精品解析：福建福州屏东中学2025-2026学年八年级上学期数学1月综合练习（1）

福州屏东中学2025-2026学年第一学期期末综合练习（1） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列四款人工智能模型的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 4. 若三角形的三边长为，，3，则此三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 日前我国宣布，中国已实现14纳米制程芯片设计、制造、封装测试全产业链自主可控，14纳米毫米，0.000014用科学记数法表示为_______． 12. 已知，则__________． 13. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为___________． 14. 如图，四边形是平行四边形，与的角平分线相交于点，若点恰好在线段上，，，则__________． 15. 关于的方程无解，则的值为___________． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）因式分解：； （2）解方程：． 19. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 20. 先化简，再求值：从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 21. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 22. 如图，中，． （1）在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简） 23. 某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测十分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了170米． 任务 任务一：（1）求基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：（3）求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 24. 在等腰中，． （1）如图1，D为线段的延长线上一点，连接，过点B作，已知，求和的长． （2）如图2，点F是线段上一点，连接，过点B作于点G，过点C作于点H，连接． ①若，，求的值． ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2025-2026学年第一学期期末综合练习（1） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列四款人工智能模型的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的判断标准是解题关键． 根据轴对称图形的定义对选项依次判断． 【详解】解：选项：图案是不对称的曲线，没有对称轴； 选项：图案是旋转对称的交织结构，没有对称轴； 选项：图案是正六边形内的对称结构，有对称轴，是轴对称图形； 选项：图案是不规则的点线结构，没有对称轴． 故选：． 2. 若分式的值为0，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据分式的值为0需分子为0且分母不为0求解． 【详解】解：∵分式值为0， ∴且． 解得， 即或． 又∵， ∴． ∴． 故选：A． 3. 下列计算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、和 不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 4. 若三角形的三边长为，，3，则此三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能求出三角形是直角三角形是解此题的关键． 先根据勾股定理的逆定理求出该三角形是直角三角形，再求出三角形的面积即可． 【详解】∵三角形的三边长分别为，，2， ∴ ∴此三角形是直角三角形， ∴此三角形的面积是． 故选：D． 5. 点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中对称的特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此求解即可． 【详解】解：∵ 点关于x轴对称， ∴ 横坐标不变，为2，纵坐标变为， ∴ 对称点为， 故选：A． 6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】解：m和n都扩大为原来的2倍后，代入分式计算并化简，比较新分式与原分式的值即可解答． 【详解】解：∵m和n都扩大为原来的2倍， ∴ 新分式为， ∵原分式为， ∴分式的值扩大为原来的2倍， 故选B． 8. 如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 9. 欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板，根据卖得的钱数相同以及交换鸡蛋后的卖价关系列出方程即可． 【详解】解：设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板， 则甲卖自己的鸡蛋得钱个铜板，乙卖自己的鸡蛋得钱个铜板， ∴， ∵甲卖乙的鸡蛋按甲的单价得27铜板，乙卖甲的鸡蛋按乙的单价得12铜板， ∴，， ∴， ∴，即， 故选A． 10. 如图一所示，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图（2）所示的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图2，由题意可设，则可以用x表示出，又由于，，所以可以得到m与x的关系式，在直角中，利用勾股定理列出方程，得到n与x的关系，等量代换进行运算，即可解决． 【详解】解：设图2中，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，以及勾股定理的应用，设出参数，用参数表示出线段或者面积，利用勾股定理列方程，是解决本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 日前我国宣布，中国已实现14纳米制程芯片设计、制造、封装测试全产业链自主可控，14纳米毫米，0.000014用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知，则__________． 【答案】##2.25 【解析】 【分析】本题考查了因式分解以及整体代入求值，将原式因式分解是解决本题的关键． 先将原式进行因式分解，再由题目已知整体代入求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴上式． 故答案为： ． 13. 一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个外角的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式（n−2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论． 【详解】解：设它是n边形，则 （n−2）•180°＝1080°， 解得n＝8． 360°÷8＝45°， 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 14. 如图，四边形是平行四边形，与的角平分线相交于点，若点恰好在线段上，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线与平行线的性质可得，进而根据平行四边形的性质可得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，与的角平分线相交于点， ∴， ， ， ， ， ，同理可得， ， ， 则， 中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边，角平分线的定义，证明是解题的关键． 15. 关于的方程无解，则的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为两种情况：原方程化为整式方程后整式长无解；分式方程有增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，分为两种情况，整式方程本身无解；分式方程产生增根，确定出的值，即可解题． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得， 整理得． 当整式方程无解时，，解得； 当分式方程有增根时，，即，代入整式方程得，解得． 故答案为：或． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别是上的动点，且，当最小时，的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，三角形外角的性质，最短距离等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质并能正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点，过点作，且，连接，设交于点，证明和全等得，，则，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点在同一条直线上时，为最小，此时，然后根据，，，则，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，设交于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点在同一条直线上时，为最小，即为最小， 当点在同一条直线上时，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， 当为最小时，， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减混合运算，立方根，绝对值性质，零指数幂的性质，负整数指数幂，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）直接利用二次根式的性质，立方根，绝对值性质化简各项，再合并计算，即可解题； （2）根据有理数的乘方，绝对值性质，零指数幂，以及负整数指数幂分别化简各项，再计算乘法，最后计算加减，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）因式分解：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键，还考查了解分式方程，解分式方程要注意检验． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，即可解题； （2）将分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，最后检验即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 检验，当时， 原方程无解． 19. 如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】 证明：点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 20. 先化简，再求值：从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值知识点，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，对原式进行正确化简，并注意分式有意义的条件． 先对原式括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后根据分式分母不为零的条件选取合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 在化简过程中出现在分母中的因式， 有、、， ，，， ，，， 当时，原式． 21. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【解析】 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 22. 如图，中，． （1）在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简） 【答案】（1）如图，点M即为所作； （2）． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线即可，根据线段垂直平分线的性质即可得到； （2）先求得，推出，作于点，利用等腰三角形的性质求得，，再利用勾股定理求得即可． 【小问1详解】 解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∴， ∴，， 在中，． 23. 某科技小组制作了甲、乙两个机器人，请阅读下列性能测试信息，完成相应任务． 性能信息 1．两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式； 2．标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分钟； 3．全速模式速度是标准模式速度的两倍． 测试信息 实验1：测各模式速度． 标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等． 实验2：测十分钟（包括故障时间）所跑路程． 信息一：甲、乙同时出发，同向而行． 信息二：甲全程在标准模式下完成跑步． 信息三：乙先在全速模式下跑步，1分钟后发生故障，用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了170米． 任务 任务一：（1）求基础模式和标准模式的速度； 任务二：（2）求实验2中机器人乙故障时长a的值； 任务三：（3）求实验2整个过程中第几分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 【答案】任务一：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟；任务二：；任务三：第或或5分钟 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系建立方程求解． 任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟，利用时间路程速度，结合标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即基础模式的速度），再将其代入中，即可求出标准模式的速度； 任务二：根据乙共用时分钟，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； 任务三：设甲的运动时间为t分钟，分及三种情况考虑，根据两个机器人之间的距离等于米，可列出关于t的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务一：设基础模式的速度为x米/分钟，则标准模式的速度为米/分钟， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（米/分钟）． 答：基础模式的速度为20米/分钟，标准模式的速度为30米/分钟； 任务二：根据题意得：， 解得：． 答：实验2中机器人乙故障时长a的值为； 任务三：设甲的运动时间为t分钟， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去），； 当时，， 即或， 解得：（不在范围内，舍去）或． 答：实验2整个过程中第或或分钟时，两个机器人之间的距离等于20米． 24. 在等腰中，． （1）如图1，D为线段的延长线上一点，连接，过点B作，已知，求和的长． （2）如图2，点F是线段上一点，连接，过点B作于点G，过点C作于点H，连接． ①若，，求的值． ②求证：． 【答案】（1）； （2）①； ②在上截取，取BG与CH的交点为N，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵∠HNB=∠GNC， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理．求出，利用面积桥求； （2）①在等腰直角三角形中求，由设，则，在中，由勾股定理，求出，利用面积公式求． ②在上截取，取BG与CH的交点为N，连接，先求出，再推出，证，可知是等腰直角三角形，推出即可． 【详解】（1）在中，， ∴． ∵， ∴， ∵． ∴； （2）①∵， ∴， ∴． ∵ 设，则， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②略． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，三角形全等，掌握勾股定理，等腰直角三角形判定与性质，三角形全等知识，利用辅助线准确构图是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $