末考试 时量：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0.121221222 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、0.121221222是分数，属于有理数，不符合题意． B、，是整数，属于有理数，不符合题意；， C、是分数，属于有理数，不符合题意 D、是无理数，符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 0.3，0.4，0.5 B. C. 4，5，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、都不是正整数，则这组数不是勾股数，此项不符合题意； B、不是正整数，则这组数不是勾股数，此项不符合题意； C、，则这组数不是勾股数，此项不符合题意； D、，则这组数是勾股数，此项符合题意； 故选：D． 3. 若是分式，则可以是（ ） A. π B. x C. 0 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的概念，根据分式的分母必须是未知数（不能是具体数）即可解答，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】∵是分式， ∴必须是未知数， ∴是圆周率是个无理数，只有x是未知数， 故选：B． 4. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，特别是不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．对各选项进行判断． 【详解】解： A．∵，∴，故选项错误，不符合题意； B．∵，∴，故选项正确，符合题意； C．∵，∴，故选项错误，不符合题意； D．∵，∴ ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形分类、等腰三角形性质、等边三角形的判定等知识． 根据三角形分类、等腰三角形性质、等边三角形的判定逐项判断． 【详解】解：A、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故A是假命题，不符合题意； B、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故D是假命题，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定与性质．根据题意得到是的角平分线，由角平分线定义求解即可得到的度数． 【详解】解：过点作、，如图所示： 两把一样的直尺， ， 由角平分线的判定定理可得是的角平分线， ， ， 故选：D． 7. 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ） A. 13 B. 11 C. 8 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质．由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故选：C． 8. 下列条件：①；②；③；④．其中能判断为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理的应用是解题关键．根据三角形内角和定理，逐一分析判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴，解得，故该三角形为直角三角形； ②∵，可设， ∴，解得， ∴，故该三角形为直角三角形； ③∵，， ∴， ∴，，故该三角形不是直角三角形； ④∵， ∴，， ∴，解得， ∴，，故该三角形是直角三角形． 综上所述，能判断为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 9. 2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，以及双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，列出方程即可． 【详解】解：设购进单目显微镜y台，则购进双目显微镜台，由题意，得： ； 故选B． 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点在延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④⑤进行一一判断，从而求解． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴；故①正确； 过P作于于于S， ∴， ∴平分， ∴，故②正确； ∵平分 ∴垂直平分（三线合一），故③正确； ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴，故④正确， ∵平行平分， ∴， ∴， ∵④所以， ∴⑤正确， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．综合性强，难度偏大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：且． 故答案为：且． 12. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 13. 如图，已知，要使，可添加的条件是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据已知可得有两角对应相等，所以只需添加一组边对应相等即可，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要使，可添加的条件是或或， 故答案为：或或． 14. 如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 15. 不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组解的情况求参数，由不等式组可得，整数解为和，从而确定的取值范围，即可作答． 【详解】解：由可得， ∵不等式组只有两个不同的整数解， ∴这两个整数解为和， ∴， 故答案为：． 16. 若关于的方程无解，则__________． 【答案】2或 【解析】 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得． 【详解】解：去分母，得：， 整理，得：， 当时，分式方程无解， 当时，若，则，即； 若，则（无解）； 综上所述，或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件，最简公分母为0，或者得到的整式方程无解． 17. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图， 四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 【答案】13 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，关键是根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答． 将顺时针旋转到，连接，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：将顺时针旋转到，连接，如图， 则是等腰直角三角形，且，， ∵且平分， ∴， ∴， ∴均在同一条直线上， ∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：13． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义进行化简，然后合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： = =． 【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的性质、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义，熟练掌握各自的性质及实数的运算法则是解题的关键． 20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为：．画图见解析 【解析】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴， 在数轴上表示其解集如下： ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，通过证明是解题的关键． （1）只需证即可； （2）先证，再根据证即可． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由知，，且， ， ， ， ， ． 23. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米；（2）他应该再放出8米线 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，运用勾股定理得出米，再把数值代入，即可作答． （2）先整理得出（米），再把数值代入，求出（米），故（米），即可作答． 详解】解：（1）由题意得：，米，米，米， 在中，由勾股定理得：， （米）， （米）， 答：风筝离地面的垂直高度为米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米时， （米）， 在中， ， （米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 24. 学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）共有3种方案． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【小问1详解】 设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． 【小问2详解】 设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 25. 阅读材料：当，时，有，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_____；当时，的最大值为______． （2）当时，求的最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）， （2）当时，y的最小值15 （3）四边形面积的最小值为49 【解析】 【分析】本题主要考查分式值、三角形的中线与面积的关系及完全平方公式，熟练掌握分式的求值及完全平方公式是解题的关键； （1）根据题中所给公式可直接进行求解； （2）由题意可把所求分式进行变形，然后再利用公式进行求解最值即可； （3）设，由题意易得，则有，然后根据题中所给公式可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，； ∴当且仅当时，即当时，有最小值2； 当时，， ∵， ∴，即． ∴当且仅当时，即当时，有最大值； 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：当时， ， ∴当时，当且仅当时，即当时，y的最小值为15； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴由等高三角形可得：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：，当且仅当，即时取等号， 即四边形面积的最小值为49． 26. 如图1，等边的边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）证即可得证； （2）①同第一问，证证即可得证； ②由(1)得，则，因为，所以要使的周长最小，只要最小，当时，的长最小，此时最小，由“三线合一”即可求出的长； （3）分两种情况：当时和当时，分别作出图形，作于点，利用（1）的结果及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ．，，，， ， ， ． （2）①如图，当点在线段上、点在延长线上、点在延长线上时， 证明方法同第一问： 、都是等边三角形， ，，，， ， ， ． 故答案：． ②的周长存在最小值，由（1）得， ， ， 要使的周长最小，则最小， ， 当时，的长最小，如图2， ，， ； （3）当点在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，作于点，如图3， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②当时，作于点，如图4， 同理得，， 设， 由（1）得， ， ， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ， 综上，当点在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理求最短路线问题、勾股定理等知识，灵活运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年建宁秋八年级数学期末考试 时量：120分钟 满分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0.121221222 B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（　　） A. 0.3，0.4，0.5 B. C. 4，5，6 D. 6，8，10 3. 若是分式，则可以是（ ） A. π B. x C. 0 D. 2024 4. 若，则下列不等式变形正确是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形 B. 等腰三角形两腰上的高相等 C. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D. 有一个角等于三角形是等边三角形 6. 如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ） A. 13 B. 11 C. 8 D. 6.5 8. 下列条件：①；②；③；④．其中能判断为直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 2024年山西省新的中考政策，初中二年级生物学科也成为中考的必考科目之一，其中包含生物实验操作．为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜y台，则下列选项中所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，内角与外角的平分线相交于点在延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤．其中正确的有（ ） A ①②④ B. ②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _____． 12. 的算术平方根是______． 13. 如图，已知，要使，可添加的条件是______． 14. 如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为_______． 15. 不等式组只有两个不同的整数解，则的取值范围是______． 16. 若关于的方程无解，则__________． 17. 如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______． 18. 如图， 在四边形 中， ，， 连接 、 ，若 平分 ，，， 则 ______． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算：． 20. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 23. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 秋高气爽，很多龙岗市民喜欢到大运公园等地方放风筝． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 ⋯ 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 24. 学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 25. 阅读材料：当，时，有，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_____；当时，的最大值为______． （2）当时，求最小值． （3）如图，四边形的对角线，相交于点O，、的面积分别为9和16，求四边形面积的最小值． 26. 如图1，等边边长为，点是直线上异于，的一动点，连接，以为边长，在右侧作等边，连接． 【初步感知】 （1）求证：； 【类比探究】 （2）当点在直线上运动时， ①与的数量关系是； ②的周长是否存在最小值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； 【拓展应用】 （3）当点在直线上运动时，能否形成直角三角形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $