精品解析：2025-2026学年 海原县第一中学第四次月考高三数学试题

2025-2026学年度海原一中第四次月考 高三数学 命题人：马海兰 主管：安义全 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集运算即可求解. 【详解】由，集合， 可得：， 故选：B 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】先判断充分性，即由能否推出，再判断必要性，即由能否推出，最后根据充分性和必要性的分析结果判断选项． 【详解】若，代入方程得，即能推出，充分性成立； 若，解方程，因式分解得，解得或，不能推出，必要性不成立． “”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因，由，可得，故A错误； 对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C错误； 对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确. 故选：D. 4. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及递推关系得到是以3为周期的数列，进而确定. 【详解】，且， ，， ，，  所以是以3为周期的数列，则. 故选：B 5. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据个位数字是否为0，即可结合排列组合求解. 【详解】若0在个位，则有种情况， 若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有， 故总共有个， 故选：B 6. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可得出函数的最小正周期，求出的值，代值计算可得的值. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，解得，则， 故. 故选：A. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变换得到，确定，计算得到答案. 【详解】， ，故，则，故， 即，故的值域为. 故选：D 8. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理求出，再将向量用基底表示，借助向量运算性质计算即可. 【详解】由，解得. 设， 则. 故选：C 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第百分位数是； B. 若回归方程为，则变量与成负相关 C. 若随机变量服从正态分布，，则 D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，结合百分位数计算方法，即可求解；对于B，结合回归方程的相关性的性质，即可求解；对于C，结合正态分布的对称性， 即可求解；对于D，结合线性回归分析中相关指数的定义，即可求解． 【详解】对于A：将，，，，，，，排序为，，，，，，，， ，所以第百分位数是第个数，即为，故A正确， 对于B，回归方程为， 又，变量与成负相关，故B正确， 对于C，随机变量服从正态分布，， ， 故，故C错误， 对于D，线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越大，说明模型的拟合效果越好，故D错误． 故选：AB． 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于是定义在上的奇函数，所以，经验证此时满足题意，所以A选项正确. 则当时，， 当时，，， 所以B选项错误. 由上述分析可知，由此画出的图象如下图所示， 由图可知，的单调递减区间为和，C选项正确. 不等式的解集为，D选项正确. 故选：ACD 11. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出正方体的棱长，利用坐标法计算判断ABC；利用等体积法求出体积判断D作答. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1， 则，，，，，，， 对于A，，设是平面的法向量， 则，令，得，因此，与不垂直， 所以与平面不平行，A错误； 对于B，，设是平面的法向量， 则，令，则，又，， 设是平面的法向量，则，令，得， 于是，即，所以平面平面，B正确； 对于C，， 异面直线与所成角的余弦值为： ，C错误； 对于D，，则有，D正确. 故选：BD 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求模公式，代入计算，即可得答案. 【详解】由，则． 故答案为： 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 14. 某种型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为9（cm）圆锥形脆皮蛋卷桶，则下半部分脆皮蛋卷桶的面积为__________（）. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，根据已知列出方程求出，进而得出圆锥的母线，然后求出圆锥的侧面面积即可. 【详解】设球的半径为 由已知可得，，解得， 则可知下半部分为高为，底面半径为的圆锥， 所以圆锥的母线， 所以下部脆皮蛋卷桶的面积为即圆锥侧面的面积为. 故答案：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案； （2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解． 【小问1详解】 解：设等差数列公差为d，首项为a1， 由题意，有，解得， 所以； 【小问2详解】 解：，所以． 16. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，底面，. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由题意可证，利用余弦定理可求得，利用勾股定理的逆定理可得，可证，进而可证平面，可证得； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，又可得为平面的一个法向量，利用向量法可求两平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 因为底面，底面，所以， 又， 由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 所以，又，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以，所以， 因为底面是等腰梯形，所以，所以， 所以， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以为平面的一个法向量， 所以| 所以平面与平面的夹角的正弦值为 . 18. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析,0.6 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1求解； （2）根据超几何分布求解概率； （3）利用二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 根据频率之和等于1可得， ，解得. 【小问2详解】 由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为. 【小问3详解】 由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以, 所以所有可能的取值有0,1,2， 所以 , 所以的分布列如下， 0 1 2 所以数学期望为. 19. 设函数． （1）当时，求的最小值； （2）若恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性求最值即可； （2）求出函数的导函数，对进行分类讨论，分析函数的单调性，最值，由函数零点的个数求a的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，， 当时；当时，． 所以，函数在上单调递减，在上单调递增． 所以，即的最小值为0． 【小问2详解】 由，得， （ⅰ）当时，，函数在单调递增，且，故函数恰有一个零点，不合题意． （ⅱ）当时， ①若，由（1）可知为最小值，函数恰有一个零点，不合题意． ②若，当时，，函数在单调递减，所以， 当时，，函数在单调递增，又， 根据零点存在定理，所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． ③若，因为函数在单调递增，所以， 根据（1）由，得， 由，得，进而得， 所以． 又因为在上单调递减，根据零点存在定理， 所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． 综上，a的取值范围是． 【点睛】一般的根据函数零点的个数求参数的取值范围，需要对参数进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，最值，结合零点的存在性定理进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度海原一中第四次月考 高三数学 命题人：马海兰 主管：安义全 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 6. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如，，已知函数，则函数的值域为（ ） A. B. C D. 8. 如图，在中，是边上靠近点的三等分点，是边上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 数据，，，，，，，的第百分位数是； B. 若回归方程为，则变量与成负相关 C 若随机变量服从正态分布，，则 D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A B. 当时， C. 函数的单调递减区间为和 D. 不等式的解集为 11. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 若，则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知，则___________． 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 14. 某种型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为9（cm）圆锥形脆皮蛋卷桶，则下半部分脆皮蛋卷桶的面积为__________（）. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，底面，. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正弦值. 18. 某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望. 19. 设函数． （1）当时，求的最小值； （2）若恰有两个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $