黑龙江牡丹江市第三高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

2025---2026学年度第一学期期末考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 以直线：和：交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 6. .已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(　　) A．－2 B．4 C．6 D．8 7. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列{an}满足＋＝2，且a2＝，a3＝，则3a100＝(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程为 C. D. 周长为 10. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的是(　　) A．an＝3n B．an＝n2＋1 C．an＝ D．an＝ln 11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________. 13. 已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为__________. 14. 抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是________． 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）求边的垂直平分线所在的直线的方程； （2）若的面积为5，求点的坐标． 16.已知等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根. (1)求此数列{an}的通项公式. (2)268是不是此数列中的项?若是,是第几项?若不是,说明理由. 17.如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．求解下列问题． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 19.已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C的方程；（2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；（3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $题号 选项 分值 1 C 5 2 A 5 3 A 5 × A 公 5 A 5 6 C 5 7 B 5 P B 5 9 ACD 5 10 CD 11 ABD 5 ( 续15. ) ( 17.（15分） ) ( 202 5 — 202 6 学年度 第 一 学期 期末 高 二 数学 答题卡 注意事项 答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并将考条贴在指定区域内。 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字 、 迹清楚。 请按照题号顺序在各题目的答题区域内答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 保持卡面清洁，不要折迭、不要弄破、皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 填涂样例 正确填涂：  错误 填涂 ：  姓名 班级 考号： 粘帖条码处 ) (    ) ( （15分） ) 选择题（1-8题单选题 每题5分; 9-11多选题 每题6分 部分对得部分分有错选的不得分。共58分） ( 1  6  11  2  7  3  8  4  9  5  10  ) ( 二 、填空题 ： （每空 5 分,共 15 分） 12. 13. 14. ) ( 解答题 15. （ 13 分） ) ( 数学（第1页/共2页） ) (    ) ( 请勿在此区域作答 ) (    ) (    ) ( 数学（第2页/共2页） ) ( ) ( 19.（17分） ) ( 18. （ 17 分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025---2026学年度第一学期期末考试题 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 命题人：孟庆德 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C【分析】依题意，根据数量积的坐标表示计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故选：C 2. 已知直线与圆交于两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用弦长公式得圆心到直线距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 3. 以直线：和：交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为，所以圆心到直线的距离， 故所求圆的方程为．故选：A 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程，由此可得焦点坐标． 【详解】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为， 故选：A． 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 6. .已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4＝(　　) A．－2 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：设等差数列{an}的公差为d，则解得所以a4＝a1＋3d＝6. 7. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆的充要条件是，列出不等式组，解得. 【详解】解：因为方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 所以解得即 故选 8. 已知数列{an}满足＋＝2，且a2＝，a3＝，则3a100＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为＋＝2，可得＋＝，可知数列为等差数列， 又因为a2＝，即＝＝2＋，即－＝2， 可知是以2为公差的等差数列，且a3＝，则＝－2×2＝7－4＝3， 可得＝3＋2(n－1)＝2n＋1，即an＝，所以3a100＝＝.故选B. 线， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆方程为 B. 椭圆方程为 C. D. 周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案． 【详解】由已知得，2b=2，b=1，， 又，解得， ∴椭圆方程为， 如图： ∴，的周长为． 故选：ACD． 10. 若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的是(　　) A．an＝3n B．an＝n2＋1 C．an＝ D．an＝ln 答案：CD 解析：对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不是递减数列，故A不符合题意；对于B，若an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}是递增数列，故B不符合题意；对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}是递减数列，故C符合题意；对于D，若an＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln ＝ln ，因为函数y＝ln 在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}是递减数列，故D符合题意．故选CD. 11. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，然后求出在方向上的投影的绝对值即可得答案 【详解】设平面的法向量，则 ，令，则， 因为， 所以四棱锥的高为， 故答案为：2 13. 已知双曲线，若，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线离心率即可计算得到答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线上的动点坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设抛物线上的动点坐标为， 则点到直线的距离 ， 当，即时，距离最小值为， 此时点坐标为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）求边的垂直平分线所在的直线的方程； （2）若的面积为5，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程． （2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值． 【详解】解：（1），， 的中点的坐标为， 又 设边的垂直平分线所在的直线的斜率为 则 ， 可得的方程为， 即． 边的垂直平分线所在的直线的方程 （2）边所在的直线方程为 设边上高为即点到直线的距离为 且 解得 解得或， 点的坐标为或 16.已知等差数列{an}中,a1<a2<a3<…<an且a3,a6为方程x2-10x+16=0的两个实根. (1)求此数列{an}的通项公式. (2)268是不是此数列中的项?若是,是第几项?若不是,说明理由. 答案：(1) an=2n-4. (2) 第136项 解析：(1)由已知条件得a3=2,a6=8. 又{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d, ∴a1+2d=2,a1+5d=8,解得a1=-2,d=2. ∴an=-2+(n-1)×2=2n-4(n∈N*). ∴数列{an}的通项公式为an=2n-4. (2)令268=2n-4(n∈N*),解得n=136. ∴268是此数列的第136项. 17.如图在边长是的正方体中，，分别为，的中点．求解下列问题． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，求得直线的方向向量，以及平面的法向量，由空间向量数量积，可得答案； （2）由题意，求得平面的法向量，由（1）的直线的方向向量，根据空间向量的共线定理，可得答案. 【小问1详解】 由题意，可知，，，， 的中点，的中点，则， 易知平面的一个法向量， ，，平面，平面. 小问2详解】 由题意，可知，，， 在平面内，取，，设其法向量， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量， ，平面，即平面， 18. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程； （2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程． 因为点在抛物线上，所以 又因为，解得，故抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，则 ，所以，化为 又因为的中点为，所以， 则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为 整理得． 19.已知双曲线C的中心在原点，是它的一个顶点.是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C的方程；（2）设，M为双曲线右支上动点，当|PM|取得最小时，求四边形ODMP的面积；（3）若过点任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证:为定值. 【答案】（1）； （2）； （3）定值0，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件设出双曲线C的方程，利用待定系数法计算得解. (2)根据给定条件求出点M的坐标，并求出点M到直线DP距离，再借助三角形面积公式计算即得. (3)设出直线AB方程：，联立直线AB与双曲线C的方程，借助韦达定理计算即可作答. 【小问1详解】 因双曲线C的中心在原点，一个顶点是，则设双曲线C的方程为：， 于是得双曲线C的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线的一个方向向量是， 则有， 所以双曲线C方程为. 【小问2详解】 依题意，设点，则，即， ，当时，，此时， 点M到直线DP：的距离为，而，如图， 四边形ODMP的面积， 所以四边形ODMP的面积为. 【小问3详解】 显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程：，由消去x得：， 当时，恒成立，设， 则有，， 因此，， 所以为定值0. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 学科网（北京）股份有限公司 $