精品解析：湖南长沙市明德中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

明德中学2026年上学期期中考 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则复数z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知内角，，的对边分别是，，，且，则角（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 7. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是 A. [，0） B. [，0] C. [，1） D. [，1] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 B. 已知向量，若与共线，则 C. 若向量，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足，则为等边三角形 11. 正方体的棱长为2，动点P，Q分别在棱上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设，，其中，下列命题正确的是（ ） A. 当时，S的面积为 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值 D. 当时，S为矩形，其面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为_______ 13. 如下图，在直角三角形ABC中，，，将绕直角边AC旋转所得的旋转体的表面积为____________. 14. 如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______． 四、解答题：本题共5小题共7分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数. （Ⅰ）若对应的点在第四象限，求的取值范围； （Ⅱ）若的共轭复数与复数相等，求的值. 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，． （1）求∠B； （2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积． 17. 如图，在正方体中，分别为，AB中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值． 18. 已知函数 . （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的取值范围； （3）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的零点. 19. 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. （1）求证：平面平面POB； （2）点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2026年上学期期中考 高一年级数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则复数z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数实部和虚部的定义求解. 【详解】复数，则复数z的虚部为1. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】若，则， 因此可得，解得. 故选：D 3. 已知圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出立体图像,根据已知条件求得圆锥的高,即可求得答案. 【详解】设圆锥的高为,母线长为,底面半径为 画出立体图像,如图: 根据立体图形可得: 根据圆锥的体积计算公式: 故选:A. 4. 在中，已知内角，，的对边分别是，，，且，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理与已知条件结合，求得，进而根据角的范围得出结果即可. 【详解】解：由余弦定理可知， 因为，所以，即， 因为， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 5. 如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据斜二测直观图求出，，进而求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，即，， 所以的面积是． 6. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，通过空间平面位置关系判断D. 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D， 三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； D正确， 故选：D. 7. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，，若，则堑堵的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出底面直角的外接圆直径，然后利用公式，计算得到外接球的半径，再利用体积公式，即可求解. 【详解】由题意，在直三棱柱中， 因为，所以为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径， 又由，所以直三棱柱的外接球的直径， 所以，所以外接球的体积为，故选C. 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及球内接组合体的性质，其中解答中根据组合体的结构特征，正确求解外接球的半径，利用球的体积公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题. 8. 已知A、B是单位圆O上的两点（O为圆心），∠AOB=120°，点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径，则的取值范围是 A. [，0） B. [，0] C. [，1） D. [，1] 【答案】A 【解析】 【详解】建立如图所示的坐标系， 到直线的距离， 则， 的取值范围是， 故选A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确. 对于B，因为，所以z的共轭复数为，所以B正确. 对于C，，所以C正确. 对于D，，所以D错误. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件 B. 已知向量，若与共线，则 C. 若向量，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由，且 不共线判断；B.由与共线的坐标运算求解判断；C. 利用在方向上的投影向量定义判断；D.由表示角平分线方向上的向量， 表示角平分线方向上的向量与边BC垂直判断. 【详解】A. 若的夹角为锐角，则 ，且 ，解得且，故错误； B.若与共线，则，解得，故错误； C. 在方向上的投影向量坐标为，故正确； D. 都表示单位向量，表示角平分线方向上的向量， 表示角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故错误. 11. 正方体的棱长为2，动点P，Q分别在棱上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设，，其中，下列命题正确的是（ ） A. 当时，S的面积为 B. 当时，S为等腰梯形 C. 当时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值 D. 当时，S为矩形，其面积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正方体截面的特征，结合各个选项逐一分析判断即可得出答案. 【详解】解：对于A，当时，为的中位线，， ∵，∴， ∴S为等腰梯形，过P作于E，如图， ∴，∴，∴， ∴，故A不正确； 对于B，当时，，即， ∵，∴，∴S为等腰梯形，故B正确； 对于C，当时，以为顶点，S为底面的棱锥为， 当时，以为定点，S为底面的棱锥为，如图， ，故C正确； 对于D，当时，点P与点B重合，∴， 如图，此时S为矩形，当点Q与点重合时，S的面积最大，，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，复数与所对应的向量分别为和，其中为坐标原点，则对应的复数为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】先利用复数的几何意义求出和的坐标，从而求出的坐标，由此得解. 【详解】因为复数与所对应的向量分别为和， 所以，， 所以，即对应的复数为. 故答案为： 13. 如下图，在直角三角形ABC中，，，将绕直角边AC旋转所得的旋转体的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为在直角三角形ABC中，，，根据勾股定理得， 将绕直角边AC旋转所得的旋转体为圆锥， 底面半径，母线 侧面积，底面积 14. 如图，在等腰中，底边，是腰上的两个动点，且，则当取得最小值时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用三点共线的条件，得到，再结合条件，利用基本不等式，可得，从而可得，利用数量积的几何意义，即可求解. 【详解】因为是腰上的两个动点，则，， 所以，又， 则，得到，所以， 当且仅当，即，所以， 则， 又是等腰三角形，且底边，取中点，连接，则，且， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题共7分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数. （Ⅰ）若对应的点在第四象限，求的取值范围； （Ⅱ）若的共轭复数与复数相等，求的值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据复数的几何意义，由题中条件列出不等式组求解，即可得出结果； （Ⅱ）先得出复数，再由复数相等列出方程求解，即可得出结果. 【详解】（Ⅰ）由复数对应的点在第四象限，可得， 解得，所以， 即的取值范围为； （Ⅱ）复数共轭复数为， 因为的共轭复数与复数相等， 所以，即，解得. 【点睛】本题主要考查由复数对应的点所在象限求参数，考查由复数相等求参数，熟记复数的几何意义，复数相等的条件，以及共轭复数的概念即可，属于常考题型. 16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，． （1）求∠B； （2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理即可求得，进而可求B； （2）由余弦定理及已知条件可求的值，进而利用三角形面积公式求得答案. 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理，因为， 所以，又， ∴，所以，即， 因为，所以； 【小问2详解】 因为b＝2，c＝2a，由余弦定理得， ∴，解得，则， 所以△ABC的面积. 17. 如图，在正方体中，分别为，AB中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线EF与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】取的中点M，连接，推导出，利用线面平行的判定定理即可证明平面； 由可知为异面直线EF与所成角，从而利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 证明：取的中点M，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形MEFA为平行四边形，有， 又平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 不妨设正方体棱长为2， 由可知为异面直线EF与所成角， 在中，已知， 由余弦定理得， 所以异面直线EF与所成角的余弦值为 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若，求函数的取值范围； （3）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的零点. 【答案】（1），单调递增区间. （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）将化简为正弦型标准形式后，利用周期公式计算最小正周期，结合正弦函数的单调递增区间解不等式得到的单调递增区间； （2）根据的定义域求出相位的范围，结合正弦函数在该区间的值域，推导出的取值范围； （3）根据三角函数平移变换规则得到的解析式，令解方程，筛选出落在区间内的解即为零点. 【小问1详解】 ， ， 由 ，得 ， 所以的单调递增区间是. 【小问2详解】 由，得， 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 由题 ， 由得，解得或，又， 所以或，即在上的零点为和. 19. 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. （1）求证：平面平面POB； （2）点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①，②二面角的正切值为 【解析】 【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论； （2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果. 【小问1详解】 连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为 平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 ①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以 ，，， 因为平面，平面， 所以， 所以 ， 因为 ， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以， ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以 ， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为 ， 所以四边形为矩形，所以 ， 所以在中，， 所以二面角的正切值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $