1.3乘法公式（第2课时 平方差公式的应用）（教学课件，含交互动画）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦平方差公式的应用，通过大长方形面积（(a+b)(a-b)）与大正方形减小正方形阴影面积（a² - b²）的关系提问导入，衔接多项式乘法的知识基础，以面积问题为学习支架引导学生探究公式的几何验证。 其亮点在于运用割补法进行几何验证，让学生经历“几何构造—面积计算—代数推导”过程，发展几何直观与推理意识。通过103×97转化为(100+3)(100-3)等实例，体现数形结合教学方法，小结涵盖知识、方法与易错点，帮助学生理解公式本质，也为教师提供清晰的教学脉络与实用案例。

null1.3 乘法公式 第2课时 平方差公式的应用 第一章 整式的乘除 北师大版2025·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 能利用几何图形的割补法验证平方差公式，理解公式的几何意义；结合面积模型，熟练运用平方差公式进行整式乘法计算和简单的几何面积问题求解。 经历“几何图形构造—面积计算—代数推导—公式验证”的过程，体会数形结合的数学思想，培养观察、操作、分析和归纳的能力。 通过几何图形验证代数公式的过程，感受数学的和谐美与内在统一性，激发主动探究数学知识之间联系的兴趣，增强学习数学的成就感。 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 字母表示 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 文字表示 多项式乘法的特殊情形 (a + b) ( a - b) = a2 - b2 特征 两数的和 两数的差 这两数的平方差 注：这里的a、b可以是两个单项式也可以是两个多项式等． 知识回顾 a 导入新课 （1）请表示图中大长方形的面积。 S阴影=a2 – b2 b a a-b b （2）如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。 S大长方形=(a+b)(a-b) (1)中大长方形的面积等于(2)中阴影部分面积吗？ a b b a (a – b) (a – b) 裁剪后面积：________________ 裁剪前面积：_________________ 裁剪前后纸板的面积相等 新知探究 探究点1 用面积验证平方差公式 议一议 (1)若将大正方形的一边减去长度 b，剩余部分与小正方形进行割补拼接，能否得到一个新的矩形？这个新矩形的面积与“大、小正方形的面积差”有什么关系？ a-b b a b 变化前： 变化后： (2)根据图形前后变化的面积关系直观地说明平方差公式吗 前后变化的面积相等 新知探究 探究点1 用面积验证平方差公式 议一议 a 新知探究 探究点1 用面积验证平方差公式 议一议 （3）比较前面的结果， 你能验证平方差公式吗 ? a a b 平方差公式: a2 – b2 =(a + b)(a – b) a2 – b2 (a + b) (a – b) a-b b 点击打开 b a 新知探究 探究点1 用面积验证平方差公式 议一议 (4)沿大正方形右上角小正方形的左边，将剩余部分割成一个长方形和一个直角梯形 b a b a a-b 将直角梯形向右平移，拼接成长方形，得到一个新的矩形。 2S梯形的面积 =(a＋b)(a－b)] ＝(a＋b)(a－b） S大正方形－S小正方形 ＝a２－b２, a２－b２ (a＋b)(a－b） 平方差公式: a2 – b2 =(a + b)(a – b) 验证成立 观察•思考 探究点1 用面积验证平方差公式 议一议 （1）计算下列各组算式： 7×9 = 8×8 = 11×13 = 12×12 = 79×81 = 80×80 = 63 64 143 144 6399 6400 （2）观察上述算式及其结果，你发现了什么? (n – 1)(n + 1) = n2 – 1。 （3）请用字母表示这一规律。 符合平方差公式。 -1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 连续两个奇数的积等于夹在在两个奇数中间偶数与1的平方差 连续两个偶数的积等于夹在在两个偶数中间奇数与1的平方差 典例分析 例1：利用面积模型验证 ，并计算当 时，该代数式对应的图形面积。 3 3 解：构造如图长方形： 长为，宽为， 面积为： 大正方形面积 ， 小正方形面积 9， 面积差为； ， 由图可得 当，代入计算得面积为： . 典例分析 例2：利用平方差公式计算: （1）103×97； （2）118×122 。 解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991； （2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。 (103+97)÷2=100 (118+122)÷2=120 你有什么发现? 任意两数的积等于这两数和的一半与这两数差的一半的平方差 a•b= (103－97)÷2=3 (122－118)÷2=2 典例分析 例 3 计算： （1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。 解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2； = a2(a2 – b2) + a2b2； = a4 – a2b2 + a2b2； = a4； （2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3) = (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x) = 4x2 – 25 – 4x2 + 6x = 6x – 25。 新知巩固 1.计算: 解（1） 704×696 =( 700 + 4 )( 700 – 4) = 7002 – 42 = 489 984 教材P20页 随堂练习 (2) 解:(x + 2y) (x – 2y) + (x + 1) (x – 1) = x2 – (2y)2 + (x2 – 1) = x2 – 4y2 + x2 – 1 = 2x2 – 4y2 – 1 新知巩固 1.计算: 教材P20页 随堂练习 (3) 解: = x2 – x – (x2 – ) = – x + 拓展提升 1.已知关于的整式的值与的大小无关，求整式的值． 解： ， ∵整式的值与的大小无关， ∴ ∴ ∴ ． 真题感知 1．（25-26上·北京·期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 解：由图可知， 第一个图形阴影部分的面积为， 第二个图形阴影部分的面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴等式为， 真题感知 2．（25-26·北京西城·期中）图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． 解：由题意得： ； ； C． D．以上情况均有可能 ， ， A 课堂小结 （3）公式的应用场景： 整式乘法运算、几何图形面积计算、代数式化简。 1. 知识总结： （1）平方差公式的几何意义：长为 a+b、宽为 a-b 的矩形面积等于边长为 a 的大正方形与边长为 b 的小正方形的面积差。 （2）公式的两种视角： 代数视角是“和乘差等于平方差”， 几何视角是“面积差的两种计算方法”。 a a-b b 平方差公式: a2 – b2 =(a + b)(a – b) b a 课堂小结 （1）割补图形时，注意边长的对应关系，不要混淆新矩形的长和宽（长是 a+b，宽是 a-b）。利用公式计算面积时，避免出现符号错误， （2）不要将 写成 。 （3）构造几何模型时，确保 a>b，否则无法进行有效的割补拼接。 2. 方法总结： （1）验证公式的方法：割补法（将不规则图形转化为规则图形，利用面积不变性推导公式）。 （2）解决问题的思路：遇到代数平方差问题，可构造几何图形辅助理解；遇到几何面积差问题，可利用平方差公式简化计算。 （3）核心思想：数形结合思想（将数的运算与形的特征相互转化）。 3. 易错提醒： 课后练习 2.计算： （1）(2m+3)(2m-3)； （2）x(x+1)+(2-x)(2+x) ； （3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y) ； （4）(a+ b)(a-b)-(3a-2b)(3a+2b)。 解：（1） 原式=4m2-9； （2） 原式=x2+x+4-x2 =x+4； （3） 原式=9x2-y2+xy+y2 =9x2+xy； （4） 原式=a2- b2- (9a2- 4b2) =a2- b2- 9a2+4b2 =-8a2+b2； 教材P24页 习题1.3 课后练习 10.计算： （1） (an+ b)(an-b) ； （2） (a+1)(a-1)(a2+1)。 解：（1） (an+ b)(an-b) =(an)2 - b2 =a2n - b2； （2） (a+1)(a-1)(a2+1) =(a2-1) (a2+1) = a4-1。 教材P25页 习题1.3 谢谢聆听 $