精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

新蔡一高精英部1月份数学月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数（其中e=2.71828…）的大致图像为（ ） A. B. C. D. 5. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 6. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与在区间上单调性相同，则称区间为函数的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，在上单调递减，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11. 已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是增函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为________．（精确到0.1） 13. 高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________. 14. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值. 16 已知函数，且． （1）求m的值． （2）判断的奇偶性并证明． （3）判断在上的单调性，并给予证明． 17. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成，，，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 18. 已知函数定义域为，且，当时，． （1）求，的值． （2）证明：；并判断在上的单调性，并给出证明； （3）求不等式的解集． 19. 某大型体育赛事期间，为保障主场馆周边地铁站安全运营，交通部门建立了智能客流预警系统．系统通过实时监测站内客流密度（单位：人/平方米），计算得到压力指数，并自动触发相应级别的管控措施，即： 三级（蓝色）预警：，加强广播提示： 二级（黄色）预警：，增派工作人员进行安全引导； 一级（红色）预警：，实施站外限流． 基于监测数据及经验，当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升，可分段表示为其中． （1）试确定，并作出函数的图像； （2）某站厅面积为，当客流压力指数时，估算此时站内总人数； （3）若某时段内，客流从零开始以每分钟0.05人/平方米的速度匀速增加，试问在触发三级（蓝色）预警后多久将会触发一级（红色）预警？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高精英部1月份数学月考试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题“”的否定是特称量词命题“”可得. 【详解】因为全称量词命题“”的否定是特称量词命题“”， 所以全称量词命题“，”的否定是“”. 故选：C. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数轴并结合并集的定义可得结果. 【详解】由，由并集的定义可得. 如图： 故选：D. 3. 已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【详解】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 4. 函数（其中e=2.71828…）的大致图像为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断函数奇偶性，再结合零点来分析. 【详解】函数的定义域为，且， 因此是奇函数，其图像关于原点对称，故选项A、B不符合题意； 令，则,  因为，所以或，解得或. 因此，函数有三个零点，C选项正确. 故选：C. 5. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. 与对立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 6. 某品牌手机在低电量模式下，电量消耗遵循指数衰减规律.设初始电量为（单位：），经过小时后，剩余电量（单位：）满足函数关系（其中为电量衰减系数）.已知该手机在低电量模式下，从初始电量衰减到用时4小时，设初始电量为，若用户希望剩余电量不低于，则该手机在低电量模式下最多可使用时间的小时数为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数模型，代入数值，化简可得，即可得函数解析式，代入数值可得不等式，解不等式即可. 【详解】已知初始电量为，经过小时后，剩余电量， 则有即，解得， 当剩余电量不低于即，化简得， 两边同取以为底的对数即，由对数运算法则得， 解得，代入数据可得， 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，对任意不相等的两个正实数，，恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知在上单调递增，在上单调递减，且，可得的解集为. 【详解】对任意不相等的两个正实数，，恒成立， 不妨设，，，， ，在上单调递增， 是定义在上的偶函数，在上单调递减， ，的解集为． 故选：D. 8. 若函数与在区间上的单调性相同，则称区间为函数的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按和分类化简两个函数，再结合指数函数单调性及给定定义列出不等式组求解. 【详解】由区间为函数的“稳定区间”， 得函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，函数在上递减，在上递增，不合要求； 当时，，， 若两函数在上单调递增，则，解得； 若两函数在上单调递减，则，不等式组无解， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，在上单调递减，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据分段函数单调递减的特点，列出相应的不等式组，求解即可得到a的取值范围，从而作出判断． 【详解】由题意可知，，所以． 所以． 即a的取值范围是． 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的分位数是23 D. 数据平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义即可求解A，根据古典概型概率公式求解B，将数据重新排列，即可根据百分位数的计算公式求解C，根据平均数以及方差的性质即可求解D即可． 