勾股定理的规律型问题—2025-2026学年北师大版数学八年级上册期末知识点训练

勾股定理的规律型问题—2025-2026北师大版数学八（上）期末知识点训练 一、选择题 1．《九章算术》提供了许多组勾股数，如，，等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.根据以上规律，“由10生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．26 B．101 C．13 D．24 2．如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为（　　） A．126 B．127 C．128 D．129 二、填空题 4． 附加题：观察以下几组勾股数，并寻找规律： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41；… 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：　 　． 5．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S4分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为　 　 6．图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为　 　． 7．勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　． 8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1= A1A2=1.以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4……依次规律得到等腰直角三角形OA2015A2016，则点A2015的坐标为　 　. 9．勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含 角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为 ，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为 ，…，第 个正方形和第 个直角三角形的面积之和为 ． 设第一个正方形的边长为1． 请解答下列问题： （1）　 　． （2）通过探究，用含 的代数式表示 ，则 　 　． 10．如图，在直线 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 、 、 ，则 　 　. 11．如图，，过P作且，由勾股定理得；再过P作且，得；又过作且，得；…依次类推，得　 　． 12．如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此进行下去……，记正方形的边长为，按上述方法所作的正方形的边长依次为，，，…，，则　 　. 三、解答题 13．当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且，所以3，4，5是勾股数.观察下列各勾股数有哪些规律； 3，4，5； 　 9，40，41； 5，12，13； ……； 7，24，25； ，，. （1）当时，求，的值 （2）判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由. 14． 规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题. ；（是的面积）； ；（是的面积）； ；（是的面积）； … （1）请用含有（为正整数）的等式　 　. （2）推算出　 　. （3）求出的值. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】11，60，61 5．【答案】55 6．【答案】 7．【答案】13，84，85 8．【答案】（- ） 9．【答案】（1） （2） （ 为整数） 10．【答案】4 11．【答案】 12．【答案】21010 13．【答案】（1）解：根据规律得，∴ 把代入， 解得， （2）解：10，24，26是勾股数。 ∵. 又∵10，24，26都是正整数 根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数. 14．【答案】（1）；​​​​​（2） （3）解： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $