2025-2026学年高三上学期期末数学模拟试卷（适用于江苏省苏州市）

2025-2026学年高三上学期期末数学模拟试卷（适用于江苏省苏州市） 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．设全集U＝R，集合M＝{x|0＜x＜5}，集合N＝{x|﹣2≤x＜3}，则M∩∁UN＝（　　） A．{x|0＜x＜3} B．{x|3≤x＜5} C．{x|﹣2≤x≤0} D．{x|x＜﹣2或x＞0} 2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+2i）＝5+5i，则z＝（　　） A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i 3．甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（　　） A．12种 B．6种 C．24种 D．60种 4．已知sina＝，则cos（π﹣2a）等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 5．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC1，AB＝BC＝CA＝2，．则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（　　） A． B． C． D． 6．已知椭圆C：，C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若S△ABF＝b2，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 7．设n∈N*，xn是曲线y＝x2n﹣1﹣2在点（1，﹣1）处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列{an}的前50项和为（　　） A． B． C． D． 8．已知（x2+a）（x+）6的展开式中常数项为35，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分） （多选）9．下列说法正确的是（　　） A．若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B） B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.881＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联” D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 （多选）10．已知函数f（x）＝|sinx|+2cosx，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）的一个周期为2π C．f（x）的一条对称轴为 D．f（x）的值域为 （多选）11．已知圆心在y轴上的动圆经过点P（0，﹣1），与x轴的一个交点为M（x，0），与y轴交于N（0，y），点（x，y）的轨迹为E，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A．E的方程为x2＝y B．E上恰有三个点到焦点弦所在直线l的距离为，则l的倾斜角为60° C．E上两点A，B和直线y＝x﹣4上两点C，D能够构成正方形的个数为2 D．过点的直线与E交于A，B两点，过A作y轴的垂线与直线OB交于点Q，则线段AQ的中点在直线y＝x上 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．已知向量＝（1，﹣2），＝（t，3），若与2平行，则t＝ 　 　 ． 13．已知0＜x＜1，则的最小值为 　 　 ． 14．某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，n∈N*和n≥20，每次投篮的命中率都为p，随机变量ξ表示投篮命中的次数，ξ服从二项分布B（n，p），记，当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0，1），已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若n＝40，则该同学投中次数的期望为 　 　 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间（0.8n，1.2n）的概率不低于0.8，则n的最小值为 　 　 ． 附：η～N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜0.84）＝0.8． 四．解答题（共5小题，共77分） 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知8sinA＝3sinB，． （1）求角C； （2）若△ABC的面积为，求AB边上的高． 16．某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． （1）若，，，求p； （2）若，求p取最大值时p0的值． 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝3，AD＝AB＝2，点E在棱PC上，且PE＝2EC． （1）证明：BE∥平面PAD； （2）若PA⊥底面ABCD，直线PD与直线AC所成角的余弦值为，求平面PAD与平面ADE夹角的余弦值． 18．已知双曲线的渐近线方程为，焦距长为4． （1）求C的标准方程； （2）点A（x0，y0）（x0＞0）在C上，点P的坐标为（2，4），O为原点，求△AOP面积的最小值； （3）过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 19．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，xsinθ+ycosθ）叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知f（x）＝lnx，． （1）若曲线y＝f（x）和y＝g（x）有两个公共点，求a的取值范围； （2）已知B为曲线y＝f′（x）上一点，其中f′（x）为f（x）的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E． （i）求E的方程； （ii）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值． 参考答案 一．选择题（共8小题） 1．设全集U＝R，集合M＝{x|0＜x＜5}，集合N＝{x|﹣2≤x＜3}，则M∩∁UN＝（　　） A．{x|0＜x＜3} B．{x|3≤x＜5} C．{x|﹣2≤x≤0} D．{x|x＜﹣2或x＞0} 【解答】解：由U＝R，N＝{x|﹣2≤x＜3}，得∁UN＝{x|x＜﹣2或x≥3}， 又M＝{x|0＜x＜5}，所以M∩∁UN＝{x|3≤x＜5}． 故选：B． 2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+2i）＝5+5i，则z＝（　　） A．1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i 【解答】解：由z（1+2i）＝5+5i，得＝3﹣i． 故选：D． 3．甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端，则不同的排列方式共有（　　） A．12种 B．6种 C．24种 D．60种 【解答】解：因为甲、乙等5人站成一排，要求甲在中间，乙不在两端， 所以先排甲， 则乙有2种排法，剩下的3人任意排列， 故不同的排列方式共有种． 故选：A． 4．已知sina＝，则cos（π﹣2a）等于（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【解答】解：∵sinα＝ ∴cos2α＝1﹣sin2α＝ cos（π﹣2a）＝﹣cos2α＝﹣（cos2α﹣sin2α）＝﹣ 故选：D． 5．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC1，AB＝BC＝CA＝2，．则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC1，AB＝BC＝CA＝2，． ∴CC1⊥AC1，CC1⊥BC1，， ∴， ∴△AC1B是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．已知椭圆C：，C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若S△ABF＝b2，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得，可得（a+c）•b＝b2，可得a+c＝b， 两边平方可得（a+c）2＝3b2， 在椭圆中，b2＝a2﹣c2，整理得ac＝a2﹣2c2，即2e2+e﹣1＝0，e∈（0，1）， 解得：． 故选：B． 7．设n∈N*，xn是曲线y＝x2n﹣1﹣2在点（1，﹣1）处的切线与x轴交点的横坐标，记，则数列{an}的前50项和为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵y＝x2n﹣1﹣2， ∴y′＝（2n﹣1）x2n﹣2， ∴曲线y＝x2n﹣1﹣2在点（1，﹣1）处的切线斜率为2n﹣1， ∴切线方程为：y﹣（﹣1）＝（2n﹣1）（x﹣1）， 即为：y＝（2n﹣1）x﹣2n，令y＝0，可得， ∴， ∴， 化简：， ∴数列{an}的前50项和为： ＝＝． 故选：A． 8．已知（x2+a）（x+）6的展开式中常数项为35，则a＝（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：由二项式定理可得展开式的常数项为x+a＝15+20a＝35，解得a＝1． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．下列说法正确的是（　　） A．若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B） B．残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好 C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝7.881＞6.635＝x0.01，则依据α＝0.01的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联” D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 【解答】解：若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），故A正确． 残差均匀分布在以横轴为对称轴的带状区域内， 则残差的散点图分布的区域越窄，说明预测值与观测值的偏离越小，拟合效果越好，故B正确． 零假设为H0：X与Y相互独立，即X与Y没有关联，由χ2＝7.881＞6.635＝x0.01可知依据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，可以认为“X与Y有关联”，故C错误． 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确． 故选：ABD． （多选）10．已知函数f（x）＝|sinx|+2cosx，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）为奇函数 B．f（x）的一个周期为2π C．f（x）的一条对称轴为 D．f（x）的值域为 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|sinx|+2cosx定义域为R． A项，因为f（﹣x）＝|sin（﹣x）|+2cos（﹣x）＝|sinx|+2cosx＝f（x）， 所以f（x）为偶函数，故A项错误． B项，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|+2cos（x+2π）＝|sinx|+2cosx＝f（x）， 所以f（x）的一个周期为2π，故B项正确． C项，因为f（0）＝|sin0|+2cos0＝2，f（π）＝|sinπ|+2cosπ＝﹣2， 所以函数f（x）的图象不关于直线对称，故C项错误． D项，当x∈[0，π]时，sinx＞0， ， 其中，， 因为x∈[0，π]，所以x+φ∈[φ，π+φ]， 所以当时，， 当x+φ＝π+φ时，， 所以函数f（x）在[0，π]上的值域为， 因为f（x）为偶函数，所以f（x）在[﹣π，π]上的值域为， 因为f（x）的一个周期为2π，所以f（x）在R上的值域为，故D项正确． 故选：BD． （多选）11．已知圆心在y轴上的动圆经过点P（0，﹣1），与x轴的一个交点为M（x，0），与y轴交于N（0，y），点（x，y）的轨迹为E，O为坐标原点，则下列说法正确的是（　　） A．E的方程为x2＝y B．E上恰有三个点到焦点弦所在直线l的距离为，则l的倾斜角为60° C．E上两点A，B和直线y＝x﹣4上两点C，D能够构成正方形的个数为2 D．过点的直线与E交于A，B两点，过A作y轴的垂线与直线OB交于点Q，则线段AQ的中点在直线y＝x上 【解答】解：对于选项A：因为动圆圆心在y轴上且过点P（0，﹣1），N（0，y）， 所以圆心C为线段PN中点， 即， 因为|CP|＝|CM|， 所以， 整理得x2＝y， 则E的方程为x2＝y，故选项A正确； 对于选项B：由选项A得点（x，y）的轨迹为开口向上的抛物线，且焦点为， 若直线l过点F且与抛物线交于两点， 存在两直线l1，l2满足l1∥l2∥l，且l1，l2与l之间的距离均为， 因为l2与抛物线有2个公共点，l1与抛物线有1个公共点， 即直线l1与抛物线相切， 设， 联立，消去y并整理得x2﹣kx﹣m＝0， 此时Δ＝k2+4m＝0， 解得， 因为l，l1两条平行线间距离为， 所以， 解得， 则l的倾斜角为60°或120°，故选项B错误； 对于选项C：若四边形ABCD为正方形， 此时AB∥CD， 设直线AB方程为y＝x+t，A（x1，y1），B（x2，y2）， 此时直线AB与CD之间的距离为， 即， 联立，消去y并整理得x2﹣x﹣t＝0， 此时Δ＝1+4t＞0， 解得， 由韦达定理得x1+x2＝1，x1x2＝﹣t， 所以， 因为|AB|＝|AD|， 所以， 整理得t2﹣8t+12＝0， 解得t＝2或t＝6， 则能够构成正方形的个数为2，故选项C正确； 对于选项D：易知直线AB斜率存在， 设，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得， 此时x1+x2＝2x1x2， 易知直线AQ方程为y＝y1，直线OB方程为， 所以， 可得线段AQ的中点坐标为， 因为， 所以线段AQ的中点在直线y＝x上，故选项D正确． 故选：ACD． 三．填空题（共3小题） 12．已知向量＝（1，﹣2），＝（t，3），若与2平行，则t＝ 　　 ． 【解答】解：向量＝（1，﹣2），＝（t，3）， 则，， 若与2平行， 所以﹣（1﹣t）+5（t+2）＝0，解得． 故答案为：． 13．已知0＜x＜1，则的最小值为 　9　 ． 【解答】解：因为0＜x＜1， ， 当且仅当，即时不等式取等号， 即的最小值为9． 故答案为：9． 14．某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，n∈N*和n≥20，每次投篮的命中率都为p，随机变量ξ表示投篮命中的次数，ξ服从二项分布B（n，p），记，当n≥20时，可认为η服从标准正态分布N（0，1），已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若n＝40，则该同学投中次数的期望为 　20　 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间（0.8n，1.2n）的概率不低于0.8，则n的最小值为 　41　 ． 附：η～N（0，1），则P（η＜1.28）＝0.9，P（η＜0.84）＝0.8． 【解答】解：因为该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分， 若n＝40， 此时投篮命中的次数ξ服从二项分布B（40，0.5）， 所以Eξ＝40×0.5＝20（次）， 则该同学投中次数的期望为20次； 因为该同学n次投篮总得分在区间（0.8n，1.2n）， 所以该同学n次投篮命中次数ξ在区间（0.4n，0.6n）， ， 因为P（η＜1.28）＝0.9， 所以P（η≥1.28）＝0.1， 因为η服从标准正态分布N（0，1）， 所以P（η≥0）＝0.5， 即P（﹣1.28≤η≤1.28）＝0.8， 此时n需满足≥1.28， 解得n≥40.96， 则n的最小值为41． 故答案为：20；41． 四．解答题（共5小题） 15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知8sinA＝3sinB，． （1）求角C； （2）若△ABC的面积为，求AB边上的高． 【解答】解：（1）由8sinA＝3sinB，结合正弦定理，可得8a＝3b， 又由，代入，得，解得， 再由余弦定理得：， 又因为C∈（0，π），所以； （2）由△ABC的面积为，可得， 解得ab＝24，又因为，代入解得b＝8，a＝3， 代入，可得c＝7， 设AB边上的高为h，则，解得， 故AB边上的高为． 16．某棋手依次与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立．该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为p． （1）若，，，求p； （2）若，求p取最大值时p0的值． 【解答】解：（1）根据，，， 可得：该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为： ； （2）根据， 可得该棋手恰好胜两盘且两盘相连的概率为： p＝p1×p2×（1﹣p3）+（1﹣p1）×p2×p3＝， 求导得：， 当时，， 函数在上单调递增； 当时，， 函数在上单调递减； 所以当时，p取到最大值， 此时， 故p取最大值时，． 17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝3，AD＝AB＝2，点E在棱PC上，且PE＝2EC． （1）证明：BE∥平面PAD； （2）若PA⊥底面ABCD，直线PD与直线AC所成角的余弦值为，求平面PAD与平面ADE夹角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：在线段PD上取一点F，使得PF＝2DF，连接AF、EF，如下图所示： 在△PCD中，E、F分别为线段PC、PD上的点，且， 所以，EF∥CD且， 又因为AB∥CD，则EF∥AB，即EF＝AB且EF∥AB， 所以，四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF， 因为BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD． （2）因为PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， 以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、C（3，2，0），设点P（0，0，a）（a＞0）， ，， 由题意可得， 解得a＝3， ，， 设平面ADE的法向量为， 则，则， 取x＝1，则， 易知平面PAD的一个法向量为， 所以， 因此，平面PAD与平面ADE夹角的余弦值为． 18．已知双曲线的渐近线方程为，焦距长为4． （1）求C的标准方程； （2）点A（x0，y0）（x0＞0）在C上，点P的坐标为（2，4），O为原点，求△AOP面积的最小值； （3）过C的右焦点F的直线与C交于D，E两点，以DE为直径的圆与直线交于M，N两点，若，求直线DE的方程． 【解答】解：（1）因为双曲线C的渐近线方程为， 所以， 因为双曲线的焦距长为4， 所以2c＝4，② 又a2+b2＝c2，③ 联立①②③， 解得a2＝1，b2＝3， 则双曲线C的方程为； （2）因为P（2，4）， 所以， 此时直线OP的斜率为k＝2， 利用平行于OP的直线y＝2x+m与双曲线相切， 联立，消去y并整理得x2+4mx+m2+3＝0， 此时Δ＝16m2﹣4（m2+3）＝12m2﹣12＝0， 解得m＝±1， 此时切点为A，可以得到这个△AOP的面积最小， 由平行线间的距离公式可得， 则△AOP最小面积； （3）设过C的右焦点F的直线为my＝x﹣2，D（x1，y1），E（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0， 由韦达定理得， 所以， 设交点D（x1，y1），E（x2，y2）的中点为Q（x0，y0）， 此时，， 所以中点为Q（x0，y0）到直线的距离d＝， 又， 由勾股定理得， 解得m＝0或m＝±1． 所以直线DE的方程x+y﹣2＝0或x﹣y﹣2＝0或x＝2． 19．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，xsinθ+ycosθ）叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知f（x）＝lnx，． （1）若曲线y＝f（x）和y＝g（x）有两个公共点，求a的取值范围； （2）已知B为曲线y＝f′（x）上一点，其中f′（x）为f（x）的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E． （i）求E的方程； （ii）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值． 【解答】解：（1）设，∵曲线y＝f（x）和y＝g（x）有两个公共点， ∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，， 当a≥0时，令h′（x）＞0，h（x）单调递增，最多一个零点，不合题意 当a＜0时，令h′（x）＜0，得0＜x＜﹣a，h（x）单调递减， 令h′（x）＞0，得x＞﹣a单调递增，hmin（x）＝h（﹣a）＝ln（﹣a）+1， ∵h（x）有两个零点，∴hmin（x）＜0，∴， 当时，h（﹣a）＜0，h（1）＝﹣a＞0，h（x）在（﹣a，1）上存在一个零点， ，h（x）在（a2，﹣a）存在一个零点， 综上，即a∈（﹣； （2）（i）设P＝（x，y）， ∴， 则， 又因为，所以，故E的方程为； （ii）由（i）知E的内接等腰直角三角形面积的最小值等价于曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值， 设为直角顶点．，， 则AB斜率，AC斜率， ∵AB⊥AC，∴a2bc＝﹣1（1）， |AB|＝|AC|， 化简得：（a2b2c2+c2）（a﹣b）2＝（a2b2c2+b2）（a﹣c）2， 化简得：a2b2c2[（a﹣b）2﹣（a﹣c）2]＝b2（a﹣c）2﹣c2（a﹣b）2， 即：a2b2c2（2a﹣b﹣c）（c﹣b）＝（ba﹣ac）（ba+ac﹣2bc）， 显然a（b﹣c）≠0，所以ab2c2（﹣2a+b+c）＝ba+ac﹣2bc（2）， ， 由（1）得代入（2）， 得去分母， 得到a2b2﹣2a3b﹣1＝a6b2﹣a4+2a3b看成关于b的一元二次方程， 得到a2（a4﹣1）b2﹣a4+4a3b+1＝0， 因式分解得[a（a2﹣1）b+（1+a2）][a（a2+1）b+（1﹣a2）]＝0， 所以或， 所以， 令t＝a2＞0，得到关于的函数，， 则， 令f′（r）＞0，得或， 令f′（t）＜0，得， 所以f（t）在上递减，递增， 递减，递增又， t→1，f（t）→+∞，，容易验证此时a，b，c存在， 所以曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $