第一章 三角形的证明及其应用 课前导学-【中考123】2025-2026学年八年级下册数学全程导练(北师大版·新教材)

第一章 三角形的证明及其应用 第一章 三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时 三角形内角和定理与全等三角形 [答案P45] 知识要点 对点训练之 知识点①三角形内角和定理 1.三角形的两个内角分别为55°和75°，则它的 (1)三角形三个内角的和等于四 第三个内角的度数是 ( (2)如图，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=2 A.70° B.60° C.50° D.40° 2.如图，该图形中的x的值为 x+15) x°(x-15)△ B 2题图 (3)求三角形中角的度数的类型： A.60 B.65 C.70 D.75 ①直接根据两个已知角求第三个角； 3.一个三角形三个内角的度数之比为4：5：6，这 ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三 个三角形一定是 () 个角 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 知识点②全等三角形的判定与性质 4.如图，点B,E,C,F在同一条直线上，∠A= (1)全等三角的判定定理：SSS、3 ∠D,AC∥DF,BE=CF.求证：∠B=∠DEF ④ 、固 (2)全等三角形的性质定理：全等三角形的对应 边⑥ 对应角⑦ 4题图 -1 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时 三角形的外角 [答案P45] 知识要点 对点训练立 知识点①三角形的外角的概念 1.如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC外角的是 (1)定义：三角形内角的一条边与另一条边的 四 线组成的角，称为三角形的 外角. (2)如图，∠ACD就是△ABC的外角. 1题图 A.∠1，∠2 B.∠2，∠3 注意：三角形的外角实质是三角形一个内角的邻 C.∠1，∠3 D.∠1，∠2，∠3 补角 知识点2三角形内角和定理的推论1 2.如图，已知∠ACD是△ABC的外角，若 (1)三角形的一个外角等于和2 的两 ∠ACD=135°，∠A=75°，则∠B的大小为 个内角的和. ( (2)如图，∠ACD=B +④ A.60° B.140° C.120° D.90° (x+65)° D △x-5)° C D B 2题图 3题图 3.在△ABC中，∠A,∠C与∠B的外角度数如图 所示，则x的值是 ( A.80 B.70 C.65 D.60 知识点③三角形内角和定理的推论2 4.如图，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD 三角形的一个外角⑤ 任何一个和 ∠BAC.(填“>”“<”或“=”) 它不相邻的内角. 4题图 第一章三角形的证明及其应用 第3课时 多边形的内角和 [答案P45] 知识要点 对点训练 知识点①多边形的内角和定理 1.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 问题：三角形的内角和为180°，四边形的内角和 ∠B与∠D有怎样的关系？ 为360°，五边形的内角和为多少呢？n边形的内 角和呢？ 探究：从n边形的一个顶点出发引出(n-3)条 对角线，将n边形分割为(n-2)个三角形，这 (n-2)个三角形的所有内角之和正好是这个n 1题图 边形的内角和. 三角形 四边形 五边形 六边形 内角和 内角和 内角和 内角和 180°×1 180°×2 180°×3 180°×4 2.过某个多边形的一个顶点总共可以引出4条 多边形的内角和随边数的变化而变化；边数每增加1， 对角线，这些对角线将这个多边形分成 内角和就增加180° 个三角形 3.填空： 公式：n边形的内角和为工 (1)四边形的内角和等于 (2)五边形的内角和等于 (3)六边形的内角和等于 (4)八边形的内角和等于 (5)十边形的内角和等于」 知识点2正多边形 4.填空： 1.正多边形的内角度数 (1)正五边形的每个内角的度数为 (1)正三角形的每个内角的度数为2 (2)正n边形的每个内角的度数为 (2)正方形的每个内角的度数为3 5.(1)已知正多边形的一个内角是135°，则这个 (3)正六边形的每个内角的度数为④ 正多边形的边数是 2.求正多边形的边数 (2)若一个多边形的内角和是1800°，则它是 方法：求正多边形的边数，依据正多边形的定 边形 义与多边形的内角和公式求解 3 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第4课时 多边形的外角和 [答案P45] 知识要点 对点训练之 知识点①多边形的外角和 1.(1)如图，画出四边形的四个外角； 1.多边形的外角和 1题图 (1)多边形的外角：多边形内角的一边与另 (2)填空： 边的① 所组成的角，如图中的 ①三角形的外角和等于 ∠1. ②五边形的外角和等于 (2)定理：多边形的外角和等于② ③八边形的外角和等于 注意：多边形的外角和与边数无关 2.填空： 2.运用多边形的外角和进行相关计算 (1)正十边形的一个外角的度数为 (1)已知一个正多边形的一个外角，求该多边 (2)一个正n边形的一个外角等于45°，则n 形的边数； 的值等于」 (2)已知一个正多边形的边数，求该多边形的 (3)正六边形的每一个外角的度数都是 每一个外角 注意： ①正多边形的外角和等于360°； ②在正n边形的每个顶点各取一个外角，则有 n个外角； ③正n边形的每一个外角都相等，度数为 360° n 知识点2多边形的内角和与外角和的综合应用 3.(1)若一个正多边形的每一个外角都是30°， (1)多边形的一个内角与该角的外角互补； 则这个正多边形的内角和的度数等于 (2)注意灵活应用多边形的内角和公式与外角 和等于360°，可快速解题 (2)已知一个多边形的内角和等于这个多边 形外角和的2倍，则这个多边形的边数是 4 第一章三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质和等边三角形的性质 [答案P45] 知识要点 对点训练 知识点①等腰三角形的性质定理 1.下列各图中，已知AB=AC,写出x的值 (1)定理：等腰三角形的两底角工 ,简 述为“② ” 70 120⊙× x° 人70° (2)如图，在△ABC中，AB=AC,求证：∠B=∠C B C B A 1题图① 1题图② 1题图③ X= 知识点2等腰三角形的“三线合一” 2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, 定理：等腰三角形顶角的③ 、底边上的 ∠BAC=80°，BC=20,则∠BAD= ④ 底边上的固 ∠BDA= °，BD=」 重合（简述为“三线合一”），知一推 二运用示例，在△ABC中，.·AB= AC,又，AD平分∠BAC,∴.DB=DC, AD⊥BC. 2题图 知识点③等边三角形的性质定理 3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上， (1)等边三角形是6 的特殊的等腰三 ∠DBC=35°，则∠ADB的度数为 角形 A.25° (2)等边三角形的三个内角都7 ,并且 B.60 每个角都等于8 C.85° 3题图 D.95° -5 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时等腰三角形的判定与反证法 [答案P45] 知识要点 对点训练之 知识点①等腰三角形的判定 1.如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点 (1)定理：有两个角四 的三角形是等腰 E.求证：△AED是等腰三角形 三角形.简述为：② (2)几何语言：如图，在△ABC中， LB=∠C,.③ 注意：判定等腰三角形的方法有两种： 1题图 定义法和判定定理。 知识点2反证法 2.(1)用反证法证明“直角三角形中至少有一个 1.定义：在证明时，先假设命题的④ 不 锐角小于或等于45”时，应先假设( 成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理 A.直角三角形中两个锐角都大于45° 或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结 B.直角三角形中两个锐角都不大于45° 论一定成立，这种证明方法称为反证法 C.直角三角形中有一个锐角大于45° 2.证明步骤： D.直角三角形中有一个锐角不大于45 （1)假设命题的结论不成立； (2)用反证法证明“等角对等边”，应先假设 (2)从这个假设出发，应用正确的推导方法， 推导出与定义、基本事实、已有定理或已 知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定 命题的结论成立 第3课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 [答案P46] 知识要点 对点训练 知识点①等边三角形的判定 1.下列条件中，不能得到等边三角形的是 (1)由等边三角形的定义判定：三边都□ 的三角形是等边三角形 A.有两个角是60°的三角形 (2)三个角都2 的三角形是等边三 B.有一个角是60°的等腰三角形 角形 C.有两个外角相等的等腰三角形 (3)有一个角等于3 的等腰三角形是 D.三边都相等的三角形 等边三角形 —6 第一章三角形的证明及其应用 知识点②含30°角的直角三角形的性质 2.如图，在△ABC中，∠C=90°. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于④ 几何语言：如图，.·在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠BAC=30,BC=7B或AB=2BC 2题图 (1)若∠A=30°，AB=8,则BC=」 (2)若∠B=60°，BC=3,则AB= 3直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 [答案P46] 知识要点 对点训练之 知识点①直角三角形中有关角的性质及判定 1.(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则 (1)性质：直角三角形的两个锐角① ∠A的度数是 (2)判定：有两个角互余的三角形是2 (2)如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角 三角形. 三角形吗？为什么？ (3)几何语言：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，则∠B+∠A=3 若∠A与∠B互余，则 △ABC是④ 三角形. C B 1(2)题图 知识点2直角三角形中有关边的性质及判定 2.(1)一直角三角形的两边长分别为3和4，则 (1)性质：直角三角形两直角边的平方和等于斜 第三边的长为 ( 边的平方 A.5B.万 C.5 D.5或7 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B, ∠C的对边分别是a,b,c,则⑤ (2)已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1， (2)判定：如果三角形两边的平方和等于第三边 3,2.分别以每组数据中的三个数为三角 的平方，那么这个三角形是6 形的三边长，能构成直角三角形的是 角形. 几何语言：在△ABC中，a2+b2=c2, A.② B.①② △ABC为⑦ 三角形，∠⑧ C.①③ D.②③ =90°. 7 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 知识点③逆命题、逆定理 3.（1)下列说法中，正确的是 (1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 A.任何一个命题都有逆命题 分别是另一个命题的⑨ 和0 B.一个真命题的逆命题也是真命题 ,那么这两个命题称为回 命 C.任何一个定理都有逆定理 题.如果把其中一个命题称为原命题，那么 D.任何一个定理都没有逆定理 另一个命题就称为它的逆命题 (2)命题“若a=b,则a2=b2”的逆命题是 (2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题， 那么它也是一个定理，其中一个定理称为另 一个定理的逆定理 第2课时 直角三角形全等的判定 [答案P46] 知识要点 对点训练， 知识点①用“HL”判定两个直角三角形全等 1.如图，在△ABC中，已知AD1BC于点D,要使 回 和一条2 分别相等的 △ABD≌△ACD,若根据HL直接判定，还需要 两个直角三角形全等（简述为“斜边、直角边”或 添加一个条件是 “HL”). B 几何语言： 在Rt△ABC和 B A' Rt△A'B'C'中， 1题图 2题图 2.如图，要用HL判定Rt△ABC和Rt△A'B'C'全 rAB=A'B′， 等的条件是 BC=B'C', A.AC=A'C',BC=B'C' .Rt△ABC≌3 (4 B.∠A=∠A',AB=A'B1 C.AC=A'C',AB=A'B' D.∠B=∠B',BC=B'C 知识点②用其他方法判定两个直角三角形全等 3.见“知识点2”中的示例及图，完成下列问题： 可以判定直角三角形全等的方法有：⑤ (1)若∠A=∠D,BC=EF,则Rt△ABC≌ Rt△DEF的依据是 例：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F (2)若∠A=∠D,AC=DF,则Rt△ABC≌ =90°. Rt△DEF的依据是 (3)若∠A=∠D,AB=DE,则Rt△ABC≌ Rt△DEF的依据是 (4)若AC=DF,AB=DE,则Rt△ABC≌ Rt△DEF的依据是 (5)若AC=DF,CB=FE,则Rt△ABC兰 Rt△DEF的依据是 第一章 三角形的证明及其应用 知识点③直角三角形全等的判定(HL)与性质 4.如图，点C,E,B,F在一条直线上，AB⊥CF于 的应用 点B,DE⊥CF于点E,AC=DF,AB=DE.求 例：如图，AB⊥AC,DC⊥AC,AD=BC,则根据 证：CE=BF 6 判定方法，可得△⑦ ≌ △⑧ 0 4题图 4 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质与判定 [答案P46] 知识要点 对点训练 知识点①线段垂直平分线的性质定理 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 (1)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两 AB,BC于点D,E,连接AE,若AE=4,EC=2 个端点的距离工 则BC的长是 (2)几何语言： 如图，CA=CB, 直线m⊥AB于点C, P是直线m上的点， 1题图 ∴.PA=PB. A.2 B.4 C.6 D.8 知识点2线段垂直平分线的判定定理 2.如图，AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC (1)判定：到一条线段两个端点距离相等的点， 的垂直平分线吗？ 在这条线段的习 ← (2)几何语言： 如图，PA=PB, 直线m是线段AB的垂直平分线，·.点P在 B 直线m上. 2题图 —9 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 第2课时 三角形三边的垂直平分线 [答案P46] 知识要点 对点训练 知识点①有关线段垂直平分线的尺规作图 1.写出“左栏”例1的解题过程 (1)已知底边和底边上的高作等腰三角形（尺规 作图) 例1.已知等腰三角形底边a及底边上的高 h,求作等腰三角形.（不写作法，保留作图 痕迹) a 已知： 求作： (2)过一点作已知直线的垂线（尺规作图） 2.写出“左栏”例2的解题过程 例2.如图，已知直线l和1上一点P,用尺规 作1的垂线，使它经过点P. 知识点②三角形三边的垂直平分线的性质 3.如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线相 (1)三角形三条边的垂直平分线① ,并 交于点P. 且这一点到2 的距离3 (1)求证：PA=PB=PC; (2)如图，若P是△ABC三边的垂直平分线的交 (2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由 点，则PA④ PB⑤ PC. 此你还能得出什么结论？ 3题图 -10—参 考 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理与全等三角形 知识要点 ①180°21803SAS④ASA⑤AAS⑥相等 ⑦相等 对点训练 1.C2.A3.C 4.证明：BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF. AC∥DF,.∠ACB=∠DFE, ∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中， ∠ACB=∠DFE, BC=EF, .△ABC≌△DEF(AAS), .∠B=∠DEF 第2课时三角形的外角 知识要点 ①反向延长②它不相邻③∠A④∠B⑤大于 对点训练 1.C2.A3.B4.> 第3课时 多边形的内角和 知识要点 ①(n-2)·180°[260°390°④120° 对点训练 1.解：：∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°， .∠B+∠D=360°-（∠A+∠C)=360°-180°= 180°. 2.5 3.(1)360°(2)540°(3)720°(4)1080° (5)1440° 4.(1)108°(2)n-2)×180 n 参考答案卫 答案 5.(1)8(2)十二 第4课时多边形的外角和 知识要点 ①反向延长线2360° 对点训练 1.解：(1)如答图所示，∠EAB,∠FBC,∠GCD,∠HDA 分别为四边形ABCD的四个外角. 一G 1题答图 (2)①360°②360°③360° 2.(1)36°(2)8(3)60 3.(1)1800°(2)6 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质和等边三角形的性质 知识要点 ①相等②等边对等角③平分线④中线固高 6三边都相等7相等860° 知识点1 (2)证明：取BC的中点D,连接AD. .AB=AC.BD=CD.AD=AD. .△ABD≌△ACD,.∠B=∠C. 对点训练 1.703035 2.409010 3.D 第2课时等腰三角形的判定与反证法 知识要点 ①相等②等角对等边③AB=AC④结论 对点训练 1.证明：AB=DC,BD=CA,AD=DA, 全程导练·数学·北师版·八年级·下册 ,∴.△ABD≌△DCA, .∠ADB=∠DAC, .AE=DE, ∴.△AED是等腰三角形. 2.(1)A (2)在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两 个角所对的边不相等 第3课时等边三角形的判定与 含30°角的直角三角形的性质 知识要点 ①相等2相等360°④斜边的一半 对点训练 1.c 2.(1)4(2)6 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 知识要点 ①互余②直角390°④直角⑤a2+b2=c2 ⑥直角⑦直角⑧C⑨结论⑩条件回互逆 对点训练 1.(1)36° (2)解：△ADE是直角三角形.理由如下： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∴.∠A+∠2=90°. ∠2=∠1，.∠A+∠1=90° 在△AED中，∠A+∠1+∠ADE=180°， ∴.∠ADE=90°，.△ADE是直角三角形. 2.(1)D(2)D 3.(1)A(2)若a2=b2,则a=b 第2课时直角三角形全等的判定 知识要点 工斜边2直角边3Rt△A'B'C'4HL ⑤HL,AAS,SAS,ASA,SSS⑥HL⑦ABC8CDA 对点训练 1.AB=AC 2.C 3.(1)AAS (2)ASA (3)AAS (4)HL (5)SAS 4 4.证明：AB⊥CF,DE⊥CF, ∴.∠ABC=∠DEF=90°. rAC=DF, 在Rt△ABC和Rt△DEF中， AB=DE, ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),∴.BC=EF, ∴.BC-BE=EF-BE,即CE=BF: 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 知识要点 工相等2垂直平分线 对点训练 1.C 2.解：：AB=AC,∴.点A在线段BC的垂直平分线上. MB=MC,∴.点M在线段BC的垂直平分线上， ∴.直线AM是线段BC的垂直平分线。 第2课时三角形三边的垂直平分线 知识要点 工相交于一点②三个顶点3相等④=⑤= 对点训练 1.解：已知：线段a,h. 求作：等腰三角形ABC,使CA=CB,AB=a,AB边上的 高为h. 如答图，△ABC即为所求. a h 1题答图 2.解：如答图，直线PQ即为所求. 米Q B 2题答图 6 3.(1)证明：，P是AB的垂直平分线上的点， ∴.PA=PB. 同理PB=PC,∴.PA=PB=PC (2)解：由(1)得，点P也在边AC的垂直平分线上，由 此可以得出，三角形三条边的垂直平分线相交于 一点。 5角平分线 第1课时角平分线的性质与判定 知识要点 工距离②PM324距离相等⑤DE=DF 对点训练 1.证明：PD⊥OA,PE⊥OB, ∴.∠PD0=∠PE0=90°. 又.OC是∠AOB的平分线， ..∠POD=∠POE ,∠PD0=∠PE0=90°， 在△OPD和△OPE中， ∠POD=∠POE, OP =OP, ∴.△OPD≌△OPE(AAS),∴.PD=PE. [OP =OP, 2.证明：在Rt△OCP和Rt△ODP中， PC=PD, ∴.Rt△OCP≌Rt△ODP(HL), ∴.∠COP=∠DOP .OP平分∠AOB. 第2课时 三角形三条内角平分线 知识要点 四相交于一点②三条边3相等④=固= 知识点2D 对点训练 1.证明：0为∠ABC,∠ACB的平分线的交点， 且OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC, ∴.OD=OF,OF=OE,∴.OD=0E, ∴.点0在∠A的平分线上， ∴.∠A的平分线经过点0，且OD=OE=OF 2.∠A,∠B的平分线的交点处（答案不唯一） ☆问题解决策略：反思 知识要点 工相等②相等3相等 知识点 (1)解：答图①中，BD=CD,BE=CF,AE=AF,BF= .4 参考答案Y CE;答图②中，AF=BF=AE=CE,BD=CD,BE=CF; 答图③中，BE=CF,BD=CD,AF=AE,BF=CE. 答图① 答图② 答图③ 对点训练 1.D2.C 第二章不等式与不等式组 1不等式及其性质 第1课时不等关系 知识要点 ①≤②≥ 对点训练 1.(1)是(2)是(3)不是(4)是(5)不是 (6)是 2.C 3.(1)a>0(2)a<0(3)a≤0(4)a≥0 (5)a≤b(6)a≥b 第2课时不等式的解、解集及其表示 知识要点 ①值②解集3解不等式④实心⑤空心⑥右 ⑦左 对点训练 1.解：3.2,4.8,8,12是不等式x+3>6的解 2.A 3.解：(1)如答图. -3-2-10123 3(1)题答图 (2)如答图. -3-2-10123 3(2)题答图 4.x>2 第3课时不等式的基本性质 知识要点 四不变2>③不变④>⑤>⑥改变☑< ⑧<