【详解】对于A，任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确， 对于B，由题意得， 得到，故B正确， 对于C，将数据从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故分位数为，故C错误， 对于D，数据的平均数为2，方差为3， 则数据的平均数为， 方差为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是增函数 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，可得到为常函数，代值，并利用可判断AB；由，可判断C；由指数函数的单调性可判断D. 【详解】由，得. 令函数，则，所以为常函数. 令，则.因为，所以. ，即的值不确定，A错误； ，B正确； 因为，所以不是上的奇函数，C错误； 由，知是增函数，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．若甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本平均数为________．（精确到0.1） 【答案】5.4 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】由题意可知合在一起的样本平均数为， 故答案为：5.4 13. 高二（6）班和高二（7）班进行班级篮球赛，采用3场2胜制（每场无平局，某个班级先赢得两场比赛比赛结束），已知（6）班实力强劲，其每场获胜的概率为，则最终（7）班能够赢得比赛的概率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对立事件的概率公式求出（7）班每场获胜的概率，再运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式计算即可. 【详解】因（6）班每场获胜的概率为，则（7）班每场获胜的概率为，每场输掉比赛的概率为， 依题意比赛采用3场2胜制，（7）班赢得比赛的情况有“胜胜”，“胜败胜”，“败胜胜”共3种， 则其赢得比赛的概率为. 故答案为：. 14. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】结合函数单调性可得、是关于的方程的两不同根，再利用根的判别式与韦达定理计算即可得. 【详解】由，则有，故， 且有在定义域内单调递增， 则，， 即，， 令，，则，， 则，， 故是关于的方程的两不同非负根， 则有，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 求值： （1）； （2）； （3）已知，，求的值. 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则化简求值即可. （2）根据对数的运算法则及换底公式化简求值即可. （3）根据指数与对数的互化及换底公式化简求值即可. 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 【小问3详解】 由，得， 由，得， 所以. 16. 已知函数，且． （1）求m的值． （2）判断的奇偶性并证明． （3）判断在上的单调性，并给予证明． 【答案】（1）1 （2）奇函数，证明见解析 （3）增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由列方程可得的值； （2）由奇偶性的定义即可判断及证明的奇偶性； （3）根据单调性的定义即可证明. 【小问1详解】 因为，解得． 【小问2详解】 为奇函数． 证明如下：因为，定义域为，关于原点对称， 又因为， 因此函数为奇函数． 【小问3详解】 在上为增函数，证明如下： 设，则 ， 因为，所以，，故， 即，又因为，因此函数在上为增函数． 17. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩（百分制）分成，，，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】（1）； . （2）；. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图所有小矩形面积之和为，可求值；根据分位数的性质求解. （2）先求出，再根据公式可求得. 【小问1详解】 由频率分布直方图所有小矩形面积之和为， 可得，解得. 因为成绩小于分的频率为，占比为， 成绩小于分的频率为， 占比为， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 则，所以分位数为. 【小问2详解】 成绩在，内的人数分别为： ，, 则， 所以. 18. 已知函数的定义域为，且，当时，． （1）求，的值． （2）证明：；并判断在上的单调性，并给出证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1），=1 （2）证明见解析，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令，，由求；再令求； （2）由（1）得到，再设，结合证明；利用函数的单调性定义，任取，且，令，，得到判断； （3）设函数，由，转化为，利用单调性求解. 【小问1详解】 令，，得． 由题意得，所以，得． 令，得，得． 【小问2详解】 证明：由（1）得． 当时，，，得． 又，当时，，所以． 在上单调递减． 证明：任取，且，令，，由题设可得： ，即． 因为，所以，得． 由（2）可知，由，得，所以在上单调递减． 【小问3详解】 设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减， 由，得． 由，得， 则等价于， 所以，得． 故不等式的解集为． 19. 某大型体育赛事期间，为保障主场馆周边地铁站的安全运营，交通部门建立了智能客流预警系统．系统通过实时监测站内客流密度（单位：人/平方米），计算得到压力指数，并自动触发相应级别的管控措施，即： 三级（蓝色）预警：，加强广播提示： 二级（黄色）预警：，增派工作人员进行安全引导； 一级（红色）预警：，实施站外限流． 基于监测数据及经验，当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升，可分段表示为其中． （1）试确定，并作出函数的图像； （2）某站厅面积为，当客流压力指数时，估算此时站内总人数； （3）若某时段内，客流从零开始以每分钟0.05人/平方米的速度匀速增加，试问在触发三级（蓝色）预警后多久将会触发一级（红色）预警？ 【答案】（1），作图见解析 （2）3500 （3）60分钟 【解析】 【分析】（1）根据客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升，分析两个函数增加的速度即可求解； （2）由题可得，利用即可求解； （3）分别计算触发三级预警和触发一级预警所对应的值即可求解. 【小问1详解】 因为当客流密度达到一定数量后，客流压力指数会随着的增加而加速上升， 因为对数函数是缓慢增加，二次函数是加速增加， 所以 【小问2详解】 时，，解得， 此时人，因此站内总人数的估计值为人 【小问3详解】 若触发三级预警，则时，得， 若触发一级预警，则时，得 则，所需时间为分钟． 即60分钟后会触发一级（红色预警） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